Berechnung des Schnittpunkts zweier Geraden

Gegeben sind meist zwei lineare Funktionen f und g mit den allgemeinen Geradengleichungen:

• $f(x)=m_1\cdot x+t_{1}f(x)=m\_1\backslash cdot\; x+t\_1$ und

• $g(x)=m_2\cdot x+t_{2}g(x)=m\_2\backslash cdot\; x+t\_2$ .

Und gesucht wird der Schnittpunkt $S(a\mathrm{\mid }b)S(a\backslash ,|\backslash ,b)$.

Beispiel

Gegeben sind die folgenden linearen Funktionen:

• $f(x)=3\cdot x+2f(x)=3\backslash cdot\; x+2$

• $g(x)=2\cdot x+5g(x)=2\backslash cdot\; x+5$.

Berechne den Schnittpunkt.

Setze die Funktionen gleich und bringe $xx$ auf eine Seite der Gleichung:

Der Funktionswert von $ff$ und $gg$ sind also bei $x=3x=3$ gleich. Der Schnittpunkt der beiden Geraden liegt also bei $S(3\mathrm{\mid }?)S(3|?)$.

Den fehlenden y-Wert kannst du nun berechnen, indem du $x=3x=3$ in $f(x)f(x)$ oder $g(x)g(x)$ einsetzt. In welche du $x=3x=3$ einsetzt, macht keinen Unterschied, da $f(3)=g(3)f(3)=g(3)$ gilt nach der Rechnung oben.

$x=3x=3$ in $f(x)f(x)$ eingesetzt ergibt:

Der Schnittpunkt liegt also bei $S(3\mathrm{\mid }11)S(3|11)$.

Allgemeine Vorgehensweise

Der x-Wert des Schnittpunkts liegt also bei $x=\frac{t_2-t_1}{m_1-m_2}x=\backslash frac\{t\_2-t\_1\}\{m\_1-m\_2\}$.

Nun noch $x=\frac{t_2-t_1}{m_1-m_2}x=\backslash frac\{t\_2-t\_1\}\{m\_1-m\_2\}$ in $f(x)f(x)$ oder $g(x)g(x)$ einsetzen, um den y-Wert des Schnittpunkts zu erhalten:

Der Schnittpunkt der Geraden ist also $S(\frac{t_2-t_1}{m_1-m_2}\mathrm{\mid }{m}_1\cdot \frac{t_2-t_1}{m_1-m_2}+t_1)S(\backslash textcolor\{ff6600\}\{\backslash frac\{t\_2-t\_1\}\{m\_1-m\_2\}\}|\backslash textcolor\{009999\}\{m\_1\backslash cdot\; \backslash frac\{t\_2-t\_1\}\{m\_1-m\_2\}\; +t\_1\})$.