Aufgaben zum Differenzen- und Differentialquotient

Lerne mit diesen Aufgaben, den Differenzenquotient zu bestimmen und Steigungen von Funktionen auf Intervallen zu berechnen.

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Berechne den Differenzenquotient.
1. Funktion $f (x) = x^{2} - 3$ im Intervall $[0; 3]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzenquotient
  Intervallgrenzen $a = 0; b = 3$ Funktion $f (x) = x^{2} - 3$
  Berechne die Funktionswerte für die Intervallgrenzen, indem du in die Funktion einsetzt.
  $f (0) = 0^{2} - 3 = - 3$ $f (3) = 3^{2} - 3 = 6$
  Setze in den Differenzenquotienten ein, um die Sekantensteigung zu bestimmen.
  $\frac{f (b) - f (a)}{b - a} = \frac{6 - (- 3)}{3 - 0} = 3$
  Der Differenzenquotient hat den Wert 3.
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  Berechne die Werte der Funktion an den Intervallgrenzen und nutze danach den Differenzenquotienten mit Hilfe der Formel $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$ .
2. Funktion $f (x) = x^{5} - 3 x^{3} + 2 x^{2} - x + 7,5$ im Intervall $[- 1; 1]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzenquotient
  Intervallgrenzen $a = - 1$ ; $b = 1$ Funktion $f (x) = x^{5} - 3 x^{3} + 2 x^{2} - x + 7,5$
  Berechne die Funktionswerte für die Intervallgrenzen, indem du in die Funktion einsetzt.
  $f (- 1) =$ $(- 1)^{5} - 3 \cdot (- 1)^{3} + 2 \cdot (- 1)^{2} - (- 1) + 7,5$ $= 12,5$
  $f (1) =$ $1^{5} - 3 \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1^{2} - 1 + 7,5$ $= 6,5$
  Setze in den Differenzenquotient ein, um die Sekantensteigung zu bestimmen.
  $\frac{f (b) - f (a)}{b - a} = \frac{6,5 - 12,5}{1 - (- 1)} = \frac{- 6}{2} = - 3$
  Der Differenzenquotient hat den Wert -3
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3. Funktion $f (x) = \sqrt{x}$ im Intervall $[4; 6,25]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzenquotient
  Intervallgrenzen $a = 4; b = 6,25$ Funktion $f (x) = \sqrt{x}$
  Berechne die Funktionswerte für die Intervallgrenzen, indem du in die Funktion einsetzt.
  $f (4) = \sqrt{4} = 2$ $f (6,25) = \sqrt{6,25} = 2,5$
  Setze in den Differenzenquotient ein, um die Sekantensteigung zu bestimmen.
  $\frac{f (b) - f (a)}{b - a} = \frac{2,5 - 2}{6,25 - 4} = \frac{0,5}{2,25} = \frac{2}{9}$
  Der Differenzenquotient hat den Wert $\frac{2}{9}$ .
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4. Funktion $f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ im Intervall $[3; 4]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzenquotient
  Intervallgrenzen $a = 3; b = 4$ Funktion $f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$
  Berechne die Funktionswerte für die Intervallgrenzen, indem du in die Funktion einsetzt.
  $f (3) = \frac{3 + 3}{3 - 2} = \frac{6}{1} = 6$ und $f (4) = \frac{4 + 3}{4 - 2} = \frac{7}{2} = 3,5$
  Setze in den Differenzenquotient ein, um die Sekantensteigung zu bestimmen.
  $\frac{f (b) - f (a)}{b - a} = \frac{3,5 - 6}{4 - 3} = - 2,5$
  Der Wert des Differenzenquotienten ist $- 2,5$ .
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Berechne die Steigung der Funktion $p (x) = x^{2} + 1$ an der Stelle $x = 3$ mit Hilfe der h-Methode und stelle die Gleichung der Tangente an der Stelle auf.

Berechne die Steigung der Funktion $f (x) = - 2 x^{3} - x$ an der Stelle

$x_{0} = - 1$ mit Hilfe der h-Methode und stelle die Gleichung der Tangente an der Stelle auf.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}$
	↓	Zunächst setzt man $x_{0} = 3$
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{f (3 + h) - f (3)}{h}$
	↓	Jetzt setzt man $f$ in die Formel ein.
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{[(3 + h)^{2} + 1] - [3^{2} + 1]}{h}$
	↓	Rechne $f (3)$ aus.
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{(3 + h)^{2} + 1 - 10}{h}$
	↓	Löse die entstehende binomische Formel auf.
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{3^{2} + 2 \cdot 3 \cdot h + h^{2} - 9}{h}$
	↓	Vereinfache den Zähler.
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{6 h + h^{2}}{h}$
	↓	Klammere $h$ im Zähler aus.
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{h (6 + h)}{h}$
	↓	Kürze $h$ .
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} 6 + h$
	↓	Jetzt kann man den Limes bilden
$m$	$=$	$6$

$t (x)$	$=$	$m \cdot x + b$
	↓	Einsetzen des Punktes
$t (3)$	$=$	$m \cdot 3 + b$
	↓	Einsetzen von $m$
$10$	$=$	$6 \cdot 3 + b$
	↓	Auflösen nach $b$
$10$	$=$	$18 + b$	$- 18$
$- 8$	$=$	$b$

$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}$
	↓	Zunächst setzt man $x_{0} = - 1$
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{f (- 1 + h) - f (- 1)}{h}$
	↓	Setzte $f$ in die Formel ein. Achte auf die Vorzeichen!
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{[- 2 (- 1 + h)^{3} - (- 1 + h)] - [- 2 (- 1)^{3} - (- 1)]}{h}$
	↓	Löse möglichst viele Klammern auf
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{[- 2 (- 1 + h)^{3} + 1 - h)] - [2 + 1]}{h}$
	↓	Nutze den binomischen Lehrsatz oder berechne $(- 1 + h)^{3} = (- 1 + h)^{2} \cdot (- 1 + h) = (1^{2} - 2 h + h^{2}) \cdot (- 1 + h) = - 1 + 2 h - h^{2} + h - 2 h^{2} + h^{3} = - 1 + 3 h - 3 h^{2} + h^{3}$
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{- 2 [- 1 + 3 h - 3 h^{2} + h^{3}] + 1 - h - 3}{h}$
	↓	Vereinfache
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{[2 - 6 h + 6 h^{2} - 2 h^{3}] - h - 2}{h}$
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{- 7 h + 6 h^{2} - 2 h^{3}}{h}$
	↓	Klammere $h$ im Zähler aus.
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{h (- 7 + 6 h - 2 h^{2})}{h}$
	↓	Kürze $h$ .
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} (- 7 + 6 h - 2 h^{2})$
	↓	Jetzt kann man das Limit ziehen.
$m$	$=$	$- 7$

$f (x)$	$=$	$m \cdot x + b$
	↓	Setzt man den Berührungspunkt ein
$f (- 1)$	$=$	$m \cdot (- 1) + b$
$3$	$=$	$b - m$
	↓	Setzt man $m = - 7$
$3$	$=$	$b - (- 7)$	$- 7$
$- 4$	$=$	$b$

Aufgaben zum Differenzen- und Differentialquotient

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Steigung $m$ der Tangente

Bestimmung der Tangentengleichung

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Steigung m der Tangente

Bestimmung der Tangentengleichung

Steigung $m$ der Tangente