Viele Polynome kannst du als Produkt der Form darstellen. Hierbei sind bis die Nullstellen der Funktion und .
Diese Darstellung heiĂt Linearfaktordarstellung.
, ,..., heiĂen Linearfaktoren.
Bringt man ein Polynom in seine Linearfaktordarstellung, so nennt man diesen Vorgang Linearfaktorzerlegung.
Beispiel:
kann umgeformt werden zu
Die Funktion hat die Nullstellen und .
FĂŒr Polynome, bei denen eine solche Darstellung nicht möglich ist, gibt es eine Darstellung, die der Linearfaktordarstellung Ă€hnlich ist:
Das Restglied ist wieder ein Polynom, welches keine reellen Nullstellen hat und daher nicht weiter zerlegt werden kann.
Beispiel:
kannst du zerlegen in
hat in den reellen Zahlen keine Nullstellen, da
nicht weiter lösbar ist.
Bestimmung der Linearfaktordarstellung
Geschicktes Umformen
Versuche als erstes, ob du durch geschicktes Ausklammern und/oder Einsatz der binomischen Formeln dein gegebenes Polynom in eine Linearfaktordarstellung bringen kannst.
Beispiel:
Durch Umformen erhÀltst du:
â | Klammere aus. | ||
â | ist eine binomische Formel. Schreibe diese um. | ||
Die Linearfaktordarstellung ist also
Nullstellenbestimmung
Wenn du mit geschicktem Umformen nicht weiterkommst, bestimme alle Nullstellen.
Nutze bei quadratischen Funktionen die Mitternachtsformel oder pq-Formel.
Rate Nullstellen bei Polynomen vom Grad gröĂer , um eine Polynomdivision durchzufĂŒhren.
Bilde ein Produkt aus den Linearfaktoren der Nullstellen und ĂŒberprĂŒfe, ob dieses Produkt deiner Funktion entspricht. Passe, wenn nötig, die Linearfaktordarstellung ein wenig an.
Gegebenenfalls kommen manchen Linearfaktoren mehrfach vor, je nach Vielfachheit der Nullstelle.
FĂŒge, wenn nötig, einen geeigneten Faktor hinzu.
Beispiel:
Berechne mit der Mitternachtsformel oder der pq-Formel alle Nullstellen der Funktion. Mit der Mitternachtsformel ergeben sich folgende Nullstellen und :
und
enthÀlt in der Linearfaktorzerlegung also die Linearfaktoren und . Teste, ob ist:
Probe:
unterscheidet sich nur um den Faktor von . Multipliziere mit , um die Linearfaktordarstellung von zu erhalten:
hat also die Linearfaktordarstellung .
Linearfaktordarstellung in AbhÀngigkeit der Nullstellen
Im Allgemeinen hat ein Polynom n-ten Grades die Form
und besitzt maximal Nullstellen.Â
Es lassen sich nun 2 FĂ€lle unterscheiden:
Entweder das Polynom hat Nullstellen, wenn man mehrfache Nullstellen dabei auch mehrfach zĂ€hlt, (es mĂŒssen also nicht verschiedene Nullstellen sein)
oder das Polynom hat trotz ZĂ€hlung aller Nullstellen mit ihren Vielfachheiten immer noch weniger als Nullstellen.
Beispiele
Polynom n-ten Grades hat Nullstellen:
Das Polynom von oben hat den Grad und zwei Nullstellen, und zwar und .
Das Polynom hat den Grad und eine doppelte Nullstelle, und zwar die Zahl .
Polynom n-ten Grades hat weniger als Nullstellen:
Das Polynom von oben hat den Grad 3 und nur eine Nullstelle, und zwar die Zahl .
Nullstellen
Wenn ein Polynom n-ten Grades mit Nullstellen ist und mehrfache Nullstellen auch mehrfach gezÀhlt werden, dann gibt es eine Linearfaktorzerlegung von . lÀsst sich also umformen zu
mit als Nullstellen des Polynoms (wobei auch mehrere Nullstellen gleich sein können).Â
Beispiele
1.
Linearfaktordarstellung:

2.
Linearfaktordarstellung:

3.
Linearfaktordarstellung:

Weniger als Nullstellen
Im Allgemeinen kann man ĂŒber den reellen Zahlen aber nicht davon ausgehen, dass ein Polynom seinem Grad entsprechend viele Nullstellen besitzt (z. B. besitzt Â ĂŒberhaupt keine Nullstellen, hat aber Grad 2).
FĂŒr solche Polynome gibt es eine Darstellung, die der Linearfaktordarstellung Ă€hnlich ist:
wobei das wieder ein Polynom ist, welches allerdings keine reellen Nullstellen besitzt.
Das Restglied lÀsst sich zum Beispiel mithilfe der Polynomdivision berechnen, indem man das Ausgangspolynom durch die zu seinen Nullstellen gehörenden Linearfaktoren teilt.
Beispiel

AuĂerdem lĂ€sst sich das Restglied selbst als Produkt von Polynomen vom Grad 2 schreiben.
Vorteile der Linearfaktordarstellung
Ablesen der Nullstellen des Polynoms
Liegt ein Polynom in Linearfaktordarstellung vor, so kann man an ihm ohne weitere Rechnung die Nullstellen und ihre Vielfachheiten ablesen, da in jedem Linearfaktor eine Nullstelle steht.
Beispiel

Vereinfachen von Bruchtermen Â
Die Linearfaktorzerlegung ist eine wichtige Technik im Umgang mit Bruchtermen.
1) Die Linearfaktorzerlegung verwandelt eine Summe oder Differenz in ein Produkt. Nur aus Produkten heraus kann man kĂŒrzen, nicht aus Differenzen oder Summen. Das KĂŒrzen vereinfacht den Term oft erheblich.
Beispiel
2) Will man den Hauptnenner zweier oder mehrerer Bruchterme bestimmen, muss man zunĂ€chst die Nenner der BrĂŒche faktorisieren. Dazu benötigt man ihre Linearfaktordarstellung.
Beispiel
soll zusammengefasst werden. Mithilfe der Linearfaktordarstellung erkennt man den Hauptnenner und kann die Terme gleichnamig machen:
3) Durch KĂŒrzen des Funktionsterms kann man bei gebrochenrationalen Funktionen gegebenenfalls die stetige Fortsetzung ermitteln.
Beispiel
ergibt, dass
die stetige Fortsetzung von ist.
Ăbungsaufgaben: Linearfaktordarstellung einer Polynomfunktion beliebigen Grades
Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Linearfaktorzerlegung