Berechne die Steigung der Funktion p(x)=x2+1 an der Stelle x=3 mit Hilfe der h-Methode und stelle die Gleichung der Tangente an der Stelle auf.
| m | = | hâ0limâhf(x0â+h)âf(x0â)â | |
| â | ZunĂ€chst setzt man x0â=3 | ||
| m | = | hâ0limâhf(3+h)âf(3)â | |
| â | Jetzt setzt man f in die Formel ein. | ||
| m | = | hâ0limâh[(3+h)2+1]â[32+1]â | |
| â | Rechne f(3) aus. | ||
| m | = | hâ0limâh(3+h)2+1â10â | |
| â | Löse die entstehende binomische Formel auf. | ||
| m | = | hâ0limâh32+2â 3â h+h2â9â | |
| â | Vereinfache den ZĂ€hler. | ||
| m | = | hâ0limâh6h+h2â | |
| â | Klammere h im ZĂ€hler aus. | ||
| m | = | hâ0limâhh(6+h)â | |
| â | KĂŒrze h. | ||
| m | = | hâ0limâ6+h | |
| â | Jetzt kann man den Limes bilden | ||
| m | = | 6 | |
Der Term einer Tangente hat die Form t(x)=mx+b
Die Steigung m entspricht der berechneten Steigung an der berĂŒhrten Stelle von f.
Man bestimmt b indem man die Tatsache verwendet, dass der Punkt A(xâŁp(x))=A(3âŁ10) auf der Tangente liegen muss.
| t(x) | = | mâ x+b | |
| â | Einsetzen des Punktes | ||
| t(3) | = | mâ 3+b | |
| â | Einsetzen von m | ||
| 10 | = | 6â 3+b | |
| â | Auflösen nach b | ||
| 10 | = | 18+b | â18 |
| â8 | = | b | |
Die Gleichung der Tangente ist somit t(x)=6â xâ8
Wir wenden die Formel fĂŒr die h-Methode an und erhalten so die Steigung m der Tangente.
Mit der Steigung der Tangente m und dem Punkt A(3âŁp(3)), der sowohl auf der Parabel als auch auf der Tangente liegt, stellt man die Gleichung der Tangente auf.
