Hauptnenner bilden

Als Hauptnenner zweier oder mehrerer Brüche bezeichnet man das kleinste gemeinsame Vielfache ihrer Nenner. "Auf den Hauptnenner bringen" bedeutet, die Brüche alle so zu erweitern oder zu kürzen, dass alle denselben Nenner besitzen. Dies ist z.B. notwendig, um ihre Größe zu vergleichen und sie zu addieren oder zu subtrahieren.

Rechnerisches Vorgehen

Zuerst soll das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner bestimmt werden. Dafür wendet man die Primfaktorzerlegung an. Um den Hauptnenner zu errechnen, werden dafür alle Primfaktoren der beiden Nenner so oft, wie sie bei den Zerlegungen am häufigsten vorkommen, multipliziert. Dieses Verfahren wird dir im Artikel für kgV genauer erklärt.

Die beiden Brüche erweitert man nun so, dass ihre Nenner das kleinste gemeinsame Vielfache erreichen und hat die Brüche so auf einen Hauptnenner gebracht.

Beispiel 1

Gegeben: $\displaystyle\frac16+\frac35$

Zuerst schaust du dir die Brüche einzeln an und überprüfst, ob du sie kürzen kannst. Weder $\displaystyle\frac16$ noch $\displaystyle\frac35$ kann man kürzen.

Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu bestimmen, schaust du dir die Nenner an. Hier sind wir auf der Suche nach Primfaktoren. Hierzu nutzen wir die Primfaktorzerlegung.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}6&=&2&\cdot&3\\5&=&&&&&5\\\text{kgV}(6;5)&=&2&\cdot&3&\cdot&5&=\textcolor{red}{30}\end{array}$

Über die Primfaktorzerlegung bestimmst du das kgV. Das ist unser Hauptnenner. In unserem Beispiel ist das $3\;\cdot\;2\;\cdot\;5\;=\;30$ . Im nächsten Schritt erweiterst du die Brüche auf den Hauptnenner $30$ und kannst sie jetzt summieren.

Erweitere auf den Hauptnenner 30.
	↓
$\displaystyle \frac16\;+\;\frac35$	$=$	$\displaystyle \frac{1\;\cdot\;5}{6\;\cdot\;5}\;+\;\frac{3\;\cdot\;6}{5\;\cdot\;6}$
	↓	Vereinfache die Zähler und addiere die Brüche, indem du die Zähler addierst.
	$=$	$\displaystyle \frac{5\;+\;18}{30}$
	↓	Addiere.
	$=$	$\displaystyle \frac{23}{30}$

Beispiel 2

Berechne $\displaystyle\frac1{48}+\frac1{90}$ .

Mache zunächst eine Primfaktorzerlegung der Nenner.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}48&=&2&\cdot&2&\cdot&2&\cdot&2&\cdot&3\\90&=&2&&&&&&&\cdot&3&\cdot&3&\cdot&5\\\text{kgV}(48;90)&=&2&\cdot&2&\cdot&2&\cdot&2&\cdot&3&\cdot&3&\cdot&5&=\textcolor{red}{720}\end{array}$

Der Primfaktor $2$ kommt am häufigsten in der Zahl $48$ vor: $4$ mal. $\Rightarrow2\cdot2\cdot2\cdot2$

Der Primfaktor $3$ kommt am häufigsten in der Zahl $90$ vor: $2$ mal. $\Rightarrow3\cdot3$

Der Primfaktor $5$ kommt am häufigsten in der Zahl $90$ vor: $1$ mal. $\Rightarrow5$

Der Hauptnenner von $\frac1{48}$ und $\frac1{90}$ ist also $720$ .

Jetzt erweitert man die Brüche auf den Nenner $720$ .

$\displaystyle\frac1{48}=\frac{15\cdot1}{15\cdot48}=\frac{15}{720}$

$\\\displaystyle\frac1{90}=\frac{8\cdot1}{8\cdot90}=\frac8{720}$

Nun kann man die Brüche addieren.

$\displaystyle\frac1{48}+\frac1{90}=\frac{15}{720}+\frac8{720}=\frac{23}{720}$

Enthält deine Gleichung Variablen, verwende dieses Verfahren zum Bilden des Hauptnenners mit Variablen.

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