Aufgaben zum Differenzen- und Differentialquotient

Berechne die Steigung der Funktion $p (x) = x^{2} + 1$ an der Stelle $x = 3$ mit Hilfe der h-Methode und stelle die Gleichung der Tangente an der Stelle auf.

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$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}$
	↓	Zunächst setzt man $x_{0} = 3$
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{f (3 + h) - f (3)}{h}$
	↓	Jetzt setzt man $f$ in die Formel ein.
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{[(3 + h)^{2} + 1] - [3^{2} + 1]}{h}$
	↓	Rechne $f (3)$ aus.
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{(3 + h)^{2} + 1 - 10}{h}$
	↓	Löse die entstehende binomische Formel auf.
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{3^{2} + 2 \cdot 3 \cdot h + h^{2} - 9}{h}$
	↓	Vereinfache den Zähler.
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{6 h + h^{2}}{h}$
	↓	Klammere $h$ im Zähler aus.
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{h (6 + h)}{h}$
	↓	Kürze $h$ .
$m$	$=$	$\lim_{h \to 0} 6 + h$
	↓	Jetzt kann man den Limes bilden
$m$	$=$	$6$

$t (x)$	$=$	$m \cdot x + b$
	↓	Einsetzen des Punktes
$t (3)$	$=$	$m \cdot 3 + b$
	↓	Einsetzen von $m$
$10$	$=$	$6 \cdot 3 + b$
	↓	Auflösen nach $b$
$10$	$=$	$18 + b$	$- 18$
$- 8$	$=$	$b$