Aufgaben zum Aufstellen der Geradengleichung

Vorgegebene Graphengleichung: $y=\frac54x-1$

Du kannst die Steigung und den y-Achsenabschnitt dieses Graphen an der Gleichung ablesen.

$m=\frac{5}{4}​$

$​t=-1$

Überprüfe zuerst bei welchen Funktionen der y-Achsenabschnitt $t=-1$ beträgt, indem du den y-Wert jedes Graphen abliest, indem die y-Achse geschnitten wird.

Nur Graph I und II haben den y-Achsenabschnitt $-1$ also kannst du jeden anderen Graphen ausschließen.

Überprüfe nun welcher der beiden Graphen die Steigung $m=\frac54$ besitzt, indem du vom Punkt $x=0$ ausgehend eins nach rechts gehst und überprüfst, welcher der beiden y-Werte sich um  $\frac54$ erhöht.

Beide Graphen beginnen beim Punkt $P\left(0;-1\right)$. Da die gesuchte Gerade die Steigung $\frac54$ hat, geht sie auch durch den Punkt $(0+4|-1 +5)=(4|4)$.

Durch diesen Punkt läuft nur die Gerade II.

$\Rightarrow$   Der Graph II ist der Graph, der zu der vorgegebenen Gleichung gehört.

zu überprüfende Gerade: Graph III

Lies zuerst wo der Graph die y-Achse schneidet, um den y-Achsenabschnitt zu ermitteln.

Der y-Wert des Punktes, indem die  y-Achse geschnitten wird, beträgt $y=1{,}25$. Somit ist $t=1{,}25$ .

Lies nun ab um wieviel sich der y-Wert verändert, wenn du ausgehend von $x=0$, eins nach rechts gehst. Dadurch ermittelst du die Steigung.

Der y-Wert erhöht sich von $y=1{,}25$ auf $y=2{,}25$. Somit beträgt die Steigung $m=\frac{2{,}25-1{,}25}{1}=\frac11=1$ .

Stelle die Gleichung auf.

⇒   Der Graph III hat die Gleichung $y=x+1{,}25$

Lineare Funktion $f(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$f(x)=m \cdot x+t$

Lies den y-Achsenabschnitt an der Abbildung ab.

$t = 2$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab und berechne die Steigung:

Du kannst zum Beispiel diese Punkte verwenden:

$P_1(-3|0)$ $x_1= -3$ und $y_1 = 0$

$P_2(0|2)$ $x_2= 0$ und $y_2 = 2$

Für die Steigung erhältst du dann durch einsetzen:

$\displaystyle m = \frac{2 - 0}{0 - (-3)} = \frac{2}{3}$

Setze die berechneten Werte von $m$ und $t$ nun in die allgemeine Form ein:

$f(x) = \dfrac{2}{3}\cdot x + 2$

Lineare Funktion $g(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$g(x)=m \cdot x+t$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um die Steigung zu berechnen.

$\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Beispielsweise kannst du diese beiden Punkte verwenden:

$P_1(2|-4)$ $x_1= 2$ und $y_1=-4$

$P_2(3{,}5|0)$ $x_2=3{,}5$ und $y_2 = 0$

Die Steigung ist dann:

$\displaystyle m = \frac{0 - (-4)}{3{,}5 - 2} = \frac{4}{1{,}5} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

Da der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar ist, musst du ihn berechnen. Stelle dafür die Geradengleichung auf.

$\displaystyle g(x) = \frac{8}{3} \cdot x + t$

Setze einen der Punkte ein, zum Beispiel $(2|-4)$.

$\displaystyle -4 = \frac{8}{3} \cdot 2 + t$

Löse nun nach $t$ auf.

$\displaystyle t = -4- \frac{8}{3} \cdot 2 = -\frac{12}{3}- \frac{16}{3} = -\frac{28}{3}$

Setze die Werte von $m$ und $t$ in die allgemeine Form der linearen Funktion ein und du bekommst die Geradengleichung:

$\displaystyle g(x)=\frac{8}{3} \cdot x - \frac{28}{3}$

Lineare Funktion $h(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$h(x)=m \cdot x+t$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um die Steigung zu berechnen.

$\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:

$P_1(0|-2)$ $x_1= 0$ und $y_1 = -2$

$P_2(4|-3)$ $x_2= 4$ und $y_2=-3$

Mit ihnen kannst du nun die Steigung berechnen:

$\displaystyle m = \frac{-3 - (-2)}{4 - 0} = \frac{-3 + 2}{4} = -\frac{1}{4}$

Lies entweder $t=-2$ ab oder berechne den Wert. Um ihn zu berechnen, stelle die Geradengleichung auf.

$\displaystyle h(x) = -\frac{1}{4} \cdot x + t$

Setze einen Punkt ein, der auf der Gerade liegt, zum Beispiel $(4|-3)$.

$\displaystyle -3 = -\frac{1}{4} \cdot 4 + t$

Löse nun noch nach $t$ auf.

$t = -3 + 1 = -2$

Setze $m = -\dfrac14$ und $t = -2$ in die allgemeine Form ein und du erhältst die Geradengleichung:

$\displaystyle h(x) = -\frac{1}{4} \cdot x -2$

Lineare Funktion $f(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$f(x)=m \cdot x+t$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um mit ihnen die Steigung zu berechnen:

$\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:

$P_1(2|4)$ $x_1= 2$ und $y_1=4$

$P_2(2{,}5|0)$ $x_2= 2{,}5$ und $y_2=0$

Als Steigung ergibt sich:

$\displaystyle m = \frac{0 - 4}{2{,}5 - 2} = \frac{-4}{0{,}5} = -4 \cdot \frac{2}{1} = -8$

Da der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar ist, musst du ihn berechnen. Stelle daher die Geradengleichung auf:

$\displaystyle f(x) = -8 \cdot x + t$

Setze einen der Punkte, zum Beispiel $(2|4)$, ein:

$\displaystyle 4 = -8 \cdot 2 + t$

Löse nach $t$ auf.

$\displaystyle t = 4 + 8 \cdot 2 = 4 + 16 = 20$

Setze $m=-8$ und $t = 20$ in die allgemeine Form ein und du bekommst als Ergebnis die Geradengleichung:

$f(x) = -8\cdot x + 20$

Lineare Funktion $g(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$g(x)=m \cdot x+t$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um mit ihnen die Steigung zu berechnen:

$\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:

$P_1(0|-2)$ $x_1= 0$ und $y_1=-2$

$P_2(-4|-3)$ $x_2= -4$ und $y_2=-3$

Berechne mit ihnen nun die Steigung:

$\displaystyle m = \frac{-3 - (-2)}{-4 - 0} = \frac{-3 +2}{-4} = \frac{1}{4}$

Lies den y-Achsenabschnitt an der Abbildung ab.

$t = -2$

Setze $m = \dfrac14$ und $t = -2$ in die allgemeine Form der linearen Funktion ein und du erhältst die Geradengleichung von $g$:

$\displaystyle g(x)=\frac{1}{4} \cdot x - 2$

$A(5|7),B(-3|8)$

Setze die Punkte in den Differenzenquotient für die Gerade ein.

Die Steigung der Geraden beträgt $m = -\frac{1}{8}$.

$A(1 | 2), B(3 | 4)$

Setze die Punkte in den Differenzenquotient für die Gerade ein.

Die Steigung der Geraden beträgt m = 1.

Gegeben: Punkt $P(0|3)$ und Punkt $Q(2|-3)$

Setze die x-Werte (erste Koordinate) und die y-Werte (zweite Koordinate) in die allgemeine Geradengleichung ein.

$3=m\cdot0+t$

$-3=m\cdot2+t$

Bei der ersten Gleichung kannst du sofort ablesen, dass $t=3$. Dieses $t$ kannst du in die zweite Gleichung einsetzen, um $m$ auszurechnen.

Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.

$y=-3x+3$

Gegeben: Punkt $P(1|3)$ und $Q(3|-1)$

Berechne die Differenz der beiden x-Werte und der beiden y-Werte, um die Steigung zu bestimmen.

x-Werte: $3-1=2$

y-Werte: $-1-3=-4$

Während der x-Wert um $2$ steigt, nimmt der y-Wert um $4$ ab. Dividiere den y-Wert durch den x-Wert, um die Steigung auszurechnen.

$m=\frac{-4}{2}=-2$

Setze m, den x-Wert und den y-Wert eines der Punkte in die allgemeine Geradengleichung ein, um $t$ zu bestimmen.

Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein, um die Gleichung der Funktion aufzustellen.

$y=-2x+5$

Geradengleichung ermitteln

Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte $P(2|0)$ und $Q(-2|2)$ in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.

Geradengleichung ermitteln

Gerade zeichnen

Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte $P(0{,}5|1{,}5)$ und $Q(5|3)$ in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.

Geradengleichung ermitteln

Gerade zeichnen

Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte $P(-2|1)$ und $Q(6|4)$ in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.

Geradengleichung ermitteln

$1=-\frac25\cdot(-4)+t$

Gerade zeichnen

Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte $P(-4|1)$ und $Q(1|-1)$ in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.