Faktorisieren

Beim Faktorisieren wird ein Term, der zunächst eine Summe oder Differenz ist, in ein Produkt verwandelt. Er wird dadurch meist kompakter, und es lassen sich manche Eigenschaften wie z.B. Nullstellen leichter erkennen.

Techniken

Faktorisieren mittels Ausklammern

Die Elemente des Terms werden auf einen gemeinsamen Faktor untersucht. Ist dieser gegeben, kann man ihn mithilfe des Distributivgesetzes vor oder hinter den restlichen Term ziehen (auch ausklammern genannt.)

Beispiele

\displaystyle \sf \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l} \sf \color{red}{x}^2+3 \color{red}{x}\;\;=\; \color{red}{x}( x+3) \\ \sf 3 a+12 b= \color{red}{3}a + \color{red}{3}\cdot4b =\;3( a+4 b) \\ \sf 5 \color{red}{x}-3 \color{red}{x}=(5-3) \color{red}{x}=2 x\end{array}

In jedem Summand kommt $\sf x$ vor

Jeder Summand ist Vielfaches von $\sf 3$

In jedem Summand kommt $\sf x$ vor

Faktorisieren mithilfe von binomischen Formeln

Jede der binomischen Formeln ist die Umwandlung eines Produkts in eine Summe oder Differenz. Umgekehrt kann auch die Summen- oder Differenzform einer binomischen Formel zu dem Produkt umgeformt werden.

Beispiele

\displaystyle \sf \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l} \sf \color{red}{x}^2+3 \color{red}{x}\;\;=\; \color{red}{x}( x+3) \\ \sf 3 a+12 b= \color{red}{3}a + \color{red}{3}\cdot4b =\;3( a+4 b) \\ \sf 5 \color{red}{x}-3 \color{red}{x}=(5-3) \color{red}{x}=2 x\end{array}

Erste binomische Formel

Zweite binomische Formel

Dritte binomische Formel

Anwendung Linearfaktorzerlegung (fortgeschritten)

Man kann Polynome faktorisieren, indem man sie in ihre Linearfaktordarstellung bringt. Dazu braucht man die Nullstellen. Dieses Verfahren kennt man als Linearfaktorzerlegung.

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