Aufgaben zum Aufstellen der Geradengleichung

Hier findest du Übungsaufgaben zu Geraden. Lerne, Geradengleichungen anhand verschiedener Informationen aufzustellen.

1
Gegeben sind die folgenden Funktionsgraphen:
1. Welcher der vier Graphen gehört zur Gleichung $y=\frac{5}{4}x-1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichungen
  Vorgegebene Graphengleichung: $y=\frac54x-1$
  Du kannst die Steigung und den y-Achsenabschnitt dieses Graphen an der Gleichung ablesen.
  $m=\frac{5}{4}$
  $ t = - 1$
  Überprüfe zuerst bei welchen Funktionen der y-Achsenabschnitt $t = - 1$ beträgt, indem du den y-Wert jedes Graphen abliest, indem die y-Achse geschnitten wird.
  Nur Graph I und II haben den y-Achsenabschnitt $- 1$ also kannst du jeden anderen Graphen ausschließen.
  Überprüfe nun welcher der beiden Graphen die Steigung $m=\frac54$ besitzt, indem du vom Punkt $x = 0$ ausgehend eins nach rechts gehst und überprüfst, welcher der beiden y-Werte sich um $\frac54$ erhöht.
  Beide Graphen beginnen beim Punkt $P\left(0;-1\right)$ . Da die gesuchte Gerade die Steigung $\frac54$ hat, geht sie auch durch den Punkt $(0 + 4 ∣ - 1 + 5) = (4 ∣ 4)$ .
  Durch diesen Punkt läuft nur die Gerade II.
  $\Rightarrow$ Der Graph II ist der Graph, der zu der vorgegebenen Gleichung gehört.
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2. Wie lautet die Gleichung zum Graphen III?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichungen
  zu überprüfende Gerade: Graph III
  Lies zuerst wo der Graph die y-Achse schneidet, um den y-Achsenabschnitt zu ermitteln.
  Der y-Wert des Punktes, indem die y-Achse geschnitten wird, beträgt $y = 1,25$ . Somit ist $t = 1,25$ .
  Lies nun ab um wieviel sich der y-Wert verändert, wenn du ausgehend von $x = 0$ , eins nach rechts gehst. Dadurch ermittelst du die Steigung.
  Der y-Wert erhöht sich von $y = 1,25$ auf $y = 2,25$ . Somit beträgt die Steigung $m=\frac{2{,}25-1{,}25}{1}=\frac11=1$ .
  Stelle die Gleichung auf.
  ⇒ Der Graph III hat die Gleichung $y = x + 1,25$
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2
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Folgende Abbildungen enthalten Graphen von linearen Funktionen.
Bestimme die Funktionsterme.
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Lineare Funktion $f (x)$
  Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.
  $f(x)=m \cdot x+t$
  Lies den y-Achsenabschnitt an der Abbildung ab.
  $t = 2$
  Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab und berechne die Steigung:
  $\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
  Du kannst zum Beispiel diese Punkte verwenden:
  $P_{1} (- 3 ∣ 0)$ $x_{1} = - 3$ und $y_{1} = 0$
  $P_{2} (0 ∣ 2)$ $x_{2} = 0$ und $y_{2} = 2$
  Für die Steigung erhältst du dann durch einsetzen:
  $\displaystyle m = \frac{2 - 0}{0 - (-3)} = \frac{2}{3}$
  Setze die berechneten Werte von $m$ und $t$ nun in die allgemeine Form ein:
  $f(x) = \dfrac{2}{3}\cdot x + 2$
  Lineare Funktion $g (x)$
  Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.
  $g(x)=m \cdot x+t$
  Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um die Steigung zu berechnen.
  $\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
  Beispielsweise kannst du diese beiden Punkte verwenden:
  $P_{1} (2 ∣ - 4)$ $x_{1} = 2$ und $y_{1} = - 4$
  $P_2(3{,}5|0)$ $x_2=3{,}5$ und $y_{2} = 0$
  Die Steigung ist dann:
  $\displaystyle m = \frac{0 - (-4)}{3{,}5 - 2} = \frac{4}{1{,}5} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$
  Da der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar ist, musst du ihn berechnen. Stelle dafür die Geradengleichung auf.
  $\displaystyle g(x) = \frac{8}{3} \cdot x + t$
  Setze einen der Punkte ein, zum Beispiel $(2 ∣ - 4)$ .
  $\displaystyle -4 = \frac{8}{3} \cdot 2 + t$
  Löse nun nach $t$ auf.
  $\displaystyle t = -4- \frac{8}{3} \cdot 2 = -\frac{12}{3}- \frac{16}{3} = -\frac{28}{3}$
  Setze die Werte von $m$ und $t$ in die allgemeine Form der linearen Funktion ein und du bekommst die Geradengleichung:
  $\displaystyle g(x)=\frac{8}{3} \cdot x - \frac{28}{3}$
  Lineare Funktion $h (x)$
  Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.
  $h(x)=m \cdot x+t$
  Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um die Steigung zu berechnen.
  $\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
  Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:
  $P_{1} (0 ∣ - 2)$ $x_{1} = 0$ und $y_{1} = - 2$
  $P_{2} (4 ∣ - 3)$ $x_{2} = 4$ und $y_{2} = - 3$
  Mit ihnen kannst du nun die Steigung berechnen:
  $\displaystyle m = \frac{-3 - (-2)}{4 - 0} = \frac{-3 + 2}{4} = -\frac{1}{4}$
  Lies entweder $t = - 2$ ab oder berechne den Wert. Um ihn zu berechnen, stelle die Geradengleichung auf.
  $\displaystyle h(x) = -\frac{1}{4} \cdot x + t$
  Setze einen Punkt ein, der auf der Gerade liegt, zum Beispiel $(4 ∣ - 3)$ .
  $\displaystyle -3 = -\frac{1}{4} \cdot 4 + t$
  Löse nun noch nach $t$ auf.
  $t = - 3 + 1 = - 2$
  Setze $m = -\dfrac14$ und $t = - 2$ in die allgemeine Form ein und du erhältst die Geradengleichung:
  $\displaystyle h(x) = -\frac{1}{4} \cdot x -2$
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2. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Lineare Funktion $f (x)$
  Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.
  $f(x)=m \cdot x+t$
  Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um mit ihnen die Steigung zu berechnen:
  $\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
  Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:
  $P_{1} (2 ∣ 4)$ $x_{1} = 2$ und $y_{1} = 4$
  $P_2(2{,}5|0)$ $x_2= 2{,}5$ und $y_{2} = 0$
  Als Steigung ergibt sich:
  $\displaystyle m = \frac{0 - 4}{2{,}5 - 2} = \frac{-4}{0{,}5} = -4 \cdot \frac{2}{1} = -8$
  Da der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar ist, musst du ihn berechnen. Stelle daher die Geradengleichung auf:
  $\displaystyle f(x) = -8 \cdot x + t$
  Setze einen der Punkte, zum Beispiel $(2 ∣ 4)$ , ein:
  $\displaystyle 4 = -8 \cdot 2 + t$
  Löse nach $t$ auf.
  $\displaystyle t = 4 + 8 \cdot 2 = 4 + 16 = 20$
  Setze $m = - 8$ und $t = 20$ in die allgemeine Form ein und du bekommst als Ergebnis die Geradengleichung:
  $f(x) = -8\cdot x + 20$
  Lineare Funktion $g (x)$
  Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.
  $g(x)=m \cdot x+t$
  Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um mit ihnen die Steigung zu berechnen:
  $\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
  Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:
  $P_{1} (0 ∣ - 2)$ $x_{1} = 0$ und $y_{1} = - 2$
  $P_{2} (- 4 ∣ - 3)$ $x_{2} = - 4$ und $y_{2} = - 3$
  Berechne mit ihnen nun die Steigung:
  $\displaystyle m = \frac{-3 - (-2)}{-4 - 0} = \frac{-3 +2}{-4} = \frac{1}{4}$
  Lies den y-Achsenabschnitt an der Abbildung ab.
  $t = - 2$
  Setze $m = \dfrac14$ und $t = - 2$ in die allgemeine Form der linearen Funktion ein und du erhältst die Geradengleichung von $g$ :
  $\displaystyle g(x)=\frac{1}{4} \cdot x - 2$
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3
Bestimme die Gleichung folgender Gerade:

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Die allgemeine Geradengleichung ist:
$\mathrm y=\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t$
Lese den y-Achsenabschnitt $t$ , also die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet, aus der Zeichnung ab.
$t = - 1$
Suche zwei Punkte mit (bestenfalls) ganzzahligen Koordinaten.
$P\left(2 \;|\;2\right)$ und $Q(4\;| \;5)$ liegen auf der Gerade.
Um die Steigung $m$ zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten:
1. $\;m=\displaystyle\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}$
Setze die Koordinaten von $P$ und $Q$ ein!
$m=\displaystyle\frac{5-2}{4-2}=\frac32=1{,}5$
2.
Zeichne ein Steigungsdreieck zwischen den Punkten. Der senkrechte Abstand ist der Zähler, der waagerechte Abstand ist der Nenner des Bruches, der die Steigung beschreibt.
$m=\displaystyle\frac{\text{senkrecht}}{\text{waagerecht}}=\frac32=1{,}5$
Die Geradengleichung ist also gegeben durch:
$\mathrm g\left(\mathrm x\right)=\frac32\cdot\mathrm x-1=1{,}5x-1$

Berechne die Steigung der Gerade durch die gegebenen Punkte.

$A (5 ∣ 7)$ , $B (- 3 ∣ 8)$

$A (1 ∣ 2)$ , $B (3 ∣ 4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung
$A (1 ∣ 2), B (3 ∣ 4)$
Setze die Punkte in den Differenzenquotient für die Gerade ein.
$\displaystyle m$ $=$ $\displaystyle \frac{4-2}{3-1}$
↓
Vereinfache Zähler und Nenner
$\displaystyle m$ $=$ $\displaystyle \frac22$
$\displaystyle m$ $=$ $\displaystyle 1$
Die Steigung der Geraden beträgt m = 1.
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Löse die folgenden Aufgaben.

Welche Steigung hat die Gerade durch die Punkte $P (0 ∣ 3)$ und $Q (2 ∣ - 3)$ ?

Stelle die Gleichung der Geraden durch die Punkte $P (1 ∣ 3)$ und $Q (3 ∣ - 1)$ auf.

Gegeben: Punkt $P (1 ∣ 3)$ und $Q (3 ∣ - 1)$
Berechne die Differenz der beiden x-Werte und der beiden y-Werte, um die Steigung zu bestimmen.
x-Werte: $3 - 1 = 2$
y-Werte: $- 1 - 3 = - 4$
Während der x-Wert um $2$ steigt, nimmt der y-Wert um $4$ ab. Dividiere den y-Wert durch den x-Wert, um die Steigung auszurechnen.
$m=\frac{-4}{2}=-2$
Setze m, den x-Wert und den y-Wert eines der Punkte in die allgemeine Geradengleichung ein, um $t$ zu bestimmen.
$\displaystyle 3$ $=$ $\displaystyle -2\cdot1+t$
$\displaystyle 3$ $=$ $\displaystyle -2+t$ $\displaystyle +2$
$\displaystyle t$ $=$ $\displaystyle 5$
Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein, um die Gleichung der Funktion aufzustellen.
$y = - 2 x + 5$
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6
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Welche Steigung hat die Gerade durch die Punkte $\mathrm{P}\left(0|3\right)$ und $\mathrm{Q}\left(2|-3\right)$ ? Wie lautet also die Funktionsgleichung?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Steigung
Bestimme die Steigung $\mathrm m$ .
$\mathrm m=\dfrac{\bigtriangleup\mathrm y}{\bigtriangleup\mathrm x}=\dfrac{{\mathrm y}_2-{\mathrm y}_1}{{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_1}$
Setze die beiden Punkte in die Formel für die Steigung ein.
$\mathrm m=\dfrac{3-(-3)}{0-2}=\dfrac 6 {-2}=-3$
Funktionsgleichung
Bestimme die Funktionsgleichung.
$\mathrm y=\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t$
Setze m in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\mathrm y=-3\mathrm x+\mathrm t$
Setze einen der beiden Punkte in die Funktionsgleichung ein.
$3=-3\cdot0+\mathrm t$
$\mathrm t=3$
Setze t in die Funktionsgleichung ein.
$\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-3\mathrm x+3$
7
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Stelle die Gleichung der Geraden durch die Punkte $\mathrm P\left(1| 3\right)$ und $\mathrm Q\left(3|-1\right)$ auf.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Gegeben sind die beiden Punkte $P(1\mid 3)$ und $Q(3\mid -1)$ .
Gesucht ist die Gleichung der Geraden, die durch die beiden Punkte geht.
Zur Ermittlung der Geradengleichung überlegst du am Besten erst die allgemeine Form der Geradengleichung:
Bestimmung der Steigung $m$
Erinnere dich zunächst an die Gleichung für die Steigung einer Geraden:
$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Setze die Werte $x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}$ aus den Punkten $P$ und $Q$ in die Formel ein.
$m=\frac{-1-3}{3-1}=\ \frac{-4}{2}$
Kürze den Bruch.
$m = - 2$
Jetzt weißt du, dass die Gleichung der Geraden durch die Punkte $P$ und $Q$ geht folgendermaßen aussieht:
$\displaystyle y=-2\cdot x+t.$
Als nächstes ermittelst du den $y$ -Achsenabschnitt ( $t$ ).
Ermittlung des $y$ -Achsenabschnitts $t$
Um $t$ zu ermitteln setzt du den $x$ - und $y$ -Wert einer der beiden Punkte in die Geradengleichung ein. Hier wird das beispielhaft mit dem Punkt $P$ ausgerechnet.
$3=-2\cdot 1+t$
$3 = - 2 + t$
$t = 5$
Der $y$ -Achsenabschnitt der Funktion ist $5$ . Damit hast du auch schon die ganze Funktionsgleichung.
$y=-2\cdot x +5$

Stelle die Gleichung der Geraden mit Steigung $m=-\frac43$ durch den Punkt $P (- 2 ∣ - 0,5)$ auf und zeichne sie in ein Koordinatensystem.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung erstellen

Geradengleichung erstellen

$m=-\frac43$ ; $P (- 2 ∣ - 0,5)$

Setze $m$ und $P$ in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach $t$ auf.

$\displaystyle -\frac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{4}{3}\cdot\left(-2\right)+t$
	↓	$-\frac{4}{3}\cdot\left(-2\right)=\frac{\left(-4\right)\cdot\left(-2\right)}{3}=\frac{8}{3}$
$\displaystyle -\frac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle \frac{8}{3}+t$	$\displaystyle -\frac{8}{3}$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}-\frac{8}{3}$
	↓	Bringe die beiden Brüche auf denselben Nenner.
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{6}-\frac{16}{6}$
	↓	Subtrahiere.
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle -\frac{19}{6}$
	↓	Wandle in einen gemischten Bruch um.
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle -3\ \frac{1}{6}$
	↓	Setze t und m in die allgemeine Geradengleichung ein.

$\;\;\Rightarrow\;\;$ $y=-\frac43x-3\frac16$

Gerade zeichnen

Wähle einen beliebigen Punkt auf der Geraden, z. B. den gegebenen Punkt $P (- 2 ∣ - 0,5)$ . Einen zweiten Punkt findest du, indem du vom Punkt $P$ aus entsprechend der Steigung $m=-\frac{4}{3}$ , um $1$ nach rechts und um $\dfrac{4}{3}$ nach unten gehst. Du erhältst das $\textcolor{006400}{\text{grüne Steigungsdreieck}}$ . Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.

Einfacher findest du den zweiten Punkt, indem du um $3$ nach rechts und $4$ nach unten gehst. Du erhältst das $\textcolor{ff6600}{\text{orangefarbige Steigungsdreieck}}$ . (Die Steigung ist dann immer noch $m=-\frac{4}{3}$ .)

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9
Stelle die Gleichung der Geraden auf, die durch den Punkt $P(-3\vert3)$ verläuft und die Steigung $m = - 2$ hat. Zeichne die Gerade.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
1. Setze $m$ und die Koordinaten des Punktes $P$ in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach $t$ auf.
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{array}{ccccc}\mathrm y&=&\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t&&\\3&=&(-2)\cdot(-3)+\mathrm t&\;\;\;\;\;\left|-6\right.&\;\\3-6&=&\mathrm t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&\;\;&\;\end{array}\\\begin{array}{ccc}\;\;\;\;\;\;\;\mathrm t&=&-3\;\;\;\;\;\;\;\end{array}\\\end{array}$
2. Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein $\Rightarrow \;\;y=-2x-3$
Gerade zeichnen
Zeichne den gegebenen Punkt $P(-3\vert3)$ in das Koordinatensystem ein. Zeichne dann ein Steigungsdreieck, indem Du um $1$ nach rechts und um $2$ nach unten gehst $(m = - 2)$ . Trage dort den Punkt $Q$ ab. Verbinde $P$ und $Q$ zu einer Geraden.
10
Stelle die Gleichung der Geraden durch die zwei Punkte auf und zeichne sie.
1. $P (2 ∣ 0)$ und $Q (- 2 ∣ 2)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Geradengleichung ermitteln
  $P (2 ∣ 0); Q (- 2 ∣ 2)$
  Ermittle die Steigung $m$ der allgemeinen Geradengleichung $y=m\cdot x+t$ mithilfe des Differenzenqotienten .
  $m=\frac{2-0}{-2-2}=\frac2{-4}=-\frac12$
  Setze $m$ und die Koordinaten eines Punktes z. B. $P (2 ∣ 0)$ in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach $t$ auf.
  $0=-\frac{1}{2}\cdot2+t\ \;\;\;\;\;\left|{+\frac12\cdot2}\right.$
  $t = 1$
  Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ $y=-\frac12x+1$
  Gerade zeichnen
  Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte $P (2 ∣ 0)$ und $Q (- 2 ∣ 2)$ in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.
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2. $P (0,5 ∣ 1,5)$ und $Q (5 ∣ 3)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Geradengleichung ermitteln
  $P (0,5 ∣ 1,5); Q (5 ∣ 3)$
  Ermittle die Steigung $m$ der allgemeinen Geradengleichung $y=m\cdot x+t$ mithilfe des Differenzenqotienten.
  $m=\frac{3-1{,}5}{5-0{,}5}=\frac{1{,}5}{4{,}5}=\frac13$
  Setze $m$ und die Koordinaten eines Punktes z. B. $Q (5 ∣ 3)$ in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach $t$ auf.
  $3=\frac13\cdot5+t \;\;\;\;\;\;\;\;|{-\frac13\cdot5}$
  $t=\frac43$
  Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ $y=\frac13x+\frac43$
  Gerade zeichnen
  Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte $P (0,5 ∣ 1,5)$ und $Q (5 ∣ 3)$ in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.
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3. $P (- 2 ∣ 1)$ und $Q (6 ∣ 4)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Geradengleichung ermitteln
  $P (- 2 ∣ 1)$ ; $Q (6 ∣ 4)$
  Ermittle die Steigung $m$ der allgemeinen Geradengleichung $y=m\cdot x+t$ mithilfe des Differenzenqotienten .
  $m=\frac{4-1}{6-(-2)}=\frac38$
  Setze $m$ und die Koordinaten eines Punktes z. B. $P (- 2 ∣ 1)$ in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach $t$ auf.
  $1=\frac38\cdot(-2)+t$
  $1= -\frac68 +t$
  $1=-\frac34+t \;\;\;\;\;\;\;\;\;|+\frac3 4$
  $t=\frac74$
  Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ $y=\frac38x+\frac74$
  Gerade zeichnen
  Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte $P (- 2 ∣ 1)$ und $Q (6 ∣ 4)$ in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.
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4. $P (- 4 ∣ 1)$ und $Q (1 ∣ - 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Geradengleichung ermitteln
  $P (- 4 ∣ 1)$ ; $Q (1 ∣ - 1)$
  Ermittle die Steigung $m$ der allgemeinen Geradengleichung $y=m\cdot x+t$ mithilfe des Differenzenqotienten.
  $m=\frac{-1-1}{1-(-4)}=-\frac25$
  Setze $m$ und die Koordinaten eines Punktes z. B. $P (- 4 ∣ 1)$ in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach $t$ auf.
  $1=-\frac25\cdot(-4)+t$
  $1=\frac85+t \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|- \frac 8 5$
  $t=-\frac35$
  Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ $y=-\frac25x-\frac35$
  Gerade zeichnen
  Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte $P (- 4 ∣ 1)$ und $Q (1 ∣ - 1)$ in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.
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11
Gegeben sind der $y$ -Achsenabschnitt $t = 2$ und der Punkt $P(3\vert-1)$ . Berechne die zugehörende Geradengleichung und zeichne die Gerade.
ist die Gleichung der Geraden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
1. Setze $t$ und die Koordinaten des Punktes $P$ in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach $m$ auf.
$\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{l}\begin{array}{ccccc}\ y&=&\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t&&\\-1&=&\mathrm m\cdot3+2&\left|-2\right.&\;\\-1-2&=&\;\;\;\;\;\;\mathrm m\cdot 3\;\;\;\;\;\;\;\left|:3\right.&\;\end{array}\\\begin{array}{ccc}\;\;\;\;\;\;\;\mathrm m\;\;\;\; =\dfrac{-3}{3}=-1\;\;\;\;\;\;\;\end{array}\\\end{array}$
2. Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein $\Rightarrow\;\;y=-x+2$
Gerade zeichnen
Zeichne den gegebenen Punkt $P(3\vert-1)$ in das Koordinatensystem ein. Zeichne dann den Punkt $S_y(0\vert2)$ ( $y$ -Achsenabschnitt $t = 2$ ) ebenfalls ein und verbinde die Punkte $S_{y}$ und $P$ zu einer Geraden.
12
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Für eine lineare Funktion $\mathrm h\left(\mathrm x\right)$ gilt:
$\mathrm h\left(0\right)=3$ und $\mathrm h\left(-2\right)=4$ . Bestimmen Sie $\mathrm h\left(\mathrm x\right)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichungen
Bestimme den y-Achsenabschnitt t
Bei einer Funktion ist der y-Achsenabschnitt gleich dem Wert bei x=0.
$t = h (0) = 3$
Bestimme jetzt mit den zwei gegebenen Punkten die Steigung m mit dem Differenzenquotienten.
$m=\frac{3-4}{0-(-2)}=\frac{-1}{2}=-\frac12$
Setze zur Geradengleichung zusammen.
$\Rightarrow y=-\frac12 x+3$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle -3$	$=$	$\displaystyle m\cdot2+3$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle -6$	$=$	$\displaystyle m\cdot2$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle -3$	$=$	$\displaystyle m$

$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \frac{8-7}{-3-5}$
	↓	Vereinfache Zähler und Nenner
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{-8}$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle - \frac18$

$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \frac{4-2}{3-1}$
	↓	Vereinfache Zähler und Nenner
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \frac22$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle -2\cdot1+t$
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle -2+t$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle 5$

Aufgaben zum Aufstellen der Geradengleichung

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Lineare Funktion f(x)f(x)f(x)

Lineare Funktion g(x)g(x)g(x)

Lineare Funktion h(x)h(x)h(x)

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Lineare Funktion f(x)f(x)f(x)

Lineare Funktion g(x)g(x)g(x)

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Steigung

Funktionsgleichung

Bestimmung der Steigung mmm

Ermittlung des yyy-Achsenabschnitts ttt

Geradengleichung erstellen

Gerade zeichnen

Gerade zeichnen

Geradengleichung ermitteln

Gerade zeichnen

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Geradengleichung ermitteln

Gerade zeichnen

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Geradengleichung ermitteln

Gerade zeichnen

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Geradengleichung ermitteln

Gerade zeichnen

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Gerade zeichnen

Lineare Funktion $f (x)$

Lineare Funktion $g (x)$

Lineare Funktion $h (x)$

Lineare Funktion $f (x)$

Lineare Funktion $g (x)$

Bestimmung der Steigung $m$

Ermittlung des $y$ -Achsenabschnitts $t$