Polynom

Ein Polynom ist ein Term, der aus

  • der Variablen bzw. Potenzen der Variablen mit natürlichen Zahlen als Exponenten

  • reellen Zahlen als Faktoren dazu

  • und Plus- (oder Minus-) Zeichen dazwischen besteht.

Beispiel eines Polynoms

Potenzen der Variablen xx, die mit reellen Zahlen multipliziert werden, bezeichnet man als Monome (in der Graphik in dunklerem Grün umkreist). Diese werden als Summe zusammengefügt und bilden so das Polynom (im eckigen grünen Kasten).

In einem Polynom werden die Vielfache mehrerer Potenzfunktionen addiert, deren Exponenten aus der Menge N\mathbb{N} (natürliche Zahlen) stammen.

Beispiele für Polynome

Mathematische Begriffserklärung

Mathematisch gesehen ist ein Polynom ein Term, der sich in folgender Form schreiben lässt:

Dabei ist xx die Variable, an,an1,a1,a0a_n, a_{n-1}, …a_1, a_0 sind reelle Zahlen (an0a_n\neq0), und nn ist eine natürliche Zahl.

Beispiel

\Rightarrow hier ist n=7n=7, a7=4a_7=4, a5=1a_5=1, a4=2a_4=-2, a1=1a_1=1, a0=6a_0=-6

Geordnete Polynome

Üblicherweise schreibt man ein Polynom geordnet auf. Ein Polynom heißt geordnet, wenn das Polynom zusammengefasst ist und nach fallenden Exponenten sortiert ist.

Also nicht 2x2+1x72x^2+1- x^7,sondern x7+2x2+1\phantom{}-x^7+2x^2+1.

Grad des Polynomes

Als Grad des Polynomes bezeichnet man die höchste vorkommende Potenz.

So haben die Beispielpolynome…

  • x32x2+x4x^{\textcolor{ff6600}{3}}-2x^2+x-4 den Grad 3\textcolor{ff6600}{3},

  • 8x5+3x3x2+128x^{\textcolor{ff6600}{5}}+3x^3-x^2+12 den Grad 5\textcolor{ff6600}{5} und

  • 4x7+x52x4+x64x^{\textcolor{ff6600}{7}}+x^5-2x^4+x-6 den Grad 7\textcolor{ff6600}{7}.

Polynomfunktion

Eine Funktion ff: xf(x)x\mapsto f(x), deren Funktionsterm f(x)f(x) ein Polynom ist, bezeichnet man als ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion.

Weitere Informationen über die Eigenschaften und Beschaffenheit einer solchen Funktion findest du in dem Artikel Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen).


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