Primfaktorzerlegung

Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer Zahl als Produkt von Primzahlen.

Jede Primzahl, die diese Zahl teilt, ist ein Primfaktor.

Alle natürlichen Zahlen außer der 11 besitzen eine eindeutige Primfaktorzerlegung.

Beispiele

Bestimme die Primfaktorzerlegung folgender Zahlen:

1) 4242

Lösung: 42=23742=2\cdot3\cdot^{ }7

(2, 3 und 7 sind Primzahlen.)

2) 9999

Lösung: 99=3311=321199=3\cdot3\cdot11=3^2\cdot11

(3 und 11 sind Primzahlen.)

3) 1313

Lösung: 1313 ist bereits eine Primzahl.

Folgende Beispiele sind keine Primfaktorzerlegung:

4) 18

Falsche Lösung: 18= 2918=\ 2\cdot9

 9\Rightarrow\ 9 ist keine Primzahl. 9=339=3\cdot 3

Richtige Lösung: 18=233=23218=2\cdot3\cdot3=2\cdot3^2

5) 16

Falsche Lösung: 16=2+2+5+716=2+2+5+7

16\Rightarrow 16 wurde als Summe von Primzahlen und nicht als Produkt geschrieben!

Richtige Lösung: 16=2222=2416=2\cdot2\cdot2\cdot2=2^4

Vorgehensweise

  1. Betrachte die Zahl und suche eine Primzahl, die diese Zahl teilt.

    Beispiel: Gegeben ist die Zahl 6060. Da die Zahl gerade ist, ist die Primzahl 22 ein Teiler von 6060.

  2. Teile deine Zahl durch deinen gefundenen Primfaktor.

    Beispiel: 60:2=3060:2=30

  3. Suche nun wie in Schritt 1 eine Primzahl, die dein Ergebnis aus Schritt 2 teilt und teile dein Ergebnis durch die gefundene Primzahl.

    Beispiel: 22 ist ein Teiler von 3030 und eine Primzahl. 30:2=1530:2=15

  4. Führe die Schritte 1-3 solange aus, bis du keine Teiler mehr finden kannst.

    Beispiel: 33 ist ein Teiler von 1515. 15:3=515:3=5.

    55 ist eine Primzahl und hat daher keine weiteren Primzahlen als Teiler.

  5. Schreibe die Primfaktorzerlegung auf, indem du alle Primteiler als Produkt notierst.

    Beispiel:

    60=230=2215=2235\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rclll}60&=&2&\cdot&30\\&=&2&\cdot&2&\cdot&15\\&=&2&\cdot&2&\cdot&3&\cdot&5\end{array}

Tipp

Um die Primfaktoren zu bestimmen, beginnt man am besten bei der kleinsten Primzahl 22 und geht diese in aufsteigender Reihenfolge durch.

Beispiel

Bestimme die Primfaktorzerlegung der Zahl  7676 .

Suche einen Primfaktor von 7676.

Ein möglicher Primfaktor ist 22 . Teile durch 22.

76:2=3876:2=38

Suche einen Primfaktor von 3838 .

Ein möglicher Primfaktor ist 22. Teile durch 22 .

38:2=1938:2=19

1919 ist bereits eine Primzahl.

Somit ist man fertig. Die Primfaktorzerlegung ist das Produkt der Primfaktoren.

Übungsaufgaben

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