Rechnen mit gemischten Brüchen

In diesem Artikel wird erklärt, wie man die Grundrechenarten bei gemischten Brüchen anwendet.

Es ist immer möglich, den gemischten in einen unechten Bruch umzuformen und dann die Brüche zu addieren, zu subtrahieren, zu multiplizieren oder zu dividieren.

Im Folgenden wird erklärt, wie man mit gemischten Brüchen auch ohne diese Umformung rechnen kann.

Addition

Brüche und ganze Zahlen addiert man getrennt.

Sollte das Ergebnis der Addition der Brüche ein unechter Bruch sein, wandelt man ihn in einen gemischten Bruch um. Anschließend addiert man den ganzzahligen Teil zu der Summe der ganzen Zahlen dazu.

Beispiel

Beschreibung	Berechnung
Man kann zunächst die gemischten Brüche als Summe schreiben und dann so umsortieren, dass man zuerst die ganzen Zahlen addiert und dann die Brüche.	$2\frac23+7\frac56$
Man muss nicht alle diese Zwischenschritte notieren, vieles davon passiert im Kopf. Wichtig sind vor allem die letzten beiden Zeilen. $\frac32$ ist ein unechter Bruch. Man wandelt ihn in einen gemischten Bruch um.	$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}=&2+\frac23+7+\frac56\\=&(2+7)+\left(\frac23+\frac56\right)\\=&9+\left(\frac46+\frac56\right)\\=&9+\frac32\end{array}$
Nun werden die ganzen Zahlen addiert und das Ergebnis wird als gemischter Bruch notiert.	$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}=& 9+\frac22+\frac12\\=& (9+1)+\frac12\end{array}$
	$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}=&10+\frac12\\=&10\frac12\end{array}$

Subtraktion

Hier geht man wie bei der Addition vor. Man subtrahiert die ganzzahligen Anteile und anschließen die Brüche. Hier ist es wichtig, auf die Vorzeichen zu achten.

Ein besonderer Fall ist es, wenn das Ergebnis einer der Differenzen negativ ist.

Beispiel


Man kann die gemischten Brüche zuerst als Summe schreiben. Achtung: Klammern nicht vergessen!	$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}\hphantom{=}&8\frac15-5\frac34\end{array}$
Nun ordnet man die Zahlen um und berechnet die Werte der Differenzen.	$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}=&\left(8+\frac15\right)-\left(5+\frac34\right)\end{array}$
Hier ist der Bruch nun negativ, deswegen kann man ihn nicht einfach als gemischten Bruch notieren. Man nimmt einen Einer von der ganzen Zahl und subtrahiert davon den Bruch.	$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}=&(8-5)+\left(\frac15-\frac34\right)\\=&3+\left(\frac4{20}-\frac{15}{20}\right)\\=&3+\left(-\frac{11}{20}\right)\end{array}$
Nun kann man das Ergebnis als gemischten Bruch notieren.	$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}=&2+\left(1-\frac{11}{20}\right)\\=&2+\frac9{20}\end{array}$
	$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}=&2\frac9{20}\end{array}$

Multiplikation

Man notiert die gemischte Zahl als Summe und wendet das Distributivgesetz an.

Beispiel

Beschreibung	Berechnung
Man schreibt die gemischten Brüche als Summen. Achtung: Klammern setzen!	$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}\hphantom{=}&1\frac59\cdot3\frac14\end{array}$
Nun wendet man das Distributivgesetz an und fasst die Brüche zusammen.	$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}=&\left(1+\frac59\right)\cdot\left(3+\frac14\right)\end{array}$
Den unechten Bruch wandelt man dann in einen gemischten Bruch um und addiert zu dem ganzzahligen Teil die $3$ hinzu.	$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}=&1\cdot3+\frac59\cdot3+1\cdot\frac14+\frac59\cdot\frac14\\=&3+\frac53+\frac14+\frac5{36}\\=&3+\frac{60}{36}+\frac9{36}+\frac{5}{36}\\=&3+\frac{74}{36}\end{array}$
	$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}=&3+\frac{72}{36}+\frac{2}{36}\\=&3+2+\frac1{18}\\=&5\frac1{18}\end{array}$

Division

Wenn man durch einen gemischten Bruch dividieren soll, ist es im Allgemeinen geschickter, ihn in einen Bruch umzuwandeln und dann mit dem Kehrwert zu multiplizieren.

Will man einen gemischten Bruch durch eine Zahl teilen, wendet man wie auch bei der Multiplikation das Distributivgesetz an.

Beispiel

Beschreibung	Berechnung
Man schreibt den gemischten Bruch als Summe und wendet das Distributivgesetz an.	$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}\hphantom{=}&6\frac35:4\end{array}$
	$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}=&\left(6+\frac35\right):4\\=&\frac64+\frac3{20}\\=&\frac{33}{20}\\=&1\frac{13}{20}\end{array}$

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