Polynom

Ein Polynom ist ein Term, der aus

  • der Variablen bzw. Potenzen der Variablen mit natürlichen Zahlen als Exponenten

  • reellen Zahlen als Faktoren dazu

  • und Plus- (oder Minus-) Zeichen dazwischen besteht.

Beispiel eines Polynoms Potenzen der Variablen xx, die mit reellen Zahlen multipliziert werden, bezeichnet man als Monome (in der Graphik in dunklerem Grün umkreist). Diese werden als Summe zusammengefügt und bilden so das Polynom (im eckigen grünen Kasten).

Welche Terme sind keine Polynome?

Nicht erlaubt in einem Polynom sind zum Beispiel

  • Terme, bei denen die Variable im Nenner steht, oder Potenzen der Variablen, deren Exponent negativ ist

  • Wurzeln aus der Variablen oder Potenzen der Variablen, deren Exponent keine ganze Zahl ist

  • sin, cos und tan aus Termen, in denen die Variable vorkommt

  • Logarithmen aus Termen, die die Variable beinhalten

  • Potenzen mit der Variablen im Exponenten

In einem Polynom werden die Vielfache mehrerer Potenzfunktionen addiert, deren Exponenten aus der Menge N\mathbb{N} (natürliche Zahlen) stammen.

Beispiele für Polynome

  • x32x2+x4x^3-2x^2+x-4

  • 8x5+3x3x2+128x^5+3x^3-x^2+12

  • 4x7+x52x4+x64x^7+x^5-2x^4+x-6

Mathematische Begriffserklärung

Mathematisch gesehen ist ein Polynom ein Term, der sich in folgender Form schreiben lässt:

anxn+an1xn1++a1x+a0a_n\cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1}+ … +a_1\cdot x + a_0

Dabei ist xx die Variable, an,an1,a1,a0a_n, a_{n-1}, …a_1, a_0 sind reelle Zahlen (an0a_n\neq0), und nn ist eine natürliche Zahl.

Beispiel

4x7+x52x4+x64x^7+x^5-2x^4+x-6

\Rightarrow hier ist n=7n=7, a7=4a_7=4, a5=1a_5=1, a4=2a_4=-2, a1=1a_1=1, a0=6a_0=-6

Geordnete Polynome

Üblicherweise schreibt man ein Polynom geordnet auf. Ein Polynom heißt geordnet, wenn das Polynom zusammengefasst ist und nach fallenden Exponenten sortiert ist.

Also nicht 2x2+1x72x^2+1- x^7,sondern x7+2x2+1\phantom{}-x^7+2x^2+1.

Grad des Polynoms

Als Grad des Polynoms bezeichnet man die höchste vorkommende Potenz.

So haben die Beispielpolynome…

  • x32x2+x4x^{\textcolor{ff6600}{3}}-2x^2+x-4 den Grad 3\textcolor{ff6600}{3},

  • 8x5+3x3x2+128x^{\textcolor{ff6600}{5}}+3x^3-x^2+12 den Grad 5\textcolor{ff6600}{5} und

  • 4x7+x52x4+x64x^{\textcolor{ff6600}{7}}+x^5-2x^4+x-6 den Grad 7\textcolor{ff6600}{7}.

Polynomfunktion

Eine Funktion ff: xf(x)x\mapsto f(x), deren Funktionsterm f(x)f(x) ein Polynom ist, bezeichnet man als ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion.

Weitere Informationen über die Eigenschaften und Beschaffenheit einer solchen Funktion findest du in dem Artikel Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen).

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Polynomfunktion

Du hast noch nicht genug vom Thema?

Hier findest du noch weitere passende Inhalte zum Thema:

Artikel

Kurse

Videos


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0.Was bedeutet das?