Differenzenquotient

Der Differenzenquotient zwischen zwei Stellen $x_{1}$ und $x_{2}$ beschreibt die Steigung der Sekanten zwischen den Punkten $P\left(x_1 \mid f(x_1)\right)$ und $Q\left(x_2 \mid f(x_2)\right)$ :

\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.

Der Differenzenquotient berechnet die mittlere Änderungsrate. Durch Grenzwertbildung erhält man den Differentialquotienten, mit dessen Hilfe man die Ableitung (= lokale Änderungsrate) berechnen kann.

Beispiel

Bestimme den Differenzenquotienten der Funktion $f (x) = x^{2}$ im Intervall $\left[1;3\right]$ $\Rightarrow x_1=1$ und $x_{2} = 3$ .

\displaystyle m=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{3^2-1^2}2=\frac{9-1}2=\frac82=4

Video zum Differenzenquotienten

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Applet

Im folgenden Applet kannst du dir für eine beliebige Funktion $f$ den Differenzenquotienten anschauen und berechnen lassen. Außerdem kannst du die Lage der Stellen $x_{1}$ und $x_{2}$ frei wählen.

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Übungsaufgaben: Differenzenquotient

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Aufgaben zum Differenzen- und Differentialquotient

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