Primzahlen

Primzahlen sind natürliche Zahlen größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind.

Es sind also genau die natürlichen Zahlen, die genau zwei Teiler besitzen.

Beispiel

So ist 55 eine Primzahl, weil sie größer als 1 ist und neben sich selbst und 11 keine weiteren Teiler besitzt.

Die Zahl 66 ist dagegen zusammengesetzt, also keine Primzahl, weil sie nicht nur 11 und 66, sondern auch 22 und 33 als Teiler besitzt.

Primzahlen werden in der Praxis bei der Verschlüsselung von Daten gebraucht.

Primzahlzerlegung

Zusammengesetzte Zahlen, also Nicht-Primzahlen größer als 1 können in ein Produkt von kleineren Faktoren zerlegt werden. Zum Beispiel ist 48 keine Primzahl, weil sie neben 1 und 48 auch den Teiler 2 besitzt. Damit kannst du schreiben:

Die Zahl 22 ist eine Primzahl und kann damit nicht weiter zerlegt werden. Demgegenüber ist 24 keine Primzahl und kann weiter zerlegt werden. So ist 4 ein Teiler von 24. Also kann 24 weiter zerlegt werden:

Solange Nicht-Primzahlen im Produkt enthalten sind, kannst du es weiter zerlegen, bis nur noch Primzahlen im Produkt enthalten sind:

Wenn du eine natürliche Zahl größer als 1 immer weiter in Produkte zerlegst, so erhältst du irgendwann ein Produkt, das nur Primzahlen enthält. Die besondere Eigenschaft der Primzahlen, dass sie nicht in Produkte mit kleineren Faktoren zerlegt werden können, sorgt dafür, dass am Ende ein Produkt mit ausschließlich Primzahlen entsteht.

Diese Zerlegung einer Zahl in ein Produkt aus Primzahlen wird Primfaktorzerlegung genannt.

Warum ist 1 keine Primzahl?

Die Multiplikation einer Zahl mit 1 verändert diese Zahl nicht. Wenn du 1 als Primzahl zulassen würdest, so könntest du eine Zahl immer weiter dadurch „zerlegen“, dass du 1 als Faktor anhängst. Nimm die Zahl 12. Wäre 1 eine Primzahl, so könntest du folgende unendliche „Primfaktorzerlegung“ durchführen:

Damit dies nicht geschieht, wird die 1 nicht zu den Primzahl gerechnet. Dadurch wird die Primfaktorzerlegung auch eindeutig.

Merke

Jede Primfaktorzerlegung einer Zahl ergibt immer dasselbe Ergebnis (wenn du die Reihenfolge der Faktoren außer Acht lässt).

Die Primzahlen bis 99

Folgende Zahlen bis 99 sind Primzahlen:

Überprüfen, ob eine Zahl eine Primzahl ist

Wenn du überprüfen möchtest, ob eine gegebene Zahl eine Primzahl ist, so besteht die einfachste Methode darin, zu versuchen, die Zahl der Reihe nach durch Primzahlen zu teilen.

Dabei helfen dir die Teilbarkeitsregeln. Wenn du einen Primteiler gefunden hast oder bei der Zahl selbst angekommen bist, hörst du auf. Für eine Zahl größer als 2 heißt das:

  • Du testest, ob die Zahl durch 2 teilbar ist.

    Wenn die Division ohne Rest aufgeht, hast du einen Teiler gefunden. Die Zahl ist keine Primzahl.

    Ist die Zahl jedoch nicht durch 2 teilbar, so probierst du die nächste Primzahl als Teiler aus.

  • Du testest nun gegebenenfalls 3, 5, 7 usw. als weitere Teiler.

Kann man auch früher aufhören?

Wenn du bis zur Wurzel der gegebenen Zahl alle Primzahlen als Teiler ausgeschlossen hast, dann ist die Zahl eine Primzahl. Andernfalls nicht.

Natürlich verwendet man aber heute mit Computern auch andere, effizientere Verfahren. Die Probedivision ist für sehr große Zahlen auch mit dem Computer praktisch undurchführbar.

Wie machst du dir bei großen Zahlen das Leben leichter?

Du musst zunächst nur untersuchen, ob eine Zahl durch eine Primzahl teilbar ist, auf das Ergebnis kommt es nur an, falls das der Fall ist. Die Teilbarkeit durch eine Zahl ändert sich nicht, wenn man Vielfache dieser Zahl addiert oder subtrahiert.

Es gibt unendlich viele Primzahlen

Die Anzahl der Primzahlen ist unendlich. Man kann also keine größte Primzahl finden. Es wird immer eine Primzahl geben, die größer ist. Den Beweis für diese Aussage hat Euklid schon vor mehr als 2000 Jahren geliefert.

Übungsaufgaben

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Aufgaben zur Primfaktorzerlegung

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