Faktorisieren

Beim Faktorisieren wird ein Term, der zunächst eine Summe oder Differenz ist, in ein Produkt verwandelt. Er wird dadurch meist kompakter, und es lassen sich manche Eigenschaften, wie z.B. Nullstellen leichter erkennen.

Techniken

Faktorisieren mittels Ausklammern

Die Elemente des Terms werden auf einen gemeinsamen Faktor untersucht. Ist dieser gegeben, kann man ihn mithilfe des Distributivgesetzes vor oder hinter den restlichen Term ziehen (auch ausklammern genannt.)

Beispiele

x2+3x=x(x+3)\textcolor{orange}{x}^2+3\textcolor{orange}{x}=\textcolor{orange}{x}\cdot\left(x+3\right)

(xx kann ausgeklammert werden.)

3a+12b=3a+34b=3(a+4b)3a+12b=\textcolor{orange}{3}a+\textcolor{orange}{3}\cdot4b=\textcolor{orange}{3}\cdot (a+4b)

(33 kann ausgeklammert werden.)

5x3x=x(53)=2x5\textcolor{orange}{x}-3\textcolor{orange}{x}=\textcolor{orange}{x}\cdot(5-3)=2\textcolor{orange}{x}

(xx kann ausgeklammert werden.)

Faktorisieren mithilfe von binomischen Formeln

Jede der binomischen Formeln ist die Umwandlung eines Produkts in eine Summe oder Differenz. Umgekehrt kann auch die Summen- oder Differenzform einer binomischen Formel zu dem Produkt umgeformt werden.

Beispiele

x2+2x+1=(x+1)2x^2+2x+1=(x+1)^2

(Wende die erste binomische Formel an.)

44a+a2=(2a)24-4a+a^2=(2-a)^2

(Wende die zweite binomische Formel an.)

4z2=(2z)(2+z)4-z^2=(2-z)(2+z)

(Wende die dritte binomische Formel an.)

Anwendung Linearfaktorzerlegung (fortgeschritten)

Man kann Polynome faktorisieren, indem man sie in ihre Linearfaktordarstellung bringt. Dazu braucht man die Nullstellen. Dieses Verfahren kennt man als Linearfaktorzerlegung.

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