Aufgaben zur Linearfaktorzerlegung

Funktionen, die als Linearfaktorzerlegung dargestellt sind:

• $h(z)=z\cdot (z-1)\cdot (z+5)$

• $k(z)=z\cdot (z^2+4)$

Anmerkung zu $k(z)$: Diese Funktion ist in Linearfaktordarstellung angegeben, da $(z^2+4)$ keine Nullstellen hat, man es also nicht weiter zerlegen kann.

Funktionen, die nicht als Linearfaktorzerlegung dargestellt sind:

• $f(x)=x^3+2x^2$ ist nicht in Linearfaktordarstellung angegeben, denn man kann noch ein $x^2$ ausklammern. Die Linearfaktordarstellung von $f(x)$ ist also:

• $g(x)=x\cdot (x^2-4)$ ist auch nicht in Linearfaktorzerlegung angegeben. Hier kann man auf $(x^2-4)$ noch die 3. Binomische Formel anwenden. Die Linearfaktordarstellung von $g(x)$ ist also: $g(x)=x\cdot (x-2)\cdot (x+2)$

Funktionen, die als Linearfaktorzerlegung angegeben sind:

• $g(x)=2x^3\cdot (2-x)\cdot (x+1)$

• $h(u)=(u-3{)}^2$

• $k(x)=3\cdot (x-3{)}^5$

Funktion, die nicht als Linearfaktorzerlegung dargestellt ist:

$f(z)=z^2-1$ ist nicht als Linearfaktorzerlegung dargestellt. Du kannst hier die 3.Binomische Formel anwenden. $f(z)$ lautet in Linearfaktorzerlegung: $f(z)=(z-1)\cdot (z+1)$

Man berechnet Nullstellen der Funktion $g$, indem man die $u$-Werte findet, für die $g(u)=0$ gilt.

Hier: $u_1=1$, denn:

$g(1)=1^3-2\cdot 1^2-1+2=1-2-1+2=0$

Führe nun mit $g(u)$ und dem Linearfaktor $(u-1)$ eine Polynomdivision durch.

$\begin{array}{l}(u^3-2u^2-u+2):(u-1)=u^2-u-2\\ \underline{-(u^3-u^2)}\\ -u^2-u\\ \underline{-(-u^2+u)}\\ -2u+2\\ \underline{-(-2u+2)}\\ 0\end{array}$

Berechne nun also die Nullstellen von $u^2-u-2$. Benutze dafür die Mitternachtsformel, da es sich hier um eine quadratische Funktion handelt.

Linearfaktor Darstellung

Schreibe nun die Funktion $g$ in Linearfaktorendarstellung.

$g(u)=(u-1)\cdot (u-2)\cdot (u+1)$

Man berechnet Nullstellen der Funktion $l$, indem man die $z$-Werte findet, für die $l(z)=0$ gilt.

Die erste Nullstelle von $l(z)$ ist also: $z_1=0.$

Berechne nun noch die Nullstellen der quadratischen Funktion $z^2+4z+4$. Nutze dafür die Mitternachtsformel.

Die zweite Nullstelle $z_{\mathrm{2,3}}=-2$ ist eine doppelte Nullstelle.

Linearfaktor Darstellung

Schreibe nun die Funktion $l$ in Linearfaktorendarstellung.

$l(z)=z\cdot (z+2{)}^2$

Man berechnet Nullstellen der Funktion $h$, indem man die $x$-Werte findet, für die $h(x)=0$ gilt.

Finde eine Nullstelle durch Probieren.

Hier $x_1=1$, denn:

$h(1)=1^3-1^2+1-1=1-1+1-1=0$

Führe nun die Polynomdivision durch:

$\begin{array}{l}(x^3-x^2+x-1):(x-1)=x^2+1\\ \underline{-(x^3-x^2)}\\ x-1\\ \underline{-(x-1)}\\ 0\end{array}$

Da $x^2+1$ keine Nullstellen besitzt, kann man jetzt schon die Linearfaktorzerlegung angeben.

Linearfaktor Darstellung

Schreibe nun die Funktion $h$ in Linearfaktorendarstellung.

$h(x)=(x-1)\cdot (x^2+1)$

Man berechnet Nullstellen der Funktion $f$, indem man die $x$-Werte findet, für die $f(x)=0$ gilt.

Linearfaktor Darstellung

Schreibe nun die Funktion $f$ in Linearfaktorendarstellung.

$f\left(x\right)=x\cdot (x-1)\cdot (x+4)$

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

$f(x)=x^2+2x-3=(x-1)\cdot (x+3)$

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

$0=z^3-z^2+4z-4$

Hier brauchst du die Polynomdivision. Errate die erste Nullstelle

$\begin{array}{l}(z^3-z^2+4z-4):(z-1)=z^2+4\\ -\underline{(z^3-z^2)}\\ 0+4z-4\\ \underline{-(4z-4)}\\ 0\end{array}$

Versuche nun noch die Nullstellen von $z^2+4$ zu bestimmen.

$\Rightarrow z^2+4$ hat also keine Nullstellen.

$g(z)$ hat also keine Linearfaktordarstellung.

Die Funktion ist zerlegbar in eine Faktordarstellung mit dem Restglied $(z^2+4)$:

$g(z)=z^3-z^2+4z-4=(z-1)\cdot (z^2+4)$

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

$h(u)=u^2-3u+2=(u-2)\cdot (u-1)$

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

Substitution: $u=x^2$

Rücksubstitution: $x=\pm \sqrt{u}$

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

$i(x)=5x^4-25x^2+20=5\cdot (x-2)\cdot (x+2)\cdot (x-1)\cdot (x+1)$

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

Wende die Polynomdivision an:

Errate die erste Nullstelle. Hier: $x_1=-1$, denn:

$\begin{array}{l}k(-1)=(-1{)}^4+2\cdot (-1{)}^3-3\cdot (-1{)}^2-8\cdot (-1)-4\\ \phantom{k(-1)}=1-2-3+8-4=0\end{array}$

Führe die Polynomdivision durch. Dividiere $k(x)$ durch $(x+1)$:

$\begin{array}{l}(x^4+2x^3-3x^2-8x-4):(x+1)=x^3+x^2-4x-4\\ \underline{-(x^4+x^3)}\\ x^3-3x^2\\ \underline{-(x^3+x^2)}\\ -4x^2-8x\\ \underline{-(-4x^2-4x)}\\ -4x-4\\ \underline{-(-4x-4)}\\ 0\end{array}$

$\Rightarrow$ Wir erhalten eine neue Funktion $\tilde{k}(x)=x^3+x^2-4x-4$

Um die Nullstellen von $\tilde{k}(x)$ zu berechnen, musst du erneut die Polynomdivision anwenden:

Errate wieder eine Nullstelle. Hier: $x_2=2$, denn:

$\begin{array}{l}\tilde{k}(2)=2^3+2^2-4\cdot 2-4\\ \phantom{k(x)}=8+4-8-4\\ \phantom{k(x)}=0\end{array}$

Führe die Polynomdivision durch. Dividiere $\tilde{k}(x)$ durch $(x-2)$:

$\begin{array}{l}(x^3+x^2-4x-4):(x-2)=x^2+3x+2\\ \underline{-(x^3-2x^2)}\\ 3x^2-4x\\ \underline{-(3x^2-6x)}\\ 2x-4\\ \underline{-(2x-4)}\\ 0\end{array}$

Nun musst du noch die Nullstellen von $x^2+3x+2$ berechnen. Verwende dafür die Mitternachtsformel.

Du hast also folgende Nullstellen berechnet:

$\begin{array}{l}\Rightarrow x_{\mathrm{1,3}}=-1\\ \Rightarrow x_2=2\\ \Rightarrow x_4=-2\end{array}$

$-1$ ist eine doppelte Nullstelle und $2$ und $-2$ sind einfache Nullstellen.

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

$k(x)=\frac{1}{2}{x}^4+x^3-\frac{3}{2}{x}^2-4x-2=\frac{1}{2}(x+1{)}^2\cdot (x-2)\cdot (x+2)$

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

$\Rightarrow z_1=0$ ist erste Nullstelle

Berechne nun noch die Nullstellen von $z^3+z^2-z-1$.

Errate eine Nullstelle. Hier: $z_2=1$, denn es gilt:

$1^3+1^2-1-1=0$

Führe die Polynomdivision durch:

$\begin{array}{l}(z^3+z^2-z-1):(z-1)=z^2+2z+1\\ \underline{-(z^3-z^2)}\\ 2z^2-z\\ \underline{-(2z^2-2z)}\\ z-1\\ \underline{-(z-1)}\\ 0\end{array}$

Forme nun $z^2+2z+1$ durch anwenden der 1.Binomischen Formel um:

$z^2+2z+1=(z+1{)}^2$

(Alternativ könnte man die Nullstellen auch mit der Mitternachtsformel berechnen.)

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

$l(z)=4z^4+4z^3-4z^2-4z=4z\cdot (z-1)\cdot (z+1{)}^2$

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

Errate die erste Nullstelle. Hier: $z_1=2$, denn:

$\begin{array}{l}m(2)=2^5-2\cdot 2^4+2\cdot 2-4\\ \phantom{m(2)}=32-32+4-4=0\end{array}$

Führe die Polynomdivision durch:

$\begin{array}{l}(z^5-2z^4+2z-4):(z-2)=z^4+2\\ \underline{-(z^5-2z^4)}\\ 2z-4\\ \underline{-(2z-4)}\\ 0\end{array}$

Dir bleibt also noch der Teil $z^4+2$ übrig, welcher keine Nullstellen besitzt.

$m(z)$ hat also keine Linearfaktordarstellung. Die Funktion lässt sich nur in eine Faktordarstellung mit dem Restglied $(x^4+2)$ zerlegen:

$m(z)=z^5-2z^4+2z-4=(z-2)\cdot (z^4+2)$

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Hier kann man die Linearfaktorzerlegung bestimmen ohne vorher explizit die Nullstellen zu berechnen.

Die Linearfaktorzerlegung von $n(u)$ ist also:

$n(u)=u\cdot (u+1)\cdot (u-1)$

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

Finde die erste Nullstelle durch probieren heraus.

Hier $x_1=1$, denn:

$p(1)=1^4-5\cdot 1^3+5\cdot 1^2+5\cdot 1-6=1-5+5+5-6=0$

Führe nun die Polynomdivision durch:

$\begin{array}{l}(x^4-5x^3+5x^2+5x-6):(x-1)=x^3-4x^2+x+6\\ \underline{-(x^4-x^3)}\\ -4x^3+5x^2\\ \underline{-(-4x^3+4x^2)}\\ x^2+5x\\ \underline{-(x^2-x)}\\ 6x-6\\ \underline{-(6x-6)}\\ 0\end{array}$

Nun musst du noch die Nullstellen von $x^3-4x^2+x+6$ berechnen.

Finde eine Nullstelle durch probieren heraus.

Hier $x_2=-1$, denn:

$(-1{)}^3-4\cdot (-1{)}^2+(-1)+6=-1-4-1+6=0$

Führe nun die Polynomdivision durch:

$\begin{array}{l}(x^3-4x^2+x+6):(x+1)=x^2-5x+6\\ \underline{-(x^3+x^2)}\\ -5x^2+x\\ \underline{-(-5x^2-5x)}\\ 6x+6\\ \underline{-(6x+6)}\\ 0\end{array}$

Nun musst du noch die Nullstellen von $x^2-5x+6$ berechnen.

Die Funktion hat also die Nullstellen: $x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=3$ und $x_4=2$.

Darstellung in Linearfaktorzerlegung

$p(x)=x^4-5x^3+5x^2+5x-6=(x-1)\cdot (x+1)\cdot (x-3)\cdot (x-2)$

In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.

Berechne dafür erstmal die Nullstellen.

Nullstellenberechnung

Finde eine Nullstelle durch probieren heraus.

Hier $x_1=3$, denn:

$q(3)=3^3-3\cdot 3^2+4\cdot 3-12=27-27+12-12=0$

Führe nun die Polynomdivision durch:

$\begin{array}{l}(x^3-3x^2+4x-12):(x-3)=x^2+4\\ \underline{-(x^3-3x^2)}\\ 4x-12\\ \underline{-(4x-12)}\\ 0\end{array}$

$x^2+4$ besitzt keine Nullstellen.

$q(x)$ hat also keine Linearfaktordarstellung. Die Funktion lässt sich nur in eine Faktordarstellung mit dem Restglied $(x^2+4)$ zerlegen:

$q(x)=(x-3)\cdot (x^2+4)$

Um eine Funktion in Linearfaktordarstellung in ihre Normalform zu überführen, muss man die Klammern ausmultiplizieren.

$\begin{array}{rl}f(x)& =x\cdot (x-3)\cdot (x+1)\\ & =x\cdot (x^2+x-3x-3)\\ & =x\cdot (x^2-2x-3)\\ & =x^3-2x^2-3x\end{array}$

$f$ hat also folgende Normalform: $f(x)=x^3-2x^2-3x$.

Um eine Funktion in Linearfaktordarstellung in ihre Normalform zu überführen, muss man die Klammern ausmultiplizieren.

$g$ hat also folgende Normalform: $g(z)=z^3-4z^2+4z$.

Um eine Funktion in Linearfaktordarstellung in ihre Normalform zu überführen, muss man die Klammern ausmultiplizieren.