Linearfaktorzerlegung durchführen

Ziel der Linearfaktorzerlegung ist es, ein Polynom von seiner Normalform

\displaystyle p(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots+a_0

in die Linearfaktordarstellung

\displaystyle p(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots+a_0

umzuformen. Dabei sind $x_1$ , $x_2$ , … , $x_k$ die Nullstellen des Polynoms $p$ . Das Restglied ist ein Polynom, das selbst keine reellen Nullstellen mehr hat.

Die Idee der Linearfaktorzerlegung ist, von dem Ausgangspolynom $f(x)$ nacheinander alle Nullstellen "abzuspalten". Häufig verwendet man dazu die Polynomdivision.

Beispiel

Das Polynom $f\left(x\right)=x^3-7x+6$ kann als Produkt von Linearfaktoren geschrieben werden:

\displaystyle p(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots+a_0

Dabei sind $x_1=-3,\ x_2=2$ und $x_3=1$ die Nullstellen des Polynoms.

Allgemeine Vorgehensweise

Für ein Polynom in der Form $p(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots+a_0$ geht man wie folgt vor:

Gemeinsame Faktoren ausklammern
Nullstellen "abspalten"
Sobald man keine weiteren Nullstellen mehr abspalten kann, stellt man das Polynom in der Form $p(x)=a_n\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)\cdot\dots\cdot\left(x-x_k\right)\cdot Restglied$ auf

$\\$

Polynom 2. Grades

Bei quadratischen Polynomen der Form $ax^2+bx+c$ kann man die Linearfaktordarstellung mithilfe der Nullstellen direkt hinschreiben.

Keine Nullstelle:: Das Polynom kann nicht weiter zerlegt werden

Eine doppelte Nullstelle:: $a\left(x-x_1\right)^2$

Zwei Nullstellen: $a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$

Zu Berechnung der Nullstellen siehe Artikel "quadratische Gleichung ".

Polynom höheren Grades

Hier erfolgt das Nullstellen-Abspalten meist über Polynomdivision. Dazu ist es oft einfacher, wenn man zuerst alle gemeinsamen Faktoren ausklammert. Dann kann man das Nullstellen-Abspalten in $5$ Schritten durchführen:

Beispiel:

$f(x)=x^3-3x^2-x+3$

Erraten einer Nullstelle ${N}_1$ : Durch Raten und Einsetzen sieht man, dass ${1}$ eine Nullstelle ist.
Aufstellen des dazugehörigen Linearfaktors $(x - N_1)$ : Der dazugehörige Linearfaktor ist $(x-{1})$ .
Das Ausgangspolynom mittels Polynomdivision durch den Linearfaktor teilen (Da ${N}_1$ eine Nullstelle ist, entsteht kein Rest bei der Polynomdivision):
Das neu entstandene Polynom nennen wir $\widetilde f(x)$ : $\widetilde f(x)=x^2 -2x -3$
Das Ausgangspolynom $f(x)$ können wir schreiben als $f(x)=\widetilde f(x)\cdot (x-N_1)$ .

\displaystyle p(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots+a_0

Falls $\widetilde f(x)$ noch Nullstellen besitzt und selbst noch kein Linearfaktor ist, startet man wieder mit Schritt 1, allerdings mit $\widetilde f(x)$ als Ausgangspolynom.

Jetzt kann man mit $f(x)=x^2-2x-3$ als Ausgangspolynom und $-1$ als erratene Nullstelle wieder mit Schritt $1$ beginnen.

Allgemein kann man auch die Linearfaktoren direkt aufstellen, indem man die Nullstellen ausrechnet. Mehr Methoden dazu siehe Artikel "Nullstellen berechnen". Beachte dabei, dass man dann das Restglied durch Polynomdivision ausrechnen muss, falls man weniger als $n$ Nullstellen hat.

Beispiel

${f(x)=2x^4+12x^3+16x^2-12x-18}\\$

Man kann zuerst $2$ ausklammern, also $f(x)=2\cdot(x^4+6x^3+8x^2-6x-9)$ und betrachtet von nun an das Polynom $x^4+6x^3+8x^2-6x-9$ .

$N_1=1$ ist eine Nullstelle
$(x-1)$ ist der Linearfaktor dazu
Polynomdivision: $(x^4+6x^3+8x^2-6x-9) : (x-1)=x^3+7x^2+15x+9$
Also $\widetilde f(x)=x^3+7x^2+15x+9$
$f(x)=2\cdot(x^3+7x^2+15x+9)\cdot(x-1)\\$

Das neue Ausgangspolynom ist $\widetilde f(x)=x^3+7x^2+15x+9\\$

$N_2=-1$ ist Nullstelle
$(x+1)$ ist der Linearfaktor dazu
Polynomdivision: $(x^3+7x^2+15x+9) : (x+1)=x^2+6x+9$
$\widetilde{\widetilde f}(x)=x^2+6x+9$
$\widetilde f(x)=(x^2+6x+9)\cdot(x+1)$

Das neue Ausgangspolynom ist $\widetilde{\widetilde f}(x)=x^2+6x+9$ .

Hier kann man sich die Polynomdivision sparen. Denn durch genaues Hinsehen sieht man, dass $x^2+6x+9=(x+3)^2$ ein Binom ist, es hat also die doppelte Nullstelle $-3$ .

$\left(x+3\right)^2$ ist der entsprechende Linearfaktor dazu.

Insgesamt ergibt sich also:

$\boldsymbol f\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol)\boldsymbol=\mathbf2\boldsymbol\cdot\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol+\mathbf3\boldsymbol)\boldsymbol\cdot\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol+\mathbf3\boldsymbol)\boldsymbol\cdot\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol+\mathbf1\boldsymbol)\boldsymbol\cdot\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol-\mathbf1\boldsymbol)$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?