Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz: kgV\mathrm{kgV}, mehrerer Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl, die ein ganzzahliges Vielfaches jeder dieser Zahlen ist.

Ein "Vielfaches" - z.B. von der Zahl 66 - bezeichnet dabei das Ergebnis der Multiplikation von 66 mit einer ganzen Zahl (also sind Vielfache von 66 beispielsweise 26=122\cdot6=12 oder 56=305\cdot 6=30).

Erklärung am Beispiel

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 44 und 1414 nennt man kgV(4;14)\text{kgV}(4;14). Um es zu berechnen, kannst du alle eine Reihe von Vielfachen von 44 und 1414 aufschreiben. Die kleinste Zahl, die ein Vielfaches von 44 und von 1414 ist, ist der kgV\text{kgV}.

Vielfache von 4:

4,8,12,16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...

Vielfache von 14:

14, 28, ...

kgV(4;14)=28\mathrm{kgV}(4;14)=28, denn

  1. 28=4728=4\cdot7 und 28=14228=14\cdot2 und

  2. es gibt keine kleinere Zahl als 2828, die ein Vielfaches von 44 und 1414 ist.

Video zum Thema

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Berechnung durch Primfaktorzerlegung

Zunächst bestimmt man die Primfaktorzerlegung der Zahlen.

Das kgV\mathrm{kgV} der Zahlen ist das Produkt ihrer Primfaktoren. Faktoren, die beide gemeinsam haben, werden nicht mehrfach gezählt.

Beispiel 1

Berechne kgV(4;14)\text{kgV}\left(4;14\right) mit Primfaktorzerlegung. Schreibe gleiche Faktoren untereinander.

Der kgv ist das Produkt aller Primafaktoren. Gleiche Primfaktoren in einer Reihe werden nur einmal genutzt.

Beispiel 2

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 2424 und 3636.

Beispiel 3

Auch mit mehreren Zahlen kannst du das kleinste gemeinsame Vielfache bestimmen. Das kgV von 16, 6 und 9 berechnest du so:

Berechnung mit dem größten gemeinsamen Teiler

Wenn man den größten gemeinsamen Teiler, kurz: ggT\mathrm{ggT}, der Zahlen kennt, kann man die Formel

anwenden, um das kleinste gemeinsame Vielfache zu bestimmen.

Beispiel

Falls noch nicht bekannt, berechnet man den ggT\mathrm{ggT} der Zahlen und berechnet das kgV\mathrm{kgV} wie angegeben.

Übungsaufgaben

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Aufgaben zu ggT und kgV

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