Ausklammern

Ausklammern ist eine Möglichkeit des Faktorisierens. Es ist das Gegenteil vom Ausmultiplizieren und eine Anwendung des Distributivgesetzes.

Vorgehensweise

Man schreibt einen gemeinsamen Teiler der Summanden als ersten Faktor auf und multipliziert ihn mit der Summe, wobei nun jeder Summand durch den gemeinsamen, ausgeklammerten Faktor geteilt wird.

Beispiel mit natürlichen Zahlen

$7$ ist ein gemeinsamer Teiler von $14$ und $49$ . Man kann also schon notieren:
	↓
$\displaystyle 14+49$	$=$	$\displaystyle 7\cdot(\qquad~)$
	↓	In die Klammer schreibt man dann die Summe von am Anfang, aber man teilt jeden Summanden vorher durch $7$ , also $14 : 7 = 2$ und $49 : 7 = 7$ .
	$=$	$\displaystyle 7\cdot(2+7)$

Beispiel mit Variablen

\displaystyle 6x^2+18xy-15xy^2

Alle Summanden sind durch die Zahl $3$ teilbar und enthalten außerdem die Variable $x$ . Man kann also $3 x$ ausklammern.

$3x\cdot(\ \ \ \ \ \ \ )$

In die Klammer schreibt man nun die Summe von am Anfang, aber man teilt jeden Summanden vorher durch $3 x$ , also:

$6 x^{2} : 3 x = 2 x$
$18 x y : 3 x = 6 y$
$- 15 x y^{2} : 3 x = - 5 y^{2}$

\displaystyle 3x\cdot(2x+6y-5y^2)

Den größtmöglichen Faktor ausklammern

Oft lautet die Aufgabenstellung, den größtmöglichen Faktor auszuklammern. Diesen kann man folgendermaßen finden:

Man bestimmt den größten gemeinsamen Teiler der Summanden.
Die Variablen, die in allen Summanden enthalten sind, mit der niedrigsten vorkommenden Potenz bilden mit dem ggT den größtmöglichen Faktor.

Beispiel

\displaystyle 256x^2y^2z^3 - 32xy^2z^2 +48x^3y^3

ggT bestimmen: $\mathrm{ggT}(256; 32; 48)=16$
Variablen: Nur $x$ und $y$ kommen in allen Summanden vor.
Die niedrigste Potenz von $x$ ist $1$ (im zweiten Summanden $- 32 x y^{2} z^{2}$ ).
Die niedrigste Potenz von $y$ ist $2$ (im ersten und zweiten Summanden).

Der größtmögliche Faktor ist also $16 x y^{2}$ .

Anwendung

Das Ausklammern kann nützlich sein, wenn man (quadratische) Gleichungen lösen, Nullstellen von Funktionen finden oder Brüche kürzen möchte.

Beispiel zum Kürzen von Brüchen

Im Zähler kann man $3 x$ ausklammern.
	↓
$\displaystyle \quad\frac{12x^2+3x}{1+4x}$	$=$	$\displaystyle \frac{3x\cdot(4x+1)}{1+4x}$
	↓	Da im Zähler nun ein Produkt und keine Summe mehr steht, darf man mit $1 + 4 x$ kürzen.
	$=$	$\displaystyle \frac{3x\cdot1}{1}$
	$=$	$\displaystyle 3x$

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