Nullstellen berechnen

Um die Nullstellen einer Funktion $f$ zu berechnen, muss man die $x$ -Werte finden, für die $f\left(x\right)=0$ wird.

Im Normalfall setzt man daher den Funktionsterm gleich null und versucht, die sich ergebende Gleichung nach $x$ aufzulösen.

Lineare Funktionen

Eine lineare Funktion hat die Form $f\left(x\right)=m\cdot x+t$ .

Beispiel

Nehmen wir das Beispiel $f\left(x\right)=3x-2$ . Um hier die Nullstelle zu berechnen, setzen wir $f\left(x\right)=0$ und lösen nach $x$ auf.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3x-2$
	↓	Setze den Funktionsterm gleich $0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3x-2$	$\displaystyle +2$
	↓	Löse die Gleichung nach $x$ auf.
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle 3x$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Nullstelle bei $x=\frac{2}{3}$

Allgemeine Berechnung

Setzen wir die allgemeine Form $f\left(x\right)=m\cdot x+t$ gleich $0$ , so erhalten wir:

$\displaystyle mx+t$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -t$
	↓	Löse die Gleichung nach $x$ auf.
$\displaystyle mx$	$=$	$\displaystyle -t$	$\displaystyle :m$
	↓	Dies geht nur, wenn $m\ne0$ .
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{t}{m}$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Nullstelle bei $x=-\frac{t}{m}$

Quadratische Funktionen

Eine quadratische Funktion hat allgemein die Form $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ .

Mit $f\left(x\right)=0$ erhält man also die quadratische Gleichung $ax^2+bx+c=0$ , welche man durch die Lösungsformel für quadratische Funktionen (Mitternachtsformel) oder den Satz von Vieta lösen kann.

Allgemeines Beispiel

Berechnung der Nullstelle(n) von $f(x)=\frac1{x-1}+1$ durch Nullsetzen und Auflösen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x-1}+1$
	↓	Setze den Funktionsterm gleich $0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x-1}+1$	$\displaystyle -1$
	↓	Löse die Gleichung nach $x$ auf.
$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x-1}$	$\displaystyle \cdot\left(x-1\right)$
	↓	Hier kannst du mit $(x-1)$ multiplizieren, da $1\notin D_f$ und somit $(x-1)\ne0$ ist.
$\displaystyle -1\cdot\left(x-1\right)$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Multipliziere aus.
$\displaystyle -x+1$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot\left(-1\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Nullstelle bei $x=0$

Weitere Möglichkeiten zur Berechnung der Nullstelle

Nullstellen durch Probieren herausfinden

Gerade bei Polynomgleichungen mit ganzzahligen Parametern kann es sich manchmal lohnen, niedrige ganzzahlige Werte einfach einzusetzen und zu berechnen, ob Null herauskommt. Um Schülern das Suchen zu erleichtern, wählen Aufgabensteller häufig Nullstellen zwischen $-3$ und $3$ .

Höhere Polynome

Für höhere Polynome existieren keine geläufigen Lösungsformeln. Sind jedoch (z.B. durch Raten) schon Nullstellen bekannt, kann das Polynom durch Polynomdivision vereinfacht werden, sodass man weitere Nullstellen leichter (z.B. mit der Mitternachtsformel) berechnen kann.

Übungsaufgaben

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