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Berechnung des Schnittpunkts zweier Geraden

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Zwei verschiedene Geraden, die in einer Ebene liegen und nicht parallel sind, haben immer einen Schnittpunkt.

Gegeben sind meist zwei lineare Funktionen f und g mit den allgemeinen Geradengleichungen:

  • f(x)=m1x+t1f(x)=m_1\cdot x+t_1 und

  • g(x)=m2x+t2g(x)=m_2\cdot x+t_2 .

Und gesucht wird der Schnittpunkt S(ab)S(a\,|\,b).

Für diesen Schnittpunkt S(ab)S(a\vert b) gilt:

Beispiel

Gegeben sind die folgenden linearen Funktionen:

  • f(x)=3x+2f(x)=3\cdot x+2

  • g(x)=2x+5g(x)=2\cdot x+5.

Berechne den Schnittpunkt.

Setze die Funktionen gleich und bringe xx auf eine Seite der Gleichung:

Der Funktionswert von ff und gg sind also bei x=3x=3 gleich. Der Schnittpunkt der beiden Geraden liegt also bei S(3?)S(3|?).

Den fehlenden y-Wert kannst du nun berechnen, indem du x=3x=3 in f(x)f(x) oder g(x)g(x) einsetzt. In welche du x=3x=3 einsetzt, macht keinen Unterschied, da f(3)=g(3)f(3)=g(3) gilt nach der Rechnung oben.

x=3x=3 in f(x)f(x) eingesetzt ergibt:

Der Schnittpunkt liegt also bei S(311)S(3|11).

Allgemeine Vorgehensweise

Man setzt die beiden Funktionen gleich und bringt x auf eine Seite der Gleichung.

Der x-Wert des Schnittpunkts liegt also bei x=t2t1m1m2x=\frac{t_2-t_1}{m_1-m_2}.

Nun noch x=t2t1m1m2x=\frac{t_2-t_1}{m_1-m_2} in f(x)f(x) oder g(x)g(x) einsetzen, um den y-Wert des Schnittpunkts zu erhalten:

Der Schnittpunkt der Geraden ist also S(t2t1m1m2m1t2t1m1m2+t1)S(\textcolor{ff6600}{\frac{t_2-t_1}{m_1-m_2}}|\textcolor{009999}{m_1\cdot \frac{t_2-t_1}{m_1-m_2} +t_1}).


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