Aufgaben zum Differenzen- und Differentialquotient
Lerne mit diesen Aufgaben, den Differenzenquotient zu bestimmen und Steigungen von Funktionen auf Intervallen zu berechnen.
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Berechne den Differenzenquotient.
Funktion f(x)=x2â3 im Intervall [0;3]
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzenquotient
Intervallgrenzen a=0;b=3 Funktion f(x)=x2â3
Berechne die Funktionswerte fĂŒr die Intervallgrenzen, indem du in die Funktion einsetzt.
f(0)=02â3=â3 f(3)=32â3=6
Setze in den Differenzenquotienten ein, um die Sekantensteigung zu bestimmen.
bâaf(b)âf(a)â=3â06â(â3)â=3
Der Differenzenquotient hat den Wert 3.
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Berechne die Werte der Funktion an den Intervallgrenzen und nutze danach den Differenzenquotienten mit Hilfe der Formel x2ââx1âf(x2â)âf(x1â)â.
Funktion f(x)=x5â3x3+2x2âx+7,5 im Intervall [â1;1]
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzenquotient
Intervallgrenzen a=â1; b=1 Funktion f(x)=x5â3x3+2x2âx+7,5
Berechne die Funktionswerte fĂŒr die Intervallgrenzen, indem du in die Funktion einsetzt.
f(â1)= (â1)5â3â (â1)3+2â (â1)2â(â1)+7,5=12,5
f(1)= 15â3â 13+2â 12â1+7,5=6,5
Setze in den Differenzenquotient ein, um die Sekantensteigung zu bestimmen.
bâaf(b)âf(a)â=1â(â1)6,5â12,5â=2â6â=â3
Der Differenzenquotient hat den Wert -3
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Funktion f(x)=xâ im Intervall [4;6,25]
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzenquotient
Intervallgrenzen a=4;b=6,25 Funktion f(x)=xâ
Berechne die Funktionswerte fĂŒr die Intervallgrenzen, indem du in die Funktion einsetzt.
f(4)=4â=2 f(6,25)=6,25â=2,5
Setze in den Differenzenquotient ein, um die Sekantensteigung zu bestimmen.
bâaf(b)âf(a)â=6,25â42,5â2â=2,250,5â=92â
Der Differenzenquotient hat den Wert 92â.
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Funktion f(x)=xâ2x+3â im Intervall [3;4]
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzenquotient
Intervallgrenzen a=3;b=4 Funktion f(x)=xâ2x+3â
Berechne die Funktionswerte fĂŒr die Intervallgrenzen, indem du in die Funktion einsetzt.
f(3)=3â23+3â=16â=6 und f(4)=4â24+3â=27â=3,5
Setze in den Differenzenquotient ein, um die Sekantensteigung zu bestimmen.
bâaf(b)âf(a)â=4â33,5â6â=â2,5
Der Wert des Differenzenquotienten ist â2,5.
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- 2
Berechne die Steigung der Funktion p(x)=x2+1 an der Stelle x=3 mit Hilfe der h-Methode und stelle die Gleichung der Tangente an der Stelle auf.
m = hâ0limâhf(x0â+h)âf(x0â)â â ZunĂ€chst setzt man x0â=3
m = hâ0limâhf(3+h)âf(3)â â Jetzt setzt man f in die Formel ein.
m = hâ0limâh[(3+h)2+1]â[32+1]â â Rechne f(3) aus.
m = hâ0limâh(3+h)2+1â10â â Löse die entstehende binomische Formel auf.
m = hâ0limâh32+2â 3â h+h2â9â â Vereinfache den ZĂ€hler.
m = hâ0limâh6h+h2â â Klammere h im ZĂ€hler aus.
m = hâ0limâhh(6+h)â â KĂŒrze h.
m = hâ0limâ6+h â Jetzt kann man den Limes bilden
m = 6 Der Term einer Tangente hat die Form t(x)=mx+b
Die Steigung m entspricht der berechneten Steigung an der berĂŒhrten Stelle von f.
Man bestimmt b indem man die Tatsache verwendet, dass der Punkt A(xâŁp(x))=A(3âŁ10) auf der Tangente liegen muss.
t(x) = mâ x+b â Einsetzen des Punktes
t(3) = mâ 3+b â Einsetzen von m
10 = 6â 3+b â Auflösen nach b
10 = 18+b â18 â8 = b Die Gleichung der Tangente ist somit t(x)=6â xâ8
Wir wenden die Formel fĂŒr die h-Methode an und erhalten so die Steigung m der Tangente.
Mit der Steigung der Tangente m und dem Punkt A(3âŁp(3)), der sowohl auf der Parabel als auch auf der Tangente liegt, stellt man die Gleichung der Tangente auf.
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Berechne die Steigung der Funktion f(x)=â2x3âx an der Stelle
x0â=â1 mit Hilfe der h-Methode und stelle die Gleichung der Tangente an der Stelle auf.
Steigung m der Tangente
m = hâ0limâhf(x0â+h)âf(x0â)â â ZunĂ€chst setzt man x0â=â1
m = hâ0limâhf(â1+h)âf(â1)â â Setzte f in die Formel ein. Achte auf die Vorzeichen!
m = hâ0limâh[â2(â1+h)3â(â1+h)]â[â2(â1)3â(â1)]â â Löse möglichst viele Klammern auf
m = hâ0limâh[â2(â1+h)3+1âh)]â[2+1]â â Nutze den binomischen Lehrsatz oder berechne (â1+h)3=(â1+h)2â (â1+h)=(12â2h+h2)â (â1+h)=â1+2hâh2+hâ2h2+h3=â1+3hâ3h2+h3
m = hâ0limâhâ2[â1+3hâ3h2+h3]+1âhâ3â â Vereinfache
m = hâ0limâh[2â6h+6h2â2h3]âhâ2â m = hâ0limâhâ7h+6h2â2h3â â m = hâ0limâhh(â7+6hâ2h2)â â KĂŒrze h.
m = hâ0limâ(â7+6hâ2h2) â Jetzt kann man das Limit ziehen.
m = â7 Die Steigung m=â7 entspricht der berechneten Steigung an der Stelle x=â1 von f.
Bestimmung der Tangentengleichung
Man bestimmt t(x) indem man die Tatsache verwendet, dass der Punkt berĂŒhrte Punkt A(xâŁf(x))=A(â1âŁ3) auf der Tangente liegen muss.
f(x) = mâ x+b â Setzt man den BerĂŒhrungspunkt ein
f(â1) = mâ (â1)+b 3 = bâm â Setzt man m=â7
3 = bâ(â7) â7 â4 = b Die Gleichung der Tangente ist somit t(x)=â7â xâ4
Wir wenden die Formel fĂŒr die h-Methode an und erhalten so die Steigung m der Tangente.
Mit der Steigung der Tangente m und dem Punkt A(â1âŁf(â1)) der sowohl auf der Funktion aus auch der Tangente liegt, stellt man die Gleichung der Tangente auf.
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