Aufgaben zum Differenzen- und Differentialquotient

Lerne mit diesen Aufgaben, den Differenzenquotient zu bestimmen und Steigungen von Funktionen auf Intervallen zu berechnen.

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Berechne den Differenzenquotient.
1. Funktion $f(x)=x^2-3$ im Intervall $[0;3]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzenquotient
  Intervallgrenzen $a=0; b=3$ Funktion $f(x)=x^2-3$
  Berechne die Funktionswerte für die Intervallgrenzen, indem du in die Funktion einsetzt.
  $f(0) = 0^2-3=-3$ $f(3)=3^2-3=6$
  Setze in den Differenzenquotienten ein, um die Sekantensteigung zu bestimmen.
  $\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{6-(-3)}{3-0} = 3$
  Der Differenzenquotient hat den Wert 3.
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  Berechne die Werte der Funktion an den Intervallgrenzen und nutze danach den Differenzenquotienten mit Hilfe der Formel $\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$ .
2. Funktion $f(x)=x^5-3x^3+2x^2-x+7{,}5$ im Intervall $[-1;1]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzenquotient
  Intervallgrenzen $a=-1$ ; $b=1$ Funktion $f(x)=x^5-3x^3+2x^2-x+7{,}5$
  Berechne die Funktionswerte für die Intervallgrenzen, indem du in die Funktion einsetzt.
  $f(-1)=$ $(-1)^5-3\cdot (-1)^3+2\cdot (-1)^2-(-1)+7{,}5$ $=12{,}5$
  $f(1)=$ $1^5-3\cdot 1^3+2\cdot 1^2-1+7{,}5$ $=6{,}5$
  Setze in den Differenzenquotient ein, um die Sekantensteigung zu bestimmen.
  $\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{6{,}5-12{,}5}{1-(-1)}=\dfrac {-6}{2}=-3$
  Der Differenzenquotient hat den Wert -3
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3. Funktion $f(x)= \sqrt x$ im Intervall $[4;6{,}25]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzenquotient
  Intervallgrenzen $a=4; b=6{,}25$ Funktion $f(x)=\sqrt x$
  Berechne die Funktionswerte für die Intervallgrenzen, indem du in die Funktion einsetzt.
  $f(4) = \sqrt 4=2$ $f(6{,}25)=\sqrt{6{,}25}=2{,}5$
  Setze in den Differenzenquotient ein, um die Sekantensteigung zu bestimmen.
  $\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{2{,}5 - 2}{6{,}25 - 4} = \dfrac{0{,}5}{2{,}25} = \dfrac 2 9$
  Der Differenzenquotient hat den Wert $\frac 2 9$ .
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4. Funktion $f(x)=\dfrac{x+3}{x-2}$ im Intervall $[3;4]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzenquotient
  Intervallgrenzen $a=3; b=4$ Funktion $f(x)=\dfrac{x+3} {x-2}$
  Berechne die Funktionswerte für die Intervallgrenzen, indem du in die Funktion einsetzt.
  $f(3)=\dfrac{3+3}{3-2}=\dfrac{6}{1}=6$ und $f(4)= \dfrac{4+3}{4-2}=\dfrac 7 2 = 3{,}5$
  Setze in den Differenzenquotient ein, um die Sekantensteigung zu bestimmen.
  $\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac {3{,}5-6}{4-3}=-2{,}5$
  Der Wert des Differenzenquotienten ist $-2{,}5$ .
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Berechne die Steigung der Funktion $p(x) = x^2 + 1$ an der Stelle $x = 3$ mit Hilfe der h-Methode und stelle die Gleichung der Tangente an der Stelle auf.

$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
	↓	Zunächst setzt man $x_0=3$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$
	↓	Jetzt setzt man $f$ in die Formel ein.
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{[(3+h)^2+1]-[3^2+1]}{h}$
	↓	Rechne $f(3)$ aus.
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{(3+h)^2+1-10}{h}$
	↓	Löse die entstehende binomische Formel auf.
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{3^2+2\cdot 3\cdot h+h^2-9}{h}$
	↓	Vereinfache den Zähler.
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{6h+h^2}{h}$
	↓	Klammere $h$ im Zähler aus.
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{h(6+h)}{h}$
	↓	Kürze $h$ .
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0} 6+h$
	↓	Jetzt kann man den Limes bilden
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle 6$

Der Term einer Tangente hat die Form $t(x)= mx+b$

Die Steigung $m$ entspricht der berechneten Steigung an der berührten Stelle von $f$ .

Man bestimmt $b$ indem man die Tatsache verwendet, dass der Punkt $A(x|p(x))=A(3|10)$ auf der Tangente liegen muss.

$\displaystyle t(x)$	$=$	$\displaystyle m\cdot x+b$
	↓	Einsetzen des Punktes
$\displaystyle t(3)$	$=$	$\displaystyle m\cdot3+b$
	↓	Einsetzen von $m$
$\displaystyle 10$	$=$	$\displaystyle 6\cdot3+b$
	↓	Auflösen nach $b$
$\displaystyle 10$	$=$	$\displaystyle 18+b$	$\displaystyle -18$
$\displaystyle -8$	$=$	$\displaystyle b$

Die Gleichung der Tangente ist somit $t(x)= 6 \cdot x-8$

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Berechne die Steigung der Funktion $f(x)=-2x^3-x$ an der Stelle

$x_0=-1$ mit Hilfe der h-Methode und stelle die Gleichung der Tangente an der Stelle auf.

Steigung $m$ der Tangente

$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
	↓	Zunächst setzt man $x_0=-1$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}$
	↓	Setzte $f$ in die Formel ein. Achte auf die Vorzeichen!
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{[-2(-1+h)^3-(-1+h) ]-[-2(-1)^3-(-1) ]}{h}$
	↓	Löse möglichst viele Klammern auf
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{[-2(-1+h)^3+1-h) ]-[2+1]}{h}$
	↓	Nutze den binomischen Lehrsatz oder berechne $(-1+h)^3=(-1+h)^2 \cdot (-1+h)= (1^2-2h+h^2)\cdot (-1+h)= -1+2h-h^2 +h-2h^2+h^3=-1+3h-3h^2+h^3$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{-2[-1+3h-3h^2+h^3]+1-h -3}{h}$
	↓	Vereinfache
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{[2-6h+6h^2-2h^3]-h-2}{h}$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{-7h+6h^2-2h^3}{h}$
	↓	Klammere $h$ im Zähler aus.
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{h(-7+6h-2h^2)}{h}$
	↓	Kürze $h$ .
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}(-7+6h-2h^2)$
	↓	Jetzt kann man das Limit ziehen.
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle -7$

Die Steigung $m=-7$ entspricht der berechneten Steigung an der Stelle $x=-1$ von $f$ .

Bestimmung der Tangentengleichung

Man bestimmt $t(x)$ indem man die Tatsache verwendet, dass der Punkt berührte Punkt $A(x|f(x))=A(-1|3)$ auf der Tangente liegen muss.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle m \cdot x +b$
	↓	Setzt man den Berührungspunkt ein
$\displaystyle f(-1)$	$=$	$\displaystyle m \cdot (-1)+b$
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle b-m$
	↓	Setzt man $m=-7$
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle b-(-7)$	$\displaystyle -7$
$\displaystyle -4$	$=$	$\displaystyle b$

Die Gleichung der Tangente ist somit $t(x)= -7 \cdot x-4$

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Aufgaben zum Differenzen- und Differentialquotient

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Steigung mmm der Tangente

Bestimmung der Tangentengleichung

Steigung $m$ der Tangente