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Kleinstes gemeinsames Vielfaches

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Das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz: kgV\mathrm{kgV}, mehrerer Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl, die ein ganzzahliges Vielfaches jeder dieser Zahlen ist.

Ein "Vielfaches" - z. B. von der Zahl 66 - bezeichnet dabei das Ergebnis der Multiplikation von 66 mit einer ganzen Zahl (also sind Vielfache von 66 beispielsweise 26=122\cdot6=12 oder 56=305\cdot 6=30).

Erklärung am Beispiel

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 44 und 1414 nennt man kgV(4;14)\text{kgV}(4;14). Um es zu berechnen, kannst du alle eine Reihe von Vielfachen von 44 und 1414 aufschreiben. Die kleinste Zahl, die ein Vielfaches von 44 und von 1414 ist, ist der kgV\text{kgV}.

Vielfache von 4:

4,8,12,16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...

Vielfache von 14:

14, 28, ...

kgV(4;14)=28\mathrm{kgV}(4;14)=28, denn

  1. 28=4728=4\cdot7 und 28=14228=14\cdot2 und

  2. es gibt keine kleinere Zahl als 2828, die ein Vielfaches von 44 und 1414 ist.

Video zum Thema

Berechnung durch Primfaktorzerlegung

Zunächst bestimmt man die Primfaktorzerlegung der Zahlen.

Das kgV\mathrm{kgV} der Zahlen ist das Produkt ihrer Primfaktoren. Faktoren, die beide gemeinsam haben, werden nicht mehrfach gezählt.

Beispiel 1

Berechne kgV(4;14)\text{kgV}\left(4;14\right) mit Primfaktorzerlegung. Schreibe gleiche Faktoren untereinander.

Der kgV ist das Produkt aller Primfaktoren. Gleiche Primfaktoren in einer Reihe werden nur einmal genutzt.

Beispiel 2

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 2424 und 3636.

24=222336=2233kgV(24;36)=22233=72\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}24&=&2&\cdot&2&\cdot&2&\cdot&3\\36&=&2&\cdot&2&&&\cdot&3&\cdot&3\\\text{kgV}(24;36)&=&2&\cdot&2&\cdot &2&\cdot&3&\cdot&3&=&\textcolor{red}{72}\end{array}

Beispiel 3

Auch mit mehreren Zahlen kannst du das kleinste gemeinsame Vielfache bestimmen. Das kgV von 16, 6 und 9 berechnest du so:

16=22226=239=33kgV(16;6;9)=222233=144\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}16&=&2&\cdot&2&\cdot&2&\cdot&2\\6&=&2&&&&&&&\cdot&3\\9&=&&&&&&&&&3&\cdot&3\\\text{kgV}(16;6;9)&=&2&\cdot&2&\cdot &2&\cdot&2&\cdot&3&\cdot&3&=&\textcolor{red}{144}\end{array}

Berechnung mit dem größten gemeinsamen Teiler

Wenn man den größten gemeinsamen Teiler, kurz: ggT\mathrm{ggT}, der Zahlen aa und bb kennt, kann man die Formel

anwenden, um das kleinste gemeinsame Vielfache zu bestimmen.

Beispiel

ggT(24;36)=12kgV(24;36)=2436ggT(24;36)=86412=72\def\arraystretch{2} \begin{array}{rl}\mathrm{ggT}(24;36)&=12\\\mathrm{kgV}(24;36)&=\displaystyle\dfrac{24\cdot36}{\mathrm{ggT}(24;36)}\\&=\displaystyle\dfrac{864}{12}=72\end{array}

Falls noch nicht bekannt, berechnet man den ggT\mathrm{ggT} der Zahlen und berechnet das kgV\mathrm{kgV} wie angegeben.

Übungsaufgaben: Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu ggT und kgV

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