Brüche addieren und subtrahieren

Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen diese zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden.

Daraufhin werden lediglich die Zähler addiert oder subtrahiert. Der gemeinsame Nenner wird beibehalten.

Addition

Bei reinen Brüchen

Finde ein gemeinsames Vielfaches der Nenner der Brüche, die du addieren willst.
Erweitere die Brüche auf den gemeinsamen Nenner. Hinweis: Wenn du die Brüche auf das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) erweiterst, heißt dieser Nenner "Hauptnenner".
Addiere nun die Zähler der beiden Brüche. Der Nenner bleibt gleich.

Beispiel

Berechne $\frac{3}{4}+\frac{2}{5}$ .

1. Finde ein gemeinsames Vielfaches der Nenner.

Ein gemeinsames Vielfaches der Nenner 4 und 5 ist beispielsweise 20. Dies ist auch das kleinste gemeinsame Vielfache.

2. Erweitere die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, z.B. auf 20.

$\frac{3}{4}=\frac{3\cdot5}{4\cdot5}=\frac{15}{20}$ und $\frac{2}{5}=\frac{2\cdot4}{5\cdot4}=\frac{8}{20}$

3. Addiere nun die Zähler der beiden Brüche. Der Nenner bleibt gleich.

Zähler: $15+8=23$
Nenner: gemeinsamer Nenner $20$

Ergebnis:

\displaystyle \frac{3}{4}+\frac{2}{5}=\frac{15}{20}+\frac{8}{20}=\frac{23}{20}

Bei gemischten Brüchen

Vereinfache die Darstellung gemischter Brüche, indem du die gemischten Brüche als Summe schreibt. Addiere alle ganzen Zahlen und addiere die übrigen reinen Brüche wie oben.

Beispiel

Bereche $4\frac{8}{10}+3\frac{2}{5}$ .

	$\displaystyle 4\ \frac{8}{10}+3\ \frac{2}{5}$
	↓ Schreibe die gemischten Brüche als Summe.
$=$	$\displaystyle 4\ +\ \frac{8}{10}\ +\ 3\ +\ \frac{2}{5}$
	↓ Addiere alle ganzen Zahlen.
$=$	$\displaystyle \left(4+3\right)+\left(\frac{8}{10}+\frac{2}{5}\right)$
$=$	$\displaystyle 7\ +\left(\frac{8}{10}+\frac{2}{5}\right)$
	↓ Berechne die Klammer mit reinen Brüchen wie oben. Finde also einen gemeinsames Vielfaches der Nenner 10 und 5 und erweitere die Brüche darauf. Ein gemeinsames Vieldfaches ist beispielsweise 10.
$=$	$\displaystyle 7+\left(\frac{8}{10}+\frac{2\cdot2}{5\cdot2}\right)$
$=$	$\displaystyle 7+\left(\frac{8}{10}+\frac{4}{10}\right)$
	↓ Addiere die Zähler der Brüche. Der Nenner bleibt 10!
$=$	$\displaystyle 7\ +\ \frac{8+4}{10}$
$=$	$\displaystyle 7+\frac{12}{10}$
	↓ Wandle $\frac{12}{10}$ in einen gemischten Bruch um. $\frac{12}{10}=\frac{10}{10}+\frac{2}{10}=1+\frac{2}{10}=1\frac{2}{10}$
$=$	$\displaystyle 7+1+\frac{2}{10}$
$=$	$\displaystyle 8+\frac{2}{10}$
$=$	$\displaystyle 8\frac{2}{10}$

Subtraktion

Bei reinen Brüchen

Finde ein gemeinsames Vielfaches der Nenner der Brüche, die du voneinander subtrahieren willst.
Erweitere die Brüche auf den gemeinsamen Nenner. Hinweis: Wenn du die Brüche auf das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) erweiterst, heißt dieser Nenner "Hauptnenner".
Subtrahiere nun die Zähler der beiden Brüche. Der Nenner bleibt gleich.

Beispiel

Berechne $\frac{3}{4}-\frac{2}{5}$ .

1. Finde ein gemeinsames Vielfaches der Nenner.

Ein gemeinsames Vielfaches der Nenner 4 und 5 ist beispielsweise 20. Dies ist auch das kleinste gemeinsame Vielfache.

2. Erweitere die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, z.B. auf 20.

$\frac{3}{4}=\frac{3\cdot5}{4\cdot5}=\frac{15}{20}$ und $\frac{2}{5}=\frac{2\cdot4}{5\cdot4}=\frac{8}{20}$

3. Subtrahiere nun die Zähler der beiden Brüche. Der Nenner bleibt gleich.

Zähler: $15-8=7$
Nenner: gemeinsamer Nenner $20$

Ergebnis:

\displaystyle \frac{3}{4}+\frac{2}{5}=\frac{15}{20}+\frac{8}{20}=\frac{23}{20}

Bei gemischten Brüchen

Vereinfache wie bei der Addition gemischter Brüche die Darstellungsweise der gemischter Brüche, indem du die gemischten Brüche als Summe schreibt.

Nun musst du aufpassen:

Setze beim Ausschreiben des gemischten Bruchs Klammern! Zum Auflösen der Klammern beachte das Vorzeichen vor der Klammer. Steht vor der Klammer ein Minuszeichen, müssen beim Auflösen der Klammer die Vorzeichen innerhalb der Klammer getauscht werden!

Danach subtrahiere alle ganzen Zahlen und berechne die Differenz der übrigen Brüche.

Beispiel

Berechne $8\ \frac{1}{6}-4\ \frac{1}{4}$ .

	$\displaystyle 8\frac{1}{6}-4\frac{1}{4}$
	↓ Schreibe die gemischten Brüche als Summe. Setze Klammern!
$=$	$\displaystyle \left(8+\frac{1}{6}\right)-\left(4+\frac{1}{4}\right)$
	↓ Löse die Klammern auf. Beachte das Vorzeichen vor der Klammer!
$=$	$\displaystyle 8+\frac{1}{6}-4-\frac{1}{4}$
	↓ Subtrahiere alle ganzen Zahlen.
$=$	$\displaystyle 8-4\ +\ \frac{1}{6}-\frac{1}{4}$
$=$	$\displaystyle 4+\frac{1}{6}-\frac{1}{4}$
	↓ Suche ein gemeinsames Vielfaches der Nenner der übrigen Brüche und erweitere die Brüche entsprechend. Ein gemeinsamer Nenner ist beispielweise 12.
$=$	$\displaystyle 4+\frac{2\cdot1}{2\cdot6}-\frac{3\cdot1}{3\cdot4}$
$=$	$\displaystyle 4+\frac{2}{12}-\frac{3}{12}$
	↓ Subtrahiere die Zähler. Der Nenner bleibt 12. $\frac{2}{12}-\frac{3}{12}=-\frac{1}{12}$
$=$	$\displaystyle 4-\frac{1}{12}$
	↓ Um wieder einen gemischten Bruch zu erhalten, löse ein ganzes von 4 ab und wandle es in einen Bruch mit dem Nenner 12 um.
$=$	$\displaystyle 3+1-\frac{1}{12}$
$=$	$\displaystyle 3+\frac{12}{12}-\frac{1}{12}$
	↓ Subtrahiere die Brüche.
$=$	$\displaystyle 3+\frac{11}{12}$
	↓ Wandle in einen gemischten Bruch um.
$=$	$\displaystyle 3\ \frac{11}{12}$

Übungsaufgaben: Brüche addieren und subtrahieren

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Aufgaben zur Addition und Subtraktion von Brüchen

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