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Linearfaktordarstellung einer Polynomfunktion beliebigen Grades

Viele Polynome kannst du als Produkt der Form f(x)=a(xN1)(xNn)f(x)=a\cdot(x-N_1)\cdots(x-N_n) darstellen. Hierbei sind N1N_1 bis NnN_n die Nullstellen der Funktion ff und aRa\in\mathbb{R}.

Diese Darstellung heißt Linearfaktordarstellung.

(xN1)(x-N_1), (xN2)(x-N_2),..., (xNn)(x-N_n) heißen Linearfaktoren.

Bringt man ein Polynom in seine Linearfaktordarstellung, so nennt man diesen Vorgang Linearfaktorzerlegung.

Beispiel:

f(x)=2x24x6f(x)=2x^2-4x-6 kann umgeformt werden zu

Die Funktion hat die Nullstellen N1=1N_1=-1 und N2=3N_2=3.

Für Polynome, bei denen eine solche Darstellung nicht möglich ist, gibt es eine Darstellung, die der Linearfaktordarstellung ähnlich ist:

Das Restglied ist wieder ein Polynom ist, welches keine reellen Nullstellen hat und daher nicht weiter zerlegt werden kann.

Beispiel:

f(x)=x32x2+3x6f(x)=x^3-2x^2+3x-6 kannst du zerlegen in

(x2+3)(x^2+3) hat in den reelen Zahlen keine Nullstellen, da

nicht weiter lösbar ist.

Bestimmung der Linearfaktordarstellung

Geschicktes Umformen

Versuche als erstes, ob du durch geschicktes Ausklammern und/oder Einsatz der binomischen Formeln dein gegebenes Polynom in eine Linearfaktordarstellung bringen kannst.

Beispiel: f(x)=3x33xf(x)=3x^3 - 3x

Durch Umformen erhältst du:

f(x)\displaystyle f(x)==3x33x\displaystyle 3x^3-3x

Klammere 3x3x aus.

==3x(x21)\displaystyle 3x\cdot(x^2-1)

x21x^2-1 ist eine binomische Formel. Schreibe diese um.

==3x(x1)(x+1)\displaystyle 3x\cdot\left(x-1\right)\cdot\left(x+1\right)

Die Linearfaktordarstellung ist also f(x)=3(x0)(x1)(x+1)f(x)=3\cdot\left(x-0\right)\cdot\left(x-1\right)\cdot\left(x+1\right)

Nullstellenbestimmung

Wenn du mit geschicktem Umformen nicht weiterkommst, bestimme alle Nullstellen.

Bilde ein Produkt aus den Linearfaktoren der Nullstellen und überprüfe, ob dieses Produkt deiner Funktion ff entspricht. Passe wenn nötig die Linearfaktordarstellung ein wenig an.

  • Gegebenenfalls kommen manchen Linearfaktoren mehrfach vor je nach Vielfachheit der Nullstelle.

  • Füge wenn nötig einen geeigneten Faktor aa hinzu.

Beispiel: f(x)=2x212x14f(x)=2x^2-12x-14

Berechne mit der Mitternachtsformel oder der pq-Formel alle Nullstellen der Funktion. Mit der Mitternachtsformel ergeben sich folgende Nullstellen x1x_1 und x2x_2:

x1,2\displaystyle x_{1{,}2}==(12)±(12)242(14)22\displaystyle \frac{-\left(-12\right)\pm\sqrt{\left(-12\right)^2-4\cdot2\cdot\left(-14\right)}}{2\cdot2}
==12±144+1124\displaystyle \frac{12\pm\sqrt{144+112}}{4}
==12±2564\displaystyle \frac{12\pm\sqrt{256}}{4}
==12±164\displaystyle \frac{12\pm16}{4}

x1=12164=44=1\Rightarrow x_1=\frac{12-16}{4}=-\frac{4}{4}=-1 und x2=12+164=284=7x_2=\frac{12+16}{4}=\frac{28}{4}=7

ff enthält in der Linearfaktorzerlegung also die Linearfaktoren (x(1))(x-(-1)) und (x7)(x-7). Teste, ob (x(1))(x7)=f(x)(x-(-1))\cdot(x-7)=f\left(x\right) ist:

Probe:

(x(1))(x7)\displaystyle (x-(-1))\cdot(x-7)==(x+1)(x7)\displaystyle (x+1)\cdot(x-7)
==x2+x7x7\displaystyle x^2+x-7x-7
==x26x7f(x)\displaystyle x^2-6x-7\ne f\left(x\right)

(x+1)(x7)(x+1)(x-7) unterscheidet sich nur um den Faktor 22 von f(x)f(x). Multipliziere mit 22, um die Linearfaktordarstellung von ff zu erhalten:

2(x+1)(x7)=2(x26x7)=2x212x14 =f(x)2\cdot\left(x+1\right)\left(x-7\right)=2\cdot\left(x^2-6x-7\right)=2x^2-12x-14\ =f\left(x\right)

ff hat also die Linearfaktordarstellung f(x)=2(x+1)(x7)f(x)=2\cdot \left(x+1\right)\left(x-7\right).

Linearfaktordarstellung in Abhängigkeit der Nullstellen

Im Allgemeinen hat ein Polynom n-ten Grades die Form

und besitzt maximal nn Nullstellen. 

Es lassen sich nun 2 Fälle unterscheiden:

  1. Entweder das Polynom hat nn Nullstellen, wenn man mehrfache Nullstellen dabei auch mehrfach zählt, (es müssen also nicht nn verschiedene Nullstellen sein)

  2. oder das Polynom hat trotz Zählung aller Nullstellen mit ihren Vielfachheiten immer noch weniger als nn Nullstellen.

Beispiele

Polynom n-ten Grades hat nn Nullstellen:

  • Das Polynom 2x24x62x^2-4x-6 von oben hat den Grad 22 und zwei Nullstellen, und zwar 1-1 und 33.

  • Das Polynom x22x+1x^2-2x+1 hat den Grad 22 und eine doppelte Nullstelle, und zwar die Zahl 11.

Polynom n-ten Grades hat weniger als nn Nullstellen:

  • Das Polynom x32x2+3x6x^3-2x^2+3x-6 von oben hat den Grad 3 und nur eine Nullstelle, und zwar die Zahl 22.

nn Nullstellen

Wenn ff ein Polynom n-ten Grades mit nn Nullstellen ist und mehrfache Nullstellen auch mehrfach gezählt werden, dann gibt es eine Linearfaktorzerlegung von ff. ff lässt sich also umformen zu

mit N1,,NnN_1,\dots,N_n als Nullstellen des Polynoms (wobei auch mehrere Nullstellen gleich sein können). 

Beispiele

1. f(x)=3x33xf(x)=3x^3 - 3x

Linearfaktordarstellung:

f(x)=3(x+1)(x+0)(x1)f(x) = 3 \cdot (x+1) \cdot (x+0) \cdot (x-1)

2. f(x)=x32x2f(x) = x^3 - 2x^2

Linearfaktordarstellung:

f(x)=1(x0)(x0)(x2)f(x) = 1 \cdot (x-0) \cdot (x-0) \cdot (x-2)

3. f(x)=2x3f(x) = 2x^3

Linearfaktordarstellung:

f(x)=2(x0)(x0)(x0)f(x) = 2 \cdot (x-0) \cdot (x-0) \cdot (x-0)

Weniger als nn Nullstellen

Im Allgemeinen kann man über den reellen Zahlen aber nicht davon ausgehen, dass ein Polynom seinem Grad entsprechend viele Nullstellen besitzt (z. B. besitzt x2+1x^2+1  überhaupt keine Nullstellen, hat aber Grad 2).

Für solche Polynome gibt es eine Darstellung, die der Linearfaktordarstellung ähnlich ist:

wobei das Restglied\text{Restglied} wieder ein Polynom ist, welches allerdings keine reellen Nullstellen besitzt.

Das Restglied lässt sich zum Beispiel mit Hilfe der Polynomdivision berechnen, indem man das Ausgangspolynom durch die zu seinen Nullstellen gehörenden Linearfaktoren teilt.

Beispiel

Außerdem lässt sich das Restglied selbst als Produkt von Polynomen vom Grad 2 schreiben.

Vorteile der Linearfaktordarstellung

Ablesen der Nullstellen des Polynoms

Liegt ein Polynom in Linearfaktordarstellung vor, so kann man an ihm ohne weitere Rechung die Nullstellen und ihre Vielfachheiten ablesen, da in jedem Linearfaktor eine Nullstelle steht.

Beispiel

Vereinfachen von Bruchtermen   

Die Linearfaktorzerlegung ist eine wichtige Technik im Umgang mit Bruchtermen.

1) Die Linearfaktorzerlegung verwandelt eine Summe oder Differenz in ein Produkt. Nur aus Produkten heraus kann man kürzen, nicht aus Differenzen oder Summen. Das Kürzen vereinfacht den Term oft erheblich.

Beispiel

2) Will man den Hauptnenner zweier oder mehrerer Bruchterme bestimmen, muss man zunächst die Nenner der Brüche faktorisieren. Dazu benötigt man ihre Linearfaktordarstellung.

Beispiel

soll zusammengefasst werden. Mithilfe der Linearfaktordarstellung erkennt man den Hauptnenner und kann die Terme gleichnamig machen:

x2+10x2x2+x7x2+x\displaystyle \frac{x^2+10}{x^2-x-2}+\frac{x-7}{x^2+x}==x2+10(x+1)(x2)+x7x(x+1)\displaystyle \frac{x^2+10}{(x+1)\cdot(x-2)}+\frac{x-7}{x\cdot(x+1)}
==(x2+10)x+(x7)(x2)x(x+1)(x2)\displaystyle \frac{(x^2+10)\cdot x+(x-7)\cdot(x-2)}{x\cdot(x+1)\cdot(x-2)}

3) Durch Kürzen des Funktionsterms kann man bei gebrochenrationalen Funktionen gegebenenfalls die stetige Fortsetzung ermitteln.

Beispiel

ergibt, dass

die stetige Fortsetzung von ff ist.

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Linearfaktorzerlegung


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