Primzahlen

Primzahlen sind natürliche Zahlen pp größer oder gleich 22, die nur durch sich selbst und 11 teilbar sind. Es sind also genau diejenigen natürlichen Zahlen, die genau zwei Teiler besitzen.

So ist 55 eine Primzahl, weil sie größer gleich 22 ist und neben sich selbst und 11 keine weiteren Teiler besitzt. 66 ist keine Primzahl, weil sie nicht nur 11 und 66 sondern auch 22 und 33 als Teiler besitzen.

Primzahlen werden in der Verschlüsselung von Nachrichten und von Daten eingesetzt.

Bedeutung für die Primzahlzerlegung

Nicht-Primzahlen größer als 22 können in ein Produkt von kleineren Faktoren zerlegt werden. Nehme die Zahl 4848. Sie ist keine Primzahl, weil sie neben 11 und 4848 auch den Teiler 22 besitzt. Damit können wir schreiben:

Die Zahl 22 ist eine Primzahl und kann damit nicht in ein Produkt mit Faktoren kleiner als 22 zerlegt werden. Demgegenüber ist 2424 keine Primzahl und kann weiter zerlegt werden (So ist 44 ein Teiler von 2424). Es kann also 2424 weiter zerlegt werden:

Solange wir Nicht-Primzahlen im Produkt haben, können wir es weiter zerlegen, bis wir nur noch Primzahlen im Produkt haben:

Wenn man eine natürliche Zahl größer gleich 22 immer weiter in Produkte zerlegt, so erhält man irgendwann ein Produkt, die nur Primzahlen enthält. Die besondere Eigenschaft der Primzahlen, dass sie nicht in Produkte mit kleineren Faktoren zerlegt werden kann, sorgt dafür, dass am Ende ein Produkt mit nur Primzahlen entsteht. Diese Zerlegung einer Zahl in ein Produkt aus nur Primzahlen wird Primfaktorzerlegung genannt.

Warum ist 1 keine Primzahl?

Die Multiplikation einer Zahl mit 11 verändert diese Zahl nicht. Wenn ich 11 als Primzahl zulassen würde, so könnte ich eine Zahl immer weiter dadurch „zerlegen“, dass ich 1 als Faktor anhänge. Nehmen wir die Zahl 1212. Wäre 11 eine Primzahl, so könnte ich folgende unendliche Primzahlzerlegung machen:

Damit wir irgendwann fertig sind mit der Primzahlenzerlegung, erlauben wir nicht, dass 11 eine Primzahl ist. Dadurch wird unsere Primzahlzerlegung auch eindeutig. Sprich: Nach jeder Primzahlenzerlegung kommen wir immer auf dasselbe Ergebnis (wenn wir die Reihenfolge der Faktoren nicht beachten).

Die Primzahlen bis 99

Folgende Zahlen bis 9999 sind Primzahlen:

Fakten über Primzahlen

  • Die 2 ist die einzige gerade Primzahl.

  • Wenn das Produkt zweier natürlicher Zahlen durch eine Primzahl teilbar ist, dann muss bereits eine der natürlichen Zahlen durch die Primzahl teilbar gewesen sein.

Verfahren zur Überprüfung, ob eine Zahl Primzahl ist

Wenn man eine Zahl gegeben hat und überprüfen soll, ob die gegebene Zahl eine Primzahl ist, ist die einfachste Methode zu versuchen sie der Reihe nach durch alle Primzahlen zu teilen.

Man testet also ob die Zahl durch 2 teilbar ist, dann durch 3, durch 5…

Wenn man bis zur Wurzel der gegebenen Zahl alle Primzahlen als Teiler ausgeschlossen hat, dann ist die Zahl  selbst eine Primzahl. Andernfalls nicht.

Natürlich verwendet man aber heute mit Computern auch andere Verfahren.

Unendlichkeit der Primzahlen

Die Anzahl der Primzahlen ist unendlich. Man kann also keine größte Primzahl finden. Es wird immer eine Primzahl geben die größer ist. Den Beweis für diese These hat Euklid schon vor mehr als 2000 Jahren geliefert.

Übungsaufgaben

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