Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz: $\mathrm{kgV}$ , mehrerer Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl, die ein ganzzahliges Vielfaches jeder dieser Zahlen ist.

Ein "Vielfaches" - z. B. von der Zahl $6$ - bezeichnet dabei das Ergebnis der Multiplikation von $6$ mit einer ganzen Zahl (also sind Vielfache von $6$ beispielsweise $2\cdot6=12$ oder $5\cdot 6=30$ ).

Erklärung am Beispiel

Das kleinste gemeinsame Vielfache von $4$ und $14$ nennt man $\text{kgV}(4;14)$ . Um es zu berechnen, kannst du alle eine Reihe von Vielfachen von $4$ und $14$ aufschreiben. Die kleinste Zahl, die ein Vielfaches von $4$ und von $14$ ist, ist der $\text{kgV}$ .

Vielfache von 4:

4,8,12,16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...

Vielfache von 14:

14, 28, ...

$\mathrm{kgV}(4;14)=28$ , denn

$28=4\cdot7$ und $28=14\cdot2$ und
es gibt keine kleinere Zahl als $28$ , die ein Vielfaches von $4$ und $14$ ist.

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Berechnung durch Primfaktorzerlegung

Zunächst bestimmt man die Primfaktorzerlegung der Zahlen.

Das $\mathrm{kgV}$ der Zahlen ist das Produkt ihrer Primfaktoren. Faktoren, die beide gemeinsam haben, werden nicht mehrfach gezählt.

Beispiel 1

Berechne $\text{kgV}\left(4;14\right)$ mit Primfaktorzerlegung. Schreibe gleiche Faktoren untereinander.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}4&=&2&\cdot&2\\14&=&2&&&\cdot&7\end{array}

Der kgV ist das Produkt aller Primfaktoren. Gleiche Primfaktoren in einer Reihe werden nur einmal genutzt.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}4&=&2&\cdot&2\\14&=&2&&&\cdot&7\\\text{kgV}(4;14)&=&2&\cdot&2&\cdot&7&=\textcolor{red}{28}\end{array}

Beispiel 2

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von $24$ und $36$ .

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}24&=&2&\cdot&2&\cdot&2&\cdot&3\\36&=&2&\cdot&2&&&\cdot&3&\cdot&3\\\text{kgV}(24;36)&=&2&\cdot&2&\cdot &2&\cdot&3&\cdot&3&=&\textcolor{red}{72}\end{array}$

Beispiel 3

Auch mit mehreren Zahlen kannst du das kleinste gemeinsame Vielfache bestimmen. Das kgV von 16, 6 und 9 berechnest du so:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}16&=&2&\cdot&2&\cdot&2&\cdot&2\\6&=&2&&&&&&&\cdot&3\\9&=&&&&&&&&&3&\cdot&3\\\text{kgV}(16;6;9)&=&2&\cdot&2&\cdot &2&\cdot&2&\cdot&3&\cdot&3&=&\textcolor{red}{144}\end{array}$

Berechnung mit dem größten gemeinsamen Teiler

Wenn man den größten gemeinsamen Teiler, kurz: $\mathrm{ggT}$ , der Zahlen $a$ und $b$ kennt, kann man die Formel

\displaystyle \mathrm{kgV}(a;b)=\frac{a\cdot b}{\mathrm{ggT}(a;b)}

anwenden, um das kleinste gemeinsame Vielfache zu bestimmen.

Beispiel

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rl}\mathrm{ggT}(24;36)&=12\\\mathrm{kgV}(24;36)&=\displaystyle\dfrac{24\cdot36}{\mathrm{ggT}(24;36)}\\&=\displaystyle\dfrac{864}{12}=72\end{array}$

Falls noch nicht bekannt, berechnet man den $\mathrm{ggT}$ der Zahlen und berechnet das $\mathrm{kgV}$ wie angegeben.

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