Geradensteigung

Dieser Artikel beschäftigt sich mit Geraden als Graphen linearer Funktionen, also Funktionen der Form $f(x)=m \cdot x+t$ .

Das $m$ in der obigen Gleichung wird Steigung der Geraden genannt.

Die Steigung einer Geraden gibt an, um wie viele Einheiten sich die y-Koordinate eines Punktes verändert, wenn sich seine x-Koordinate um eine Einheit verändert. Anders gesagt: Die Steigung einer Geraden misst, wie steil sie ansteigt.

verschiedene Geradensteigungen $m$

Geradensteigung berechnen

Die Steigung einer Geraden lässt sich mithilfe des Differenzenquotienten aus zwei verschiedenen Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ , die auf der Geraden liegen, bestimmen:

\displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2- x_1}.

Dabei ist es egal, welche Punkte man wählt, der Quotient hat immer denselben Wert.

Beispiel

Man bestimme die Steigung der gegebenen Gerade. Hierzu sucht man sich zwei Punkte aus, beispielweise wie in der Skizze $A(1\mid3{,}5)$ und $B(3\mid4{,}5)$ . Dabei nennt man das gezeichnete Dreieck Steigungsdreieck.

Man bestimmt $Δy$ und $Δx$ , also den Unterschied der y-Koordinaten und x-Koordinaten der gegebenen Punkte …

\displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2- x_1}.

… und setzt die Längenwerte für $\Delta y$ und $\Delta x$ in die Formel ein.

\displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2- x_1}.

\displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2- x_1}.

Die Gerade hat also die Steigung:

\displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2- x_1}.

Von der Steigung zum Steigungsdreieck

Man nimmt zwei beliebige Punkte der Geraden im Koordinatensystem und zeichnet zwischen ihnen zu den Koordinatenachsen parallele Verbindungslinien, die dann ein rechtwinkliges Dreieck ergeben.

Beispiel

Im folgenden Bild siehst du verschiedene Geraden mit unterschiedlichen Steigungen $m$ .

Geraden mit verschiedenen Steigungen $m$

Steigung 2 bedeutet: "Gehe von einem Punkt auf der Gerade 1 Längeneinheit nach rechts und 2 Längeneinheiten nach oben"
Steigung -1 bedeutet: "Gehe von einem Punkt auf der Gerade 1 Längeneinheit nach rechts und 1 Längeneinheiten nach unten"
Steigung $\frac{2}{3}$ bedeutet: "Gehe von einem Punkt auf der Gerade 3 Längeneinheit nach rechts und 2 Längeneinheiten nach oben"
Steigung $-\frac{2}{3}$ bedeutet: "Gehe von einem Punkt auf der Gerade 3 Längeneinheit nach rechts und 2 Längeneinheiten nach unten"

Vom Steigungsdreieck zur Steigung

Sind zwei Punkte der Geraden gegeben, lässt sich zwischen ihnen ein Steigungsdreieck einzeichnen.

Die Steigung der Geraden ist dann die Länge der senkrechten Kathete (Gegenkathete) geteilt durch die Länge der waagrechten Kathete (Ankathete). Die Steigung ist positiv, falls die Gerade steigt und negativ, falls die Gerade fällt.

Daraus ergibt sich auch wieder die gleiche Gleichung wie oben:

Merke

\displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2- x_1}.

Senkrechte und parallele Geraden

Gegeben sind zwei Geraden $g_1$ und $g_2$ mit ihren beiden Geradengleichungen

\displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2- x_1}.

\displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2- x_1}.

Parallele Geraden

Merke

Falls $m_1=m_2$ ist, so sind die Geraden parallel.

Beispiel

$g_1(x)=0{,}5x-1$ und $g_2(x)=0{,}5x+1$

$m_1=0{,}5$ und $m_2=0{,}5$

$\Rightarrow m_1=m_2$

Senkrechte Geraden

Merke

Falls $m_1\cdot m_2=-1$ ist, so stehen die Geraden senkrecht aufeinander.

Beispiel

$g_1(x)=1{,}5x-1$ und $g_2(x)=-\frac23x+1$

$m_1=1{,}5$ und $m_2=-\frac{2}{3}$

$\Rightarrow m_1\cdot m_2=1{,}5\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-1$

Steigungswinkel

Der Steigungswinkel gibt an, in welchem Winkel eine Gerade zur $x$ -Achse steht.

Merke

Der Steigungswinkel $\alpha$ einer Geraden $y = m \cdot x + t$ erfüllt

\displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2- x_1}.

Steigung von speziellen Geraden

Die Steigung einer Geraden, die parallel zur x-Achse verläuft, ist $0$ .

In diesem Fall ist die zugehörige Funktion konstant.

Eine Gleichung für so eine Funktion wäre $y=n$ .

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7089_RnqLXYWI6Y.xml

Die Steigung einer Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft, wäre "unendlich".

Es kann allerdings keine Funktion in Abhängigkeit von $x$ mit einer solchen Gerade als Graphen geben, da dem gleichen x-Wert verschiedene y-Werte zugeordnet werden müssten.

Trotzdem lässt sich eine solche Gerade durch eine Gleichung von der Form $x=r$ beschreiben.