Aufgaben zum Differenzen- und Differentialquotient

Berechne die Steigung der Funktion $p (x) = x^{2} + 1$ an der Stelle $x = 3$ mit Hilfe der h-Methode und stelle die Gleichung der Tangente an der Stelle auf.

$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
	↓	Zunächst setzt man $x_{0} = 3$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$
	↓	Jetzt setzt man $f$ in die Formel ein.
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{[(3+h)^2+1]-[3^2+1]}{h}$
	↓	Rechne $f (3)$ aus.
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{(3+h)^2+1-10}{h}$
	↓	Löse die entstehende binomische Formel auf.
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{3^2+2\cdot 3\cdot h+h^2-9}{h}$
	↓	Vereinfache den Zähler.
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{6h+h^2}{h}$
	↓	Klammere $h$ im Zähler aus.
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{h(6+h)}{h}$
	↓	Kürze $h$ .
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0} 6+h$
	↓	Jetzt kann man den Limes bilden
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle 6$

Der Term einer Tangente hat die Form $t (x) = m x + b$

Die Steigung $m$ entspricht der berechneten Steigung an der berührten Stelle von $f$ .

Man bestimmt $b$ indem man die Tatsache verwendet, dass der Punkt $A (x ∣ p (x)) = A (3 ∣ 10)$ auf der Tangente liegen muss.

$\displaystyle t(x)$	$=$	$\displaystyle m\cdot x+b$
	↓	Einsetzen des Punktes
$\displaystyle t(3)$	$=$	$\displaystyle m\cdot3+b$
	↓	Einsetzen von $m$
$\displaystyle 10$	$=$	$\displaystyle 6\cdot3+b$
	↓	Auflösen nach $b$
$\displaystyle 10$	$=$	$\displaystyle 18+b$	$\displaystyle -18$
$\displaystyle -8$	$=$	$\displaystyle b$

Die Gleichung der Tangente ist somit $t(x)= 6 \cdot x-8$

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