Zwei verschiedene Geraden, die in einer Ebene liegen und nicht parallel sind, haben immer einen Schnittpunkt .
Gegeben sind meist zwei lineare Funktionen f und g mit den allgemeinen Geradengleichungen:
Und gesucht wird der Schnittpunkt S ( a ∣ b ) S(a\,|\,b) S ( a ∣ b )
Für diesen Schnittpunkt S ( a ∣ b ) S(a\vert b) S ( a ∣ b )
f ( a ) = g ( a ) = b \displaystyle f(a)=g(a)=b f ( a ) = g ( a ) = b
Beispiel Gegeben sind die folgenden linearen Funktionen:
Berechne den Schnittpunkt.
f ( x ) = g ( x ) 3 ⋅ x + 2 = 2 ⋅ x + 5 ∣ − 2 3 ⋅ x = 2 ⋅ x + 3 ∣ − 2 ⋅ x x = 3 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}f(x)&=&g(x)&\\3\cdot x+2&=&2\cdot x+5&|-2\\3\cdot x &=& 2\cdot x +3&|-2\cdot x\\x&=&3\end{array} f ( x ) 3 ⋅ x + 2 3 ⋅ x x = = = = g ( x ) 2 ⋅ x + 5 2 ⋅ x + 3 3 ∣ − 2 ∣ − 2 ⋅ x Der Funktionswert von f f f g g g x = 3 x=3 x = 3 S ( 3 ∣ ? ) S(3|?) S ( 3∣ ?)
Den fehlenden y-Wert kannst du nun berechnen, indem du x = 3 x=3 x = 3 f ( x ) f(x) f ( x ) g ( x ) g(x) g ( x ) x = 3 x=3 x = 3 f ( 3 ) = g ( 3 ) f(3)=g(3) f ( 3 ) = g ( 3 )
x = 3 x=3 x = 3 f ( x ) f(x) f ( x )
f ( 3 ) = 3 ⋅ 3 + 2 = 9 + 2 = 11 \displaystyle f(3) = 3\cdot 3 +2 = 9+2 = 11 f ( 3 ) = 3 ⋅ 3 + 2 = 9 + 2 = 11 Der Schnittpunkt liegt also bei S ( 3 ∣ 11 ) S(3|11) S ( 3∣11 )
▸ Überprüfung des Ergebnisses durch die Funktionsgraphen
Allgemeine Vorgehensweise f ( x ) = g ( x ) m 1 ⋅ x + t 1 = m 2 ⋅ x + t 2 ∣ − t 1 m 1 ⋅ x = m 2 ⋅ x + ( t 2 − t 1 ) ∣ − m 2 ⋅ x m 1 ⋅ x − m 2 ⋅ x = t 2 − t 1 ( m 1 − m 2 ) ⋅ x = t 2 − t 1 ∣ : ( m 1 − m 2 ) x = t 2 − t 1 m 1 − m 2 \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}f(x)&=&g(x)&\\m_1\cdot x+t_1&=&m_2\cdot x+t_2&|-t_1\\m_1\cdot x&=&m_2\cdot x + (t_2-t_1)&|-m_2\cdot x\\m_1 \cdot x - m_2 \cdot x &=&t_2-t_1\\(m_1 - m_2) \cdot x &=& t_2-t_1&|:(m_1-m_2)\\x&=&\frac{t_2-t_1}{m_1-m_2}\end{array} f ( x ) m 1 ⋅ x + t 1 m 1 ⋅ x m 1 ⋅ x − m 2 ⋅ x ( m 1 − m 2 ) ⋅ x x = = = = = = g ( x ) m 2 ⋅ x + t 2 m 2 ⋅ x + ( t 2 − t 1 ) t 2 − t 1 t 2 − t 1 m 1 − m 2 t 2 − t 1 ∣ − t 1 ∣ − m 2 ⋅ x ∣ : ( m 1 − m 2 ) Der x-Wert des Schnittpunkts liegt also bei x = t 2 − t 1 m 1 − m 2 x=\frac{t_2-t_1}{m_1-m_2} x = m 1 − m 2 t 2 − t 1
Nun noch x = t 2 − t 1 m 1 − m 2 x=\frac{t_2-t_1}{m_1-m_2} x = m 1 − m 2 t 2 − t 1 f ( x ) f(x) f ( x ) g ( x ) g(x) g ( x )
f ( x ) = m 1 ⋅ x + t 1 \displaystyle f(\textcolor{ff6600}{x}) = m_1 \cdot \textcolor{ff6600}{x} +t_1 f ( x ) = m 1 ⋅ x + t 1 ⇒ f ( t 2 − t 1 m 1 − m 2 ) = m 1 ⋅ t 2 − t 1 m 1 − m 2 + t 1 ⏟ y-Wert des Schnittpunkts \displaystyle \Rightarrow f(\textcolor{ff6600}{\frac{t_2-t_1}{m_1-m_2}})= \underbrace{m_1\cdot \textcolor{ff6600}{\frac{t_2-t_1}{m_1-m_2}} +t_1}_{\textcolor{009999}{\text{{y-Wert des Schnittpunkts}}}} ⇒ f ( m 1 − m 2 t 2 − t 1 ) = y-Wert des Schnittpunkts m 1 ⋅ m 1 − m 2 t 2 − t 1 + t 1 Der Schnittpunkt der Geraden ist also S ( t 2 − t 1 m 1 − m 2 ∣ m 1 ⋅ t 2 − t 1 m 1 − m 2 + t 1 ) S(\textcolor{ff6600}{\frac{t_2-t_1}{m_1-m_2}}|\textcolor{009999}{m_1\cdot \frac{t_2-t_1}{m_1-m_2} +t_1}) S ( m 1 − m 2 t 2 − t 1 ∣ m 1 ⋅ m 1 − m 2 t 2 − t 1 + t 1 )
