Lineare Funktion $f(x)f(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$f(x)=m\cdot x+tf(x)=m\; \backslash cdot\; x+t$

Lies den y-Achsenabschnitt an der Abbildung ab.

$t=2t\; =\; 2$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab und berechne die Steigung:

Du kannst zum Beispiel diese Punkte verwenden:

$P_1(-3\mathrm{\mid }0)P\_1(-3|0)$ $x_1=-3x\_1=\; -3$ und $y_1=0y\_1\; =\; 0$

$P_2(0\mathrm{\mid }2)P\_2(0|2)$ $x_2=0x\_2=\; 0$ und $y_2=2y\_2\; =\; 2$

Für die Steigung erhältst du dann durch einsetzen:

${\displaystyle m=\frac{2-0}{0-(-3)}=\frac{2}{3}}\backslash displaystyle\; m\; =\; \backslash frac\{2\; -\; 0\}\{0\; -\; (-3)\}\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\}$

Setze die berechneten Werte von $mm$ und $tt$ nun in die allgemeine Form ein:

$f(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot x+2f(x)\; =\; \backslash dfrac\{2\}\{3\}\backslash cdot\; x\; +\; 2$

Lineare Funktion $g(x)g(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$g(x)=m\cdot x+tg(x)=m\; \backslash cdot\; x+t$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um die Steigung zu berechnen.

${\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\backslash displaystyle\; m\; =\; \backslash frac\{y\_2\; -\; y\_1\}\{x\_2\; -\; x\_1\}$

Beispielsweise kannst du diese beiden Punkte verwenden:

$P_1(2\mathrm{\mid }-4)P\_1(2|-4)$ $x_1=2x\_1=\; 2$ und $y_1=-4y\_1=-4$

$P_2(\mathrm{3,5}\mathrm{\mid }0)P\_2(3\{,\}5|0)$ $x_2=\mathrm{3,5}x\_2=3\{,\}5$ und $y_2=0y\_2\; =\; 0$

Die Steigung ist dann:

${\displaystyle m=\frac{0-(-4)}{\mathrm{3,5}-2}=\frac{4}{\mathrm{1,5}}=4\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{3}}\backslash displaystyle\; m\; =\; \backslash frac\{0\; -\; (-4)\}\{3\{,\}5\; -\; 2\}\; =\; \backslash frac\{4\}\{1\{,\}5\}\; =\; 4\; \backslash cdot\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; =\; \backslash frac\{8\}\{3\}$

Da der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar ist, musst du ihn berechnen. Stelle dafür die Geradengleichung auf.

${\displaystyle g(x)=\frac{8}{3}\cdot x+t}\backslash displaystyle\; g(x)\; =\; \backslash frac\{8\}\{3\}\; \backslash cdot\; x\; +\; t$

Setze einen der Punkte ein, zum Beispiel $(2\mathrm{\mid }-4)(2|-4)$.

${\displaystyle -4=\frac{8}{3}\cdot 2+t}\backslash displaystyle\; -4\; =\; \backslash frac\{8\}\{3\}\; \backslash cdot\; 2\; +\; t$

Löse nun nach $tt$ auf.

${\displaystyle t=-4-\frac{8}{3}\cdot 2=-\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{28}{3}}\backslash displaystyle\; t\; =\; -4-\; \backslash frac\{8\}\{3\}\; \backslash cdot\; 2\; =\; -\backslash frac\{12\}\{3\}-\; \backslash frac\{16\}\{3\}\; =\; -\backslash frac\{28\}\{3\}$

Setze die Werte von $mm$ und $tt$ in die allgemeine Form der linearen Funktion ein und du bekommst die Geradengleichung:

${\displaystyle g(x)=\frac{8}{3}\cdot x-\frac{28}{3}}\backslash displaystyle\; g(x)=\backslash frac\{8\}\{3\}\; \backslash cdot\; x\; -\; \backslash frac\{28\}\{3\}$

Lineare Funktion $h(x)h(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$h(x)=m\cdot x+th(x)=m\; \backslash cdot\; x+t$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um die Steigung zu berechnen.

${\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\backslash displaystyle\; m\; =\; \backslash frac\{y\_2\; -\; y\_1\}\{x\_2\; -\; x\_1\}$

Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:

$P_1(0\mathrm{\mid }-2)P\_1(0|-2)$ $x_1=0x\_1=\; 0$ und $y_1=-2y\_1\; =\; -2$

$P_2(4\mathrm{\mid }-3)P\_2(4|-3)$ $x_2=4x\_2=\; 4$ und $y_2=-3y\_2=-3$

Mit ihnen kannst du nun die Steigung berechnen:

${\displaystyle m=\frac{-3-(-2)}{4-0}=\frac{-3+2}{4}=-\frac{1}{4}}\backslash displaystyle\; m\; =\; \backslash frac\{-3\; -\; (-2)\}\{4\; -\; 0\}\; =\; \backslash frac\{-3\; +\; 2\}\{4\}\; =\; -\backslash frac\{1\}\{4\}$

Lies entweder $t=-2t=-2$ ab oder berechne den Wert. Um ihn zu berechnen, stelle die Geradengleichung auf.

${\displaystyle h(x)=-\frac{1}{4}\cdot x+t}\backslash displaystyle\; h(x)\; =\; -\backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash cdot\; x\; +\; t$

Setze einen Punkt ein, der auf der Gerade liegt, zum Beispiel $(4\mathrm{\mid }-3)(4|-3)$.

${\displaystyle -3=-\frac{1}{4}\cdot 4+t}\backslash displaystyle\; -3\; =\; -\backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash cdot\; 4\; +\; t$

Löse nun noch nach $tt$ auf.

$t=-3+1=-2t\; =\; -3\; +\; 1\; =\; -2$

Setze $m=-{\displaystyle \frac{1}{4}}m\; =\; -\backslash dfrac14$ und $t=-2t\; =\; -2$ in die allgemeine Form ein und du erhältst die Geradengleichung:

${\displaystyle h(x)=-\frac{1}{4}\cdot x-2}\backslash displaystyle\; h(x)\; =\; -\backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash cdot\; x\; -2$

Lineare Funktion $f(x)f(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$f(x)=m\cdot x+tf(x)=m\; \backslash cdot\; x+t$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um mit ihnen die Steigung zu berechnen:

${\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\backslash displaystyle\; m\; =\; \backslash frac\{y\_2\; -\; y\_1\}\{x\_2\; -\; x\_1\}$

Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:

$P_1(2\mathrm{\mid }4)P\_1(2|4)$ $x_1=2x\_1=\; 2$ und $y_1=4y\_1=4$

$P_2(\mathrm{2,5}\mathrm{\mid }0)P\_2(2\{,\}5|0)$ $x_2=\mathrm{2,5}x\_2=\; 2\{,\}5$ und $y_2=0y\_2=0$

Als Steigung ergibt sich:

${\displaystyle m=\frac{0-4}{\mathrm{2,5}-2}=\frac{-4}{\mathrm{0,5}}=-4\cdot \frac{2}{1}=-8}\backslash displaystyle\; m\; =\; \backslash frac\{0\; -\; 4\}\{2\{,\}5\; -\; 2\}\; =\; \backslash frac\{-4\}\{0\{,\}5\}\; =\; -4\; \backslash cdot\; \backslash frac\{2\}\{1\}\; =\; -8$

Da der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar ist, musst du ihn berechnen. Stelle daher die Geradengleichung auf:

${\displaystyle f(x)=-8\cdot x+t}\backslash displaystyle\; f(x)\; =\; -8\; \backslash cdot\; x\; +\; t$

Setze einen der Punkte, zum Beispiel $(2\mathrm{\mid }4)(2|4)$, ein:

${\displaystyle 4=-8\cdot 2+t}\backslash displaystyle\; 4\; =\; -8\; \backslash cdot\; 2\; +\; t$

Löse nach $tt$ auf.

${\displaystyle t=4+8\cdot 2=4+16=20}\backslash displaystyle\; t\; =\; 4\; +\; 8\; \backslash cdot\; 2\; =\; 4\; +\; 16\; =\; 20$

Setze $m=-8m=-8$ und $t=20t\; =\; 20$ in die allgemeine Form ein und du bekommst als Ergebnis die Geradengleichung:

$f(x)=-8\cdot x+20f(x)\; =\; -8\backslash cdot\; x\; +\; 20$

Lineare Funktion $g(x)g(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$g(x)=m\cdot x+tg(x)=m\; \backslash cdot\; x+t$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um mit ihnen die Steigung zu berechnen:

${\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\backslash displaystyle\; m\; =\; \backslash frac\{y\_2\; -\; y\_1\}\{x\_2\; -\; x\_1\}$

Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:

$P_1(0\mathrm{\mid }-2)P\_1(0|-2)$ $x_1=0x\_1=\; 0$ und $y_1=-2y\_1=-2$

$P_2(-4\mathrm{\mid }-3)P\_2(-4|-3)$ $x_2=-4x\_2=\; -4$ und $y_2=-3y\_2=-3$

Berechne mit ihnen nun die Steigung:

${\displaystyle m=\frac{-3-(-2)}{-4-0}=\frac{-3+2}{-4}=\frac{1}{4}}\backslash displaystyle\; m\; =\; \backslash frac\{-3\; -\; (-2)\}\{-4\; -\; 0\}\; =\; \backslash frac\{-3\; +2\}\{-4\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\}$

Lies den y-Achsenabschnitt an der Abbildung ab.

$t=-2t\; =\; -2$

Setze $m={\displaystyle \frac{1}{4}}m\; =\; \backslash dfrac14$ und $t=-2t\; =\; -2$ in die allgemeine Form der linearen Funktion ein und du erhältst die Geradengleichung von $gg$:

${\displaystyle g(x)=\frac{1}{4}\cdot x-2}\backslash displaystyle\; g(x)=\backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash cdot\; x\; -\; 2$