Distributivgesetz

Das Distributivgesetz oder "Verteilungsgesetz" erlaubt das Ausmultiplizieren bzw. Ausklammern von Termen.

Bei der Multiplikation einer Summe/Differenz mit einem Faktor werden die Summanden beispielsweise nacheinander mit demselben Faktor ausmultipliziert:

$a\cdot\left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c$ bzw.
$a\cdot\left(b-c\right)=a\cdot b-a\cdot c$

Erklärung des Gesetzes am Beispiel

Stelle dir vor, du schuldest deinen fünf Freunden jeweils 12 Euro und möchtest ihnen das Geld zurückgeben. Leider hast du heute deine Münzen zu Hause vergessen. Nun hast du zwei Möglichkeiten, ihnen das Geld zurückzugeben:

Entweder du gibst heute allen 5 Freunden 10 Euro und reichst morgen jeweils die fehlenden 2 Euro nach.
Alternativ kannst du aber auch morgen das ganze Geld mitnehmen und allen auf einmal jeweils 12 Euro zurückgeben.

Diese Handlung kann mithilfe eines mathematischen Terms beschrieben werden:

\displaystyle \text{1. Möglichkeit}:\quad5\cdot 10+5\cdot 2=50+10=60

\displaystyle \text{1. Möglichkeit}:\quad5\cdot 10+5\cdot 2=50+10=60

Beide Terme beschrieben den gleichen Wert, womit gelten muss:

\displaystyle \text{1. Möglichkeit}:\quad5\cdot 10+5\cdot 2=50+10=60

Die Bedeutung dieser Rechnung kann man anhand eines Punktemusters besser nachvollziehen:

Aufteilung eines Punktemusters, Distributivgesetz

DefinitionDistributivgesetz

Das Distributivgesetz wird definiert als

$a\cdot\left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c$

Bei dieser Rechnung von links nach rechts wurden die Klammern aufgelöst, dieser Vorgang wird "Ausmultiplizieren" genannt. Zudem gilt die Umkehrung

$a\cdot b+a\cdot c=a\cdot \left(b+c\right)$

welche "Ausklammern" genannt wird, da der gemeinsame Faktor $a$ vor die Klammer geholt wird.

VorsichtProdukt oder Quotient in der Klammer

Befindet sich in den Klammern eine Multiplikation oder Division, gilt das Distributivgesetz nicht. Wie Du in diesem Fall die Klammer auflösen kannst, erfährst Du in dem Artikel "Klammer auflösen".

Distributivgesetz beim Rechnen mit "geteilt durch" statt "mal"

Bei einer Division kann man das Distributivgesetz auf den Dividenden anwenden, nicht jedoch auf den Divisor:

Formel	Beispiel
$(a+b):c=a:c+b:c$	$120:5=24$ und ebenso $(120:5)=(100+20):5=100:5+20:5=20+4=24$
ABER: $a:(b+c)\ne a:b+a:c$	$60:(2+3)=60:5=12$ aber $60:2+60:3=30+20=50$

Distributivgesetz beim Rechnen mit Variablen

Ausmultiplizieren von Klammern

\displaystyle \text{1. Möglichkeit}:\quad5\cdot 10+5\cdot 2=50+10=60

Ausklammern eines Faktors

$a\cdot b-a\cdot c\;=\;a\cdot \left(b-c\right)\;$

einfach umgekehrt wie beim Ausmultiplizieren)

	$\displaystyle 4x+2x^2+8x^3$
	↓ Gemeinsamen Faktor suchen: $2x$
$=$	$\displaystyle 2x\cdot2+2x\cdot x+2x\cdot4x^2$
	↓ Ausklammern
$=$	$\displaystyle 2x\cdot\left(2+x+4x^2\right)$

Distributivgesetz erklärt

In diesem Video wird das Distributivgesetz erklärt und mithilfe von Beispielen vertieft.

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Übungsaufgaben: Distributivgesetz

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Aufgaben zum Anwenden der Rechengesetze

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