Aufgaben zum Aufstellen der Geradengleichung

Vorgegebene Graphengleichung: $y=\frac{5}{4}x-1$

Du kannst die Steigung und den y-Achsenabschnitt dieses Graphen an der Gleichung ablesen.

$m=\frac{5}{4}\text{}$

$\text{}t=-1$

Überprüfe zuerst bei welchen Funktionen der y-Achsenabschnitt $t=-1$ beträgt, indem du den y-Wert jedes Graphen abliest, indem die y-Achse geschnitten wird.

Nur Graph I und II haben den y-Achsenabschnitt $-1$ also kannst du jeden anderen Graphen ausschließen.

Überprüfe nun welcher der beiden Graphen die Steigung $m=\frac{5}{4}$ besitzt, indem du vom Punkt $x=0$ ausgehend eins nach rechts gehst und überprüfst, welcher der beiden y-Werte sich um  $\frac{5}{4}$ erhöht.

Beide Graphen beginnen beim Punkt $P(0;-1)$. Da die gesuchte Gerade die Steigung $\frac{5}{4}$ hat, geht sie auch durch den Punkt $(0+4|-1+5)=(4|4)$.

Durch diesen Punkt läuft nur die Gerade II.

$\Rightarrow$   Der Graph II ist der Graph, der zu der vorgegebenen Gleichung gehört.

zu überprüfende Gerade: Graph III

Lies zuerst wo der Graph die y-Achse schneidet, um den y-Achsenabschnitt zu ermitteln.

Der y-Wert des Punktes, indem die  y-Achse geschnitten wird, beträgt $y=\mathrm{1,25}$. Somit ist $t=\mathrm{1,25}$ .

Lies nun ab um wieviel sich der y-Wert verändert, wenn du ausgehend von $x=0$, eins nach rechts gehst. Dadurch ermittelst du die Steigung.

Der y-Wert erhöht sich von $y=\mathrm{1,25}$ auf $y=\mathrm{2,25}$. Somit beträgt die Steigung $m=\frac{\mathrm{2,25}-\mathrm{1,25}}{1}=\frac{1}{1}=1$ .

Stelle die Gleichung auf.

⇒   Der Graph III hat die Gleichung $y=x+\mathrm{1,25}$

Lineare Funktion $f(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$f(x)=m\cdot x+t$

Lies den y-Achsenabschnitt an der Abbildung ab.

$t=2$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab und berechne die Steigung:

Du kannst zum Beispiel diese Punkte verwenden:

$P_1(-3|0)$ $x_1=-3$ und $y_1=0$

$P_2(0|2)$ $x_2=0$ und $y_2=2$

Für die Steigung erhältst du dann durch einsetzen:

$${\displaystyle m=\frac{2-0}{0-(-3)}=\frac{2}{3}}$$

Setze die berechneten Werte von $m$ und $t$ nun in die allgemeine Form ein:

$f(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot x+2$

Lineare Funktion $g(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$g(x)=m\cdot x+t$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um die Steigung zu berechnen.

$${\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$$

Beispielsweise kannst du diese beiden Punkte verwenden:

$P_1(2|-4)$ $x_1=2$ und $y_1=-4$

$P_2(\mathrm{3,5}|0)$ $x_2=\mathrm{3,5}$ und $y_2=0$

Die Steigung ist dann:

$${\displaystyle m=\frac{0-(-4)}{\mathrm{3,5}-2}=\frac{4}{\mathrm{1,5}}=4\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{3}}$$

Da der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar ist, musst du ihn berechnen. Stelle dafür die Geradengleichung auf.

$${\displaystyle g(x)=\frac{8}{3}\cdot x+t}$$

Setze einen der Punkte ein, zum Beispiel $(2|-4)$.

$${\displaystyle -4=\frac{8}{3}\cdot 2+t}$$

Löse nun nach $t$ auf.

$${\displaystyle t=-4-\frac{8}{3}\cdot 2=-\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{28}{3}}$$

Setze die Werte von $m$ und $t$ in die allgemeine Form der linearen Funktion ein und du bekommst die Geradengleichung:

$${\displaystyle g(x)=\frac{8}{3}\cdot x-\frac{28}{3}}$$

Lineare Funktion $h(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$h(x)=m\cdot x+t$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um die Steigung zu berechnen.

$${\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$$

Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:

$P_1(0|-2)$ $x_1=0$ und $y_1=-2$

$P_2(4|-3)$ $x_2=4$ und $y_2=-3$

Mit ihnen kannst du nun die Steigung berechnen:

$${\displaystyle m=\frac{-3-(-2)}{4-0}=\frac{-3+2}{4}=-\frac{1}{4}}$$

Lies entweder $t=-2$ ab oder berechne den Wert. Um ihn zu berechnen, stelle die Geradengleichung auf.

$${\displaystyle h(x)=-\frac{1}{4}\cdot x+t}$$

Setze einen Punkt ein, der auf der Gerade liegt, zum Beispiel $(4|-3)$.

$${\displaystyle -3=-\frac{1}{4}\cdot 4+t}$$

Löse nun noch nach $t$ auf.

$t=-3+1=-2$

Setze $m=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ und $t=-2$ in die allgemeine Form ein und du erhältst die Geradengleichung:

$${\displaystyle h(x)=-\frac{1}{4}\cdot x-2}$$

Lineare Funktion $f(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$f(x)=m\cdot x+t$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um mit ihnen die Steigung zu berechnen:

$${\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$$

Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:

$P_1(2|4)$ $x_1=2$ und $y_1=4$

$P_2(\mathrm{2,5}|0)$ $x_2=\mathrm{2,5}$ und $y_2=0$

Als Steigung ergibt sich:

$${\displaystyle m=\frac{0-4}{\mathrm{2,5}-2}=\frac{-4}{\mathrm{0,5}}=-4\cdot \frac{2}{1}=-8}$$

Da der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar ist, musst du ihn berechnen. Stelle daher die Geradengleichung auf:

$${\displaystyle f(x)=-8\cdot x+t}$$

Setze einen der Punkte, zum Beispiel $(2|4)$, ein:

$${\displaystyle 4=-8\cdot 2+t}$$

Löse nach $t$ auf.

$${\displaystyle t=4+8\cdot 2=4+16=20}$$

Setze $m=-8$ und $t=20$ in die allgemeine Form ein und du bekommst als Ergebnis die Geradengleichung:

$f(x)=-8\cdot x+20$

Lineare Funktion $g(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$g(x)=m\cdot x+t$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um mit ihnen die Steigung zu berechnen:

$${\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$$

Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:

$P_1(0|-2)$ $x_1=0$ und $y_1=-2$

$P_2(-4|-3)$ $x_2=-4$ und $y_2=-3$

Berechne mit ihnen nun die Steigung:

$${\displaystyle m=\frac{-3-(-2)}{-4-0}=\frac{-3+2}{-4}=\frac{1}{4}}$$

Lies den y-Achsenabschnitt an der Abbildung ab.

$t=-2$

Setze $m={\displaystyle \frac{1}{4}}$ und $t=-2$ in die allgemeine Form der linearen Funktion ein und du erhältst die Geradengleichung von $g$:

$${\displaystyle g(x)=\frac{1}{4}\cdot x-2}$$

$A(5|7),B(-3|8)$

Setze die Punkte in den Differenzenquotient für die Gerade ein.

Die Steigung der Geraden beträgt $m=-\frac{1}{8}$.

$A(1|2),B(3|4)$

Setze die Punkte in den Differenzenquotient für die Gerade ein.

Die Steigung der Geraden beträgt m = 1.

Gegeben: Punkt $P(0|3)$ und Punkt $Q(2|-3)$

Setze die x-Werte (erste Koordinate) und die y-Werte (zweite Koordinate) in die allgemeine Geradengleichung ein.

$3=m\cdot 0+t$

$-3=m\cdot 2+t$

Bei der ersten Gleichung kannst du sofort ablesen, dass $t=3$. Dieses $t$ kannst du in die zweite Gleichung einsetzen, um $m$ auszurechnen.

Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.

$y=-3x+3$

Gegeben: Punkt $P(1|3)$ und $Q(3|-1)$

Berechne die Differenz der beiden x-Werte und der beiden y-Werte, um die Steigung zu bestimmen.

x-Werte: $3-1=2$

y-Werte: $-1-3=-4$

Während der x-Wert um $2$ steigt, nimmt der y-Wert um $4$ ab. Dividiere den y-Wert durch den x-Wert, um die Steigung auszurechnen.

$m=\frac{-4}{2}=-2$

Setze m, den x-Wert und den y-Wert eines der Punkte in die allgemeine Geradengleichung ein, um $t$ zu bestimmen.

Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein, um die Gleichung der Funktion aufzustellen.

$y=-2x+5$

Geradengleichung ermitteln

Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte $P(2|0)$ und $Q(-2|2)$ in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.

Geradengleichung ermitteln

Gerade zeichnen

Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte $P(\mathrm{0,5}|\mathrm{1,5})$ und $Q(5|3)$ in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.

Geradengleichung ermitteln

Gerade zeichnen

Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte $P(-2|1)$ und $Q(6|4)$ in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.

Geradengleichung ermitteln

$1=-\frac{2}{5}\cdot (-4)+t$

Gerade zeichnen

Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte $P(-4|1)$ und $Q(1|-1)$ in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.