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Vereinfachen von Termen mit Klammern

Viele Terme enthalten Klammern. In diesem Artikel erfährst du, wie du diese Terme vereinfachen kannst und wie du selbst Klammern in Termen setzen kannst.

Klammern auflösen

Klammern bei Summen oder Differenzen

Klammern bei Summen kannst du mithilfe des Assoziativgesetzes auflösen.

x+(y+3)=x+y+3

Bei einer Differenz, also mit einem Minus vor der Klammer drehen sich alle Vorzeichen in der Klammer um!

x(y+3)=xy3

Beispielaufgabe:

2+x(y+x4)=

Löse zunächst die Klammer auf! Achte dabei auf das Minus vor der Klammer.

=2+xyx+4

Ordne den Term so, dass gleichartige Terme nebeneinander stehen, also Zahlen und gleiche Variablen.

=2+4+xxy

Vereinfache den Term.

=6y

Klammern bei Produkten

Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie Klammern in einem Produkt vorkommen können. Entweder, es gibt einen Faktor, der mit einer Klammer multipliziert wird:

a(bc)

oder

a(x+y)

oder es werden zwei Klammern miteinander multipliziert:

(x+y)(a+b)

Den einfachsten Fall hast du bei: a(bc)

Dort gilt wieder das Assoziativgesetz, du kannst (unter Beachtung der Vorzeichen) die Klammer einfach weglassen.

a(bc)=abc

Beispielaufgabe:

3x(47x)=

Wegen des Assoziativgesetzes kannst du die Klammern einfach weglassen.

=3x47x

Ordne den Term so, dass gleiche Variablen beieinander stehen.

=3x7x4

Multipliziere die einzelnen Faktoren von links nach rechts.

=21x24
=84x2

Ausmultiplizieren

Wenn nur ein Faktor vor einer Klammer steht, in der eine Summe oder Differenz steht, nennt man die Vereinfachung ausmultiplizieren. Dabei wird das Distributivgesetz angewendet.

Bild

Beispielaufgabe:

2xy4x(y+3x2)=

Multipliziere die Klammer mit dem Faktor 4x. Achte besonders auf das Minus vor dem Faktor!

=2xy4xy+(4x)3x(4x)2
=2xy4xy12x2+8x

Fasse nun die ersten beiden Summanden zusammen.

=2xy12x2+8x

Klammern miteinander multiplizieren

Wenn du zwei Klammern, in denen Summen oder Differenzen stehen, miteinander multiplizieren willst, musst du dies komponentenweise tun. Achte dabei besonders auf Vorzeichen!

Bild

Beispielaufgabe:

Vereinfache den Term so weit wie möglich

(2x+y)(3y7x)=

Multipliziere die Klammern komponentenweise, wie oben gezeigt.

=2x3y+2x(7x)+y3y+y(7x)

Vereinfache nun die einzelnen Summanden, achte dabei auf die Vorzeichen!

=6xy14x2+3y27xy

Sortiere den Term, so dass gleiche Variablen nebeneinander stehen.

=6xy7xy14x2+3y2

Vereinfache den Term nun so weit wie möglich.

=xy14x2+3y2

Klammern Setzen

DefinitionAusklammern

Ausklammern bezeichnet die Umkehrung des Ausmultiplizierens. Durch diese Operation können Terme vereinfacht und organisiert werden.

Du hast also einen Term, bei dem in den einzelnen Summanden gleiche Faktoren vorkommen:

ax+ay= a(x+y)

Hier konntest du den Faktor a ausklammern.

Vereinfache den Term

2xy+4x6x2y=

Hier kommt in jedem Summanden der Faktor 2x vor

=2xy+2x22x3xy

Diesen Faktor kannst du nun ausklammern

=2x(y+23xy)

Du kannst auch nur Teile des Terms so zusammenfassen, anschließend muss natürlich Punkt vor Strich beachtet werden!

ax+3ay+xy=a(x+3y)+xy

Ausklammern bei Bruchtermen

Besonders wichtig ist das Ausklammern bei Bruchtermen, da man diese so kürzen kann.

Beispiel:

2xy+4x6x2y4xy8x4x3=

Hier kannst du im Zähler 2x und im Nenner 4x ausklammern

=2x(y+23xy)4x(y2x2)

Nun kann im Bruch 2x gekürzt werden. Du erhältst

=y+23xy2(y2x2)

Weiter ist dieser Bruch nicht kürzbar, da Zähler und Nenner keine gemeinsamen Teiler mehr besitzen.

Übungsaufgaben

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Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zum Ausklammern

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