Aufgaben zur Polynomfunktion
Hier findest du gemischte Übungsaufgaben zu den Polynomfunktionen. Schaffst du sie alle?
- 1
Beschreibe den charakteristischen Verlauf der folgenden Funktionen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verhalten des Graphen einer Polynomfunktion
Der charakteristische Verlauf einer Polynomfunktion kann mit ein paar Regeln vorhergesagt werden.
ist eine eine quadratische Funktion, da der größte Exponent ist. Wir wissen, dass das Verhalten im Unendlichen vom Grad des Polynoms, sowie vom Vorzeichen des ersten Koeffizienten (nach Sortierung der Terme nach fallenden Exponenten) abhängt.
Für sehr kleine Werte von (damit sind negative -Werte mit sehr großem Betrag gemeint), sowie sehr große Werte von dominiert also der Term . Dieser ist negativ für jedes . Damit ist der charakteristische Verlauf der Funktion :
Also ungefähr so:
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verhalten des Graphen einer Polynomfunktion
Der charakteristische Verlauf einer Polynomfunktion hängt vom Grad der Polynomfunktion und vom Vorzeichen des Koeffizienten mit dem höchsten vorkommenden Exponenten ab.
Sortiere den Term nach fallenden Exponenten.
Lese den Grad der Funktion und das Vorzeichen des ersten Koeffizienten ab.
Die Funktion hat den Grad und das Vorzeichen des ersten Koeffizienten (nach der Sortierung) ist positiv.
Für sehr kleine Werte von (damit sind negative -Werte mit sehr großem Betrag gemeint), sowie sehr große Werte von dominiert also der Term . Dieser ist positiv für jedes . Damit ist der charakteristische Verlauf der Funktion von links oben nach rechts oben.
Da die Polynomfunktion nur Potenzen mit geradem Exponenten enthält, ist die Funktion symmetrisch zur y-Achse.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verhalten des Graphen einer Polynomfunktion
Der charakteristische Verlauf einer Polynomfunktion hängt vom Grad der Polynomfunktion und vom Vorzeichen des Koeffizienten mit dem höchsten vorkommenden Exponenten ab.
Der Grad der Funktion f(x) ergibt sich aus der Summe der Grade der einzelnen Faktoren.
f ist das Produkt von drei Linearfaktoren. Alle drei Faktoren haben den Grad 1.
Grad
Somit ist f ein Polynom dritten Grades.
In den Faktoren taucht die Variable x zweimal mit positivem Vorzeichen und einmal mit negativem Vorzeichen auf. Das Vorzeichen des Koeffizienten mit dem höchsten vorkommenden Exponenten ist also negativ.
ist positiv, wenn negativ ist und negativ, wenn positiv ist.
Damit ist der charakteristische Verlauf der Funktion von links oben nach rechts unten.
Da die Polynomfuktion sowohl Potenzen mit geradem als auch ungeradem Exponenten enthält, ist die Funktion weder symmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verhalten des Graphen einer Polynomfunktion
Erste Variante:
Zuerst wird ausmultipliziert.
Jetzt kannst Du die linke und die mittlere Klammer ausmultiplizieren.
Als letztes wird die rechte Klammer multipliziert.
Jetzt hat eine schöne Gestalt, an der der charakteristische Verlauf abgelesen werden kann. Der Grad der Funktion ist . Der Term dominiert also für große Werte von . Da der Koeffizient vor dem gleich ist und selbst positiv ist für alle , hat den charakteristischen Verlauf "Von links oben nach rechts oben".
Zweite Variante (etwas fortgeschrittener):
Zuerst ermittelst Du den Grad dieser Funktion ohne ausmultiplizieren der Terme. Da das Produkt von vier Linearfaktoren ist ( der Faktor hat den Exponenten ) ist ein Polynom vierten Grades. In allen Faktoren taucht die Variable mit positivem Vorzeichen auf. Diese zwei Informationen genügen um den charakteristischen Verlauf von angeben zu können. Dieser ist nämlich "Von links oben, nach rechts oben".
Der Graph von sieht so aus:
(Anmerkung: Das Bild zeigt den "genauen" Verlauf des Graphen von und nicht nur einen ungefähren Verlauf; selbstverständlich kannst du die Einzelheiten (z. B. wie tief der Graph nach unten geht usw.) aus der obigen Betrachtung allein noch nicht wissen.)
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verhalten des Graphen einer Polynomfunktion
Bei der Funktion muss man etwas vorsichtiger sein. Es scheint so als wäre in Linearfaktoren zerlegt, doch wenn man genauer hinschaut fällt auf, dass die mittlere Klammer kein Linearfaktor ist. Dort taucht ein auf!
Das ist nicht schlimm. Weil wir aber diese Klammer nicht ausmultiplizieren wollen ( "Mathematiker sind faul" ), musst Du dir ein paar Überlegungen für dieses Polynom machen.
Was solltest Du über zu wissen?
Man braucht ja schließlich den größten Exponenten, der nach ausmultiplizieren der Klammer bleibt. Dieser berechnet sich als das Produkt vom größten Exponenten in der Klammer mit dem Exponenten der Klammer. In unserem Fall wird also , der größte Exponent in sein.
Stellen wir uns das Ausmultiplizieren der Klammer im Kopf vor, so stellen wir fest: Nur indem wir mit sich selbst multiplizieren, erreichen wir die Potenz .
Somit ist der Koeffizient vor dieser Potenz gleich .
Jetzt können wir endlich weiterrechnen :)
Weiter geht's mit
Da das Produkt von drei Funktionen ist, erhalten wir den Grad von indem wir die Grade dieser Funktionen aufsummieren. Der Grad von ist also . Der Koeffizient vor der größten Potenz in ist das Produkt der Koeffizienten vor den größten Potenzen in den einzelnen Faktoren. Wir berechnen also .
Die Funktion sieht also so aus: wobei " … " dafür steht, dass wir Terme mit niedrigeren Exponenten einfach ignorieren.
Da einen geraden Grad hat und ihr erster Koeffizient positiv ist, ist ihr charakteristischer Verlauf "Von links oben nach rechts oben".
Also ungefähr so:
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verhalten des Graphen einer Polynomfunktion
Wir wissen, dass der charakteristische Verlauf einer Polynomfunktion vom Grad der Polynomfunktion und vom Vorzeichen des Koeffizienten mit dem höchsten vorkommenden Exponenten abhängt.
Der Grad der Funktion f(x) ergibt sich aus der Summe der Grade der einzelnen Faktoren.
f ist das Produkt von drei Linearfaktoren. Die ersten beiden Faktoren haben den Grad 1, der dritte Faktor hat den Grad 2.
Grad
Somit ist f ein Polynom vierten Grades.
In den Faktoren taucht die Variable x zweimal mit positivem Vorzeichen und einmal mit negativem Vorzeichen auf. Das Vorzeichen des Koeffizienten mit dem höchsten vorkommenden Exponenten ist also negativ.
ist negativ, wenn negativ ist und negativ, wenn positiv ist.
Damit ist der charakteristische Verlauf der Funktion von links unten nach rechts unten.
Da die Polynomfuktion sowohl Potenzen mit geradem als auch ungeradem Exponenten enthält, ist die Funktion weder symmetrisch zur Y-Achse noch punktsymmetrisch.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verhalten des Graphen einer Polynomfunktion
Tipp: Lass dich vom nicht abschrecken ;) Setze doch mal einen Wert für ein ( z. B. ) und schaue wie der charakteristische Verlauf in diesem Fall wäre. Bleibt der Verlauf dann gleich, wenn man andere Werte für wählt? Lassen sich Aussagen für allgemeinere Werte von machen?
Die Funktion erfordert zusätzliche Überlegungen gegenüber den anderen, denn ist kein fester Wert. Es liegt an uns zu untersuchen, was für verschiedene Werte von mit der Funktion passiert.
Doch bevor wir loslegen, schauen wir uns nochmal genauer an. Der Grad von ist gleich , denn ist immer größer als . Das erspart uns schon mal einiges an Arbeit. Wir wissen ja, dass nur der Teil mit der größten Potenz für den charakteristischen Verlauf von Bedeutung ist.
Wie ist dann der charakteristische Verlauf vom Term ?
Nach dem Ausmultiplizieren des Terms ist der Summand mit dem größten Exponenten Hier müssen wir wirklich unterscheiden, was für verschiedene Werte von passiert.
Wenn ungerade ist, dann ist der Exponent gerade. Der Koeffizient vor der größten Potenz von x ist gleich . Somit hat für ungerade den charakteristischen Verlauf "von links unten nach rechts unten".
Also ungefähr so:
Wenn gerade ist, dann ist der Exponent ungerade. Der Koeffizient vor der größten Potenz von x ist weiterhin gleich . Somit ist der charakteristische Verlauf von "von links oben nach rechts unten".
Also ungefähr so:
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- 2
Ordne die Graphen den richtigen Funktionen zu und gib jeweils eine kurze Begründung an. Zu zwei Funktionen gibt es keinen Graphen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: ganzrationale Funktionen
Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die sich aus Polynomen zusammensetzt.
Graph A
Graph A verläuft von links unten nach rechts unten.
Also muss
der höchste Exponent der zugehörigen Polynomfunktion gerade
und der zugehörige Koeffizient negativ sein.
In Frage kommen daher
Funktion mit und
Funktion mit .
Funktion scheidet aus, da ihr Graph eine Parabel sein müsste.
Ergebnis: Graph A gehört zur Funktion .
Graph B
Graph B verläuft von links oben nach rechts oben.
Also muss
der höchste Exponent der zugehörigen Polynomfunktion gerade
und der zugehörige Koeffizient positiv sein.
In Frage kommen daher:
Funktion mit und
Funktion mit .
Um zwischen und zu unterscheiden, musst du also noch eine weitere Eigenschaft betrachten:
Der Graph von Funktion wird achsensymmetrisch zur y-Achse sein (Der Funktionsterm von enthält nur gerade Potenzen von und damit ist ).
Der Graph von Funktion wird keine Symmetrie zur y-Achse aufweisen.
Graph B ist nicht achsensymmetrisch zur y-Achse.
Daher
kommt Funktion nicht in Frage.
Ergebnis: Graph B gehört zur Funktion .
Graph C
Graph C verläuft von links unten nach rechts oben.
Also muss
der höchste Exponent der zugehörigen Polynomfunktion ungerade
und der zugehörige Koeffizient positiv sein.
In Frage kommt daher nur:
Funktion mit
Ergebnis: Graph C gehört zur Funktion .
Graph D
Graph D gehört zu einer konstanten Funktion.
In Frage kommt daher nur:
Funktion mit
Ergebnis: Graph D gehört zur Funktion .
Graph E
Graph E verläuft von links oben nach rechts unten.
Also muss
der höchste Exponent der zugehörigen Polynomfunktion ungerade
und der zugehörige Koeffizient negativ sein.
In Frage kommen daher:
Funktion mit und
Funktion mit .
Funktion scheidet aber aus, da sie eine lineare Funktion ist und deshalb ihr Graph eine Gerade sein müsste.
Ergebnis: Graph E gehört zur Funktion .
Graph F
Graph F verläuft von links oben nach rechts unten.
Also muss
der höchste Exponent der zugehörigen Polynomfunktion ungerade
und der zugehörige Koeffizient negativ sein.
In Frage kämen daher wieder und . Aber du erkennst leicht:
Graph F ist eine Gerade.
Also muss die zu Graph F gehörende Funktion linear sein; das heißt, dass ihre Funktionsgleichung die Form haben muss.
In Frage kommt daher nur:
Funktion mit
Ergebnis: Graph F gehört zur Funktion .
Zusammenfassung:
Graph A: Graph B: Graph C: Graph D: Graph E: Graph F:
keinen passenden Graphen: und
- 3
Welcher Funktionsterm gehört zum Graph?
- 4
Bestimme bei folgenden Funktionen die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Um die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu berechnen, wird eine der Variablen in der Funktion (, ) gleich gesetzt.
Schnittpunkte mit der x-Achse
Die Schnittpunkte mit der -Achse sind die Nullstellen der Funktion.Man erhält sie, indem man die Funktion bzw. den -Wert gleich Null setzt.
Die Schnittpunkte mit der -Achse liegen bei und .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Um den Schnittpunkt mit der -Achse zu ermitteln, muss für den -Wert eingesetzt werden.
Der Schnittpunkt mit der -Achse liegt bei .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Um die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu berechnen, wird eine der Variablen in der Funktion (, ) gleich gesetzt.
Schnittpunkte mit der x-Achse
Die Schnittpunkte mit der -Achse sind die Nullstellen der Funktion.Man erhält sie, indem man die Funktion bzw. den -Wert gleich Null setzt.
↓ Kleinste Potenz von ausklammern.
↓ Ein Produkt wir dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
Setze die Klammer gleich Null.
↓ Mitternachtsformel anwenden.
Die Schnittpunkte mit der -Achse liegen bei und und .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Um den Schnittpunkt mit der -Achse zu ermitteln, muss für den -Wert eingesetzt werden.
Der Schnittpunkt mit der -Achse liegt bei .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Um die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu berechnen, wird eine der Variablen in der Funktion (, ) gleich gesetzt.
Schnittpunkte mit der x-Achse
Die Schnittpunkte mit der -Achse sind die Nullstellen der Funktion.Man erhält sie, indem man die Funktion bzw. den -Wert gleich Null setzt.
Die Schnittpunkte mit der -Achse liegen bei und .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Um den Schnittpunkt mit der -Achse zu ermitteln, muss für den -Wert eingesetzt werden.
Der Schnittpunkt mit der -Achse liegt bei .
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- 5
Bestimme bei folgenden Funktionen den Definitionsbereich, die Nullstellen, das Symmetrieverhalten, die Grenzwerte und die Wertemenge.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Definitionsbereich festlegen
Der Definitionsbereich gibt an, welche -Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.
Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion .
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. ) durch einen neuen Term (z.B. ) ersetzt.
↓ In wird durch ersetzt, wodurch man die Funktion erhält.
↓ Mitternachtsformel anwenden.
↓ Unter der Wurzel zusammenfassen.
↓ Unter der Wurzel addieren.
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
Für gibt es keine reelle Lösung.
Wurzel ziehen.
Da es für keine reelle Lösung gibt, sind die einzigen Nullstellen von .
Die Funktion hat zwei Nullstellen bei , .
Symmetrieverhalten
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung
Alle Exponenten zur Basis sind gerade.
Achsensymmetrie bezüglich der -Achse.
Durch Berechnung
↓ Prüfen ob . Setze dafür in ein.
↓ Umformen.
Achsensymmetrie zur -Achse
Grenzwertbetrachtung
Bei der Grenzwertbetrachtung wird das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) ermittelt.
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen betrachtet werden.
Bei ganzrationalen Funktionen ist nur die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.
gegen
gegen
Wertemenge bestimmen
Die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.
Anhand der Grenzwerte kannst du erkennen, dass der Graph der Funktion eine nach unten geöffnete Parabel ist. Somit beschreibt der Scheitelpunkt den höchsten Punkt des Graphen. Da die Funktion achsensymmetrisch ist, liegt die -Koordinate des Scheitelpunkts zwischen den Nullstellen, also bei .
Der Scheitelpunkt liegt also bei .
Berechne .
Gib die Wertemenge an.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Definitionsbereich festlegen
Der Definitionsbereich gibt an, welche -Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.
Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion .
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ Setze .
↓ 1. Binomische Formel anwenden.
Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei .
Symmetrieverhalten
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung
Da nicht alle Exponenten zur Basis gerade sind, ist nicht achsensymmetrisch bezüglich zur -Achse.
Da nicht alle Exponenten zur Basis ungerade sind, ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Somit besitzt also keine Symmetrie bezüglich der -Achse oder des Ursprungs.
Durch Berechnung
Prüfen ob . Setze dafür in ein.
keine Achsensymmetrie zur -Achse
Prüfen ob .
keine Punktymmetrie zum Ursprung
Somit liegt bei keine Symmetrie bezüglich der -Achse oder des Ursprungs vor.
Grenzwertbetrachtung
Bei der Grenzwertbetrachtung wird das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) ermittelt.
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen betrachtet werden.
Bei ganzrationalen Funktionen ist nur die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.
gegen
gegen
Wertemenge bestimmen
Die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.
Anhand der Grenzwerte kannst du erkennen, dass der Graph der Funktion eine nach oben geöffnete Parabel ist. Somit beschreibt der Scheitelpunkt den tiefsten Punkt des Graphen. Da die Funktion eine doppelte Nullstelle bei besitzt, ist die Nullstelle zugleich der Scheitelpunkt.
Der Scheitelpunkt liegt also bei .
Gib die Wertemenge an.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Definitionsbereich festlegen
Der Definitionsbereich gibt an, welche -Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.
Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion .
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Ausklammern
Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über das Ausklammern.
Setze die Klammer gleich Null und löse nach auf.
Die Funktion hat drei Nullstellen bei , und .
Symmetrieverhalten
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung
Alle Exponenten von sind ungerade.
Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Durch Berechnung
Prüfen ob . Setze dafür in ein.
keine Achsensymmetrie zur -Achse
Prüfen ob .
Punktymmetrie bezügöich des Ursprungs
Grenzwertbetrachtung
Bei der Grenzwertbetrachtung wird das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) ermittelt.
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen betrachtet werden.
gegen
gegen
Wertemenge bestimmen
Die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.
Da es sich um eine ganzrationale Funktion 3. Grades handelt, wird der Wertebereich nicht eingeschränkt. Somit lautet die Wertemenge:
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Definitionsbereich festlegen
Der Definitionsbereich gibt an, welche -Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.
Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion .
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. in ein.
Die Funktion hat an der Stelle eine Nullstelle. Da , wissen wir, dass den dazugehörigen Linearfaktor besitzt.
Führe nun die Polynomdivision durch.
Die Funktion wird dann , sobald mindestens einer der Faktoren gleich ist. Da die Nullstelle bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich setzt.
↓ 2. Binomische Formel anwenden.
Die Funktion hat eine einfache Nullstelle bei und eine doppelte Nullstelle bei .
Symmetrieverhalten
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung
Da nicht alle Exponenten zur Basis gerade sind, ist nicht achsensymmetrisch bezüglich zur -Achse.
Da nicht alle Exponenten zur Basis ungerade sind, ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Somit besitzt also keine Symmetrie bezüglich der -Achse oder des Ursprungs.
Durch Berechnung
↓ Prüfen ob . Setze dafür in ein.
keine Achsensymmetrie zur -Achse
Prüfen ob .
keine Punktymmetrie zum Ursprung
Somit liegt bei keine Symmetrie bezüglich der -Achse oder des Ursprungs vor.
Grenzwertbetrachtung
Bei der Grenzwertbetrachtung wird das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) ermittelt.
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen betrachtet werden.
Bei ganzrationalen Funktionen ist nur die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.
gegen
gegen
Wertemenge bestimmen
Die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.
Da es sich um eine ganzrationale Funktion 3. Grades handelt, wird der Wertebereich nicht eingeschränkt. Somit lautet die Wertemenge:
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- 6
Führe für jede Funktion jeweils eine vollständige Kurvendiskussion durch und zeichne die Graphen der Funktionen in ein geeignetes Koordinatensystem.
Folgende Aspekte werden in einer Kurvendiskussion untersucht:
Definitionsbereich
Nullstellen
Symmetrieverhalten
Extrem- und Wendepunkte
Grenzwerte
Monotonie
Definitionsbereich festlegen
Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion .
Um die Nullstellen von zu bestimmten, wird gesetzt.
Die erste Nullstelle muss erraten werden.
Ermittle die restlichen Nullstellen, da es sich um ein Polynom dritten Grades handelt, mit der Polynomdivision.
Polynomdivision
Setze die erhaltene Funktion gleich 0.
Ziehe die Wurzel aus und .
Symmetrieverhalten
Durch Betrachtung
Die Exponenten zur Basis sind sowohl gerade als auch ungerade.
Der Graph ist weder achsen- noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
Durch Berechnung
Prüfen ob
Hiermit wird geprüft ob der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft
Der Graph ist nicht achsensymmetrisch, da .
Prüfen ob
Hiermit wird geprüft ob der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft.
Der Graph ist nicht punktsymmetrisch, da .
Ableitungen
Erste Ableitung
Zweite Ableitung
Die erste Ableitung von ist Ausgangspunkt für die zweite Ableitung.
Dritte Ableitung
Extrema bestimmen
Die Extrema der Funktion sind die Nullstellen der ersten Ableitung.
Da ein Polynom zweiten Grades ist, können seine Nullstellen mithilfe der Mitternachtsformel bestimmt werden.
Der erste -Wert, der in die erste Ableitung der Funktion eingesetzt 0 ergibt.
Der zweite -Wert, der in die erste Ableitung der Funktion eingesetzt 0 ergibt.
1. Extremum
-Wert des ersten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.
Untersuchen ob Hoch- oder Tiefpunkt
Da hat an der Stelle einen Tiefpunkt .
2. Extremum
-Wert des zweiten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.
Untersuchen ob Hoch- oder Tiefpunkt
Da hat an der Stelle einen Hochpunkt .
Wendepunkte bestimmen
Wegen ist die Bedingung immer erfüllt.
Wendepunkt
Gefundenes aus der Nullsetzung der zweiten Ableitung in einsetzen.
Bilde einen gemeinsamen Nenner für alle Summanden.
Erster und einziger Wendepunkt der Funktion gefunden bei
Grenzwertbetrachtung
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen betrachtet werden.
Bei Polynomen wird der Grenzwert bei durch den Summanden mit dem höchsten Exponenten bestimmt:
und
Daher ist und .
Graph
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
Definitionsbereich bestimmen
Da die Funktion ganzrational ist und keine Wurzeln oder Logarithmen aufweist, lautet der Definitionsbereich der Funktion .
Nullstellenbestimmung
Setze gleich , um die Nullstellen von zu bestimmen.
Bei dieser Gleichung findet man durch das systematische Einsetzen von ganzzahligen Werten keine Nullstelle. Durch Substitution allerdings lässt sich aus der biquadratischen Gleichung ein Polynom zweiten Grades formen. Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. ) durch einen neuen Term (z.B. u) ersetzt.
Setze nun :
Zur Lösung dieser Gleichung verwendest du die Mitternachtsformel.
Lies die Werte für , und ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:
, und
↓ Setze , und ein.
Du hast die beiden Lösungen
und erhalten.
Resubstitution:
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
Setze also bzw. und löse nach auf.
Der Graph der Funktion hat also insgesamt vier Nullstellen:
Ableitungen
Setze die erste Ableitung der Funktion gleich , um die Extrema von zu bestimmen.
↓ ausklammern
Du hast die Gleichung erhalten, die du mit dem Satz vom Nullprodukt lösen kannst.
oder
Die Gleichung hat die beiden Lösungen und
1. Extremum
Zur Bestimmung des -Werts des Extremums muss der erste der gefundenen -Werte in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden.
↓ Setze ein.
Um herauszufinden, ob der gefundene x-Wert ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, wird in die zweite Ableitung eingesetzt.
↓ Setze ein.
Da ist, befindet sich an der Stelle ein Hochpunkt.
2. Extremum
Zur Bestimmung des -Werts des Extremums muss der zweite der gefundenen -Werte in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden.
Um herauszufinden, ob der gefundene Wert ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, wird in die zweite Ableitung eingesetzt.
↓ Setze ein.
Da ist, befindet sich an der Stelle ein Tiefpunkt.
3. Extremum
Zur Bestimmung des -Werts des Extremums muss der dritte der gefundenen -Werte in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden.
Um herauszufinden, ob der gefundene Wert ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, wird in die zweite Ableitung eingesetzt.
↓ Setze ein.
Da ist, befindet sich an der Stelle ein Tiefpunkt.
Wendepunkte
Bestimme die -Koordinaten der möglichen Wendepunkte als Nullstellen der zweiten Ableitung:
Bestimme jetzt die Lösungen von :
Du hast die Gleichung erhalten. Sie hat die beiden Lösungen
Es gibt also die Kandidaten für die Wendepunkte und . Wenn an diesen Stellen die dritte Ableitung ungleich Null ist, ist die Bedingung für einen Wendepunkt erfüllt.
Berechne die dritte Ableitung und setze die möglichen Wendestellen ein:
Damit ist die Bedingung erfüllt.
Um die -Koordinaten zu berechnen, werden die -Werte in die Funktion eingesetzt:
Damit hast du die Wendepunkte berechnet:
Grenzwertbetrachtung
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten der Funktion für betrachtet werden.
gegen :
Bei ganzrationalen Funktionen ist nur die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.
gegen :
Symmetrie
Durch Betrachtung des Funktionsterms
Die Exponenten zur Basis sind alle gerade. Daraus folgt, dass der Graph symmetrisch zur y-Achse verläuft.
Durch Berechnung mit dem Kriterium
Da gleich ist, ist der Graph von achsensymmetrisch zur y-Achse.
Beachte Wenn du als Erstes die Symmetrie nachweist, kannst du die Koordinaten des dritten Extremums aus denen des zweiten direkt ablesen.
Genauso kannst du den zweiten Wendepunkt aus dem ersten bestimmen und den Grenzwert bei aus dem Grenzwert bei .
Monotonieverhalten
Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.
Graph
Hinweis: Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind in der Abbildung in aufsteigender Reihenfolge angegeben (im Gegensatz zur obigen Berechnung).
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Definitionsbereich festlegen
Da die Funktion keine Brüche, Wurzeln oder Logarithmen mit enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion .
Nullstellenbestimmung
Um die Nullstellen von zu bestimmten, wird gesetzt.
Klammere aus und betrachte die Faktoren einzeln.
Ableitungen
Erste Ableitung
Zweite Ableitung
Extrema
x-Koordinaten bestimmen
ausklammern und die Faktoren einzeln betrachten.
oder
y-Koordinaten bestimmen
Setze die gefundenen -Werte in ein, um die -Koordinaten der Extrema zu erhalten.
da eine Nullstelle ist.
Prüfung auf Hoch- oder Tiefpunkt
Setze die gefundenen -Werte in ein, um zu bestimmen, ob es sich bei den Extrema um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.
Wendepunkt
Die zweite Ableitung wird gleich 0 gesetzt, um Wendepunkte zu bestimmen.
x-Koordinate des Wendepunkts
y-Koordinate des Wendepunkts
Das gefundene wird in die Funktion eingesetzt, um die -Koordinate des Wendepunkts zu bestimmen.
Grenzwertbetrachtung
. Da die Funktion keine Definitionslücken aufweist, muss nur das Grenzwertverhalten für untersucht werden.
Symmetrie
Die Exponenten zur Basis sind sowohl gerade als auch ungerade. Daraus folgt, dass der Graph weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch verläuft.
Die Symmetrie kann auch mithilfe des Funktionsterms bestimmt werden:
Monotonieverhalten
Die Monotonie wird mithilfe einer Tabelle bestimmt.
Graph
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Definitionsbereich festlegen
Da die Variable der Funktion weder im Nenner eines Bruchs, noch in einem Logarithmusterm oder in einer Diskriminante vorkommt, können in der Funktion keine Definitionslücken vorkommen. Also liegt der Definitionsbereich von in ganz .
Nullstellenbestimmung
Um aus dem Polynom vierten Grades ein Polynom zweiten Grades zu erzeugen, wird das Substitutionsverfahren angewendet. Das funktioniert in diesem speziellen Fall, da der Funktionsterm biquadratisch ist, wie im Beispiel des Artikels Substitution.
Die Nullstellen von einem Polynom zweiten Grades werden jetzt mit der Mitternachtsformel ermittelt.
Da die Diskriminante negativ ist, gibt es keine reellen Nullstellen.
Die Funktion hat keine Nullstellen.
Ableitungen
Erste Ableitung
Zweite Ableitung
Extrema bestimmen
Die erste Ableitung wird gleich gesetzt.
In dieser Gleichung kann ausgeklammert werden. . Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt die erste Nullstelle.
liefert zwei weitere Lösungen:
1. Extremum
Da kleiner , befindet sich an der ermittelten Stelle ein Hochpunkt.
2. Extremum
Da größer , befindet sich an der ermittelten Stelle ein Tiefpunkt.
3. Extremum
Da größer , befindet sich an der ermittelten Stelle ein Tiefpunkt.
Wendepunkt
Die Wendepunkte werden berechnet, indem die zweite Ableitung null gesetzt wird.
y-Koordinaten bestimmen
Ergebnis
Grenzwertbetrachtung
. Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Grenzwertverhalten der Funktion für betrachtet werden.
gegen
gegen
Symmetrie
Da alle Exponenten zur Basis gerade sind, ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch.
Das Kriterium von y-Achsensymmetrie lautet:
Durch Ersetzen von im rechten Funktionsterm mit wird überprüft, ob die Funktion eine y-Achsensymmetrie aufweist.
Monotonieverhalten
Die Monotonie wird mithilfe einer Tabelle bestimmt.
Graph
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- 7
Bestimme alle Hoch-, Tief- bzw. Terrassenpunkte des Graphen von
.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema
Zur Bestimmung der Hoch-, Tief- und Terrassenpunkte des Graphen einer Funktion benötigst du die Ableitungen von .
Ableitungen
Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle gibt die Steigung des Graphen der Funktion an dieser Stelle an.
Erste Ableitung
Leite mithilfe der Ableitungsregeln a.
Zweite Ableitung
Nutze die erste Ableitung von als Ausgangspunkt, um die zweite Ableitung von zu bestimmen.
Extrema bestimmmen
Die Extrema der Funktion sind die Nullstellen der ersten Ableitung. Setze also gleich 0.
↓ ↓ Die erste Nullstelle kann nun abgelesen werden, da als alleinstehender Faktor ausgeklammert werden konnte.
Löse nun die Gleichung .
↓ Mitternachtsformel anwenden.
↓ Unter der Wurzel zusammenfassen.
↓ Wurzel ziehen.
1. Extremum
-Wert des ersten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.
Untersuche, ob der erste Extrempunkt Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt ist.
-Wert des ersten gefundenen Extrempunkts in einsetzen.
Da hat an der Stelle einen Hochpunkt .
2. Extremum
Setze den -Wert der zweiten gefundenen Extremstelle in die Ausgangsfunktion ein.
Untersuche, ob der zweite Extrempunkt ein Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt ist.
Setze den -Wert des zweiten gefundenen Extrempunkts in ein.
Da hat an der Stelle einen Tiefpunkt.
3. Extremum
Setze den -Wert der dritten gefundenen Extremstelle in die Ausgangsfunktion ein.
Untersuche, ob der dritte Extrempunkt ein Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt ist.
-Wert des dritten gefundenen Extrempunkts in einsetzen.
Da hat an der Stelle einen Tiefpunkt .
Der Graph von hat einen Tiefpunkt bei , einen Hochpukt bei und einen Tiefpunkt bei .
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Untersuche den Graphen der Funktion mit soweit, sodass du ihn zeichnen kannst.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Ohne Wertetabelle ist es immer geschickt, sich über den Verlauf des Graphens Gedanken zu machen. Hilfreich hierbei sind vor allem erst einmal Nullstellen. Danach schaust du dir das Verhalten der Funktion im Unendlichen an.Um die Nullstellen herauszufinden gibt es zwei Möglichkeiten. Einmal kann man sie bei Polynomen mit einem Grad größer als zwei mit der Polynomdivision herausfinden oder bei dem Grad vier bietet sich auch die Substitution an.
Lösung 1: mit Polynomdivision
1. Schritt: Nullstellen raten
Schaue dir beim raten von Nullstellen die letzte Ziffer ohne ein an, wie kannst du die in ein Produkt aufteilen? Zum Beispiel in und . Probiere es mit : Super, eine Nullstelle gefunden!
2. Schritt: Polynomdivision um weitere Nullstellen zu finden
Jetzt sollte man die Wurzel ziehen um auf das zu kommen. Dann würde aber etwas negatives unter der Wurzel stehen, dies ist nicht erlaubt. Also gibt es keine weitere Nullstelle.
3. Schritt: Verhalten im Unendlichen
Setze jetzt überall da wo in der Funktion ein steht ein bzw. ein und schaue was raus kommt. Allerdings darfst du das nur in Anführungszeichen schreiben, da dies eigentlich keine mathematische Ausdrucksweise ist und somit nur eine inoffizielle Lösung aber eine gute Hilfe um sich das besser vorstellen zu können.
Schaue dir jetzt das Vorzeichen vor dem höchsten Exponenten/Grad an: hier steht ein Minus. Also kommt insgesamt Minus Unendlich raus.
Bei geraden Exponenten wird das Minus in der Klammer wieder zu einem Plus und du kommst auf das selbe Ergebnis.
Der Verlauf ist also "von unten nach unten".
4. Schritt: Symmetrie
Es können drei Fälle eintreten: Achsensymmetrie, Punktsymmetrie, keine Symmetrie. Ersetze dafür jedes mit einem .
Jetzt musst du dir die Exponenten/Potenzen anschauen, hier sind das nur gerade, also fallen unsere Minuszeichen vor den weg. Damit bist du wieder bei der Funktion gelandet.
Welche Symmetrie war das? Richtig, die Achsensymmetrie.
5. Schritt: y-Achsen Abschnitt
Um den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse zu ermitteln, muss für den -Wert eingesetzt werden.
6. Schritt: Graphen zeichnen
Lösung 2: durch Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. ) durch einen neuen Term (z.B. ) ersetzt.
Ersetze nun jedes mit .
Aus dieser quadratischen Funktion kannst du jetzt die Nullstellen mit Hilfe der Mitternachtsformel ausrechnen.
und
Nun musst du rücksubstituieren.
Um auf und zu kommen musst du also die Wurzel aus und ziehen. Das funktioniert allerdings nur bei , da negativ ist. Aber Achtung: Nur die Wurzel ziehen ist keine Äquivalenzumformung, deshalb musst du die ziehen.
So bist du wieder bei den Nullstellen von oben angekommen und kannst bei Schritt 3: Verhalten im Unendlichen weiter machen.
Überlege dir, was du alles benötigst, um den Graphen zeichnen zu können:
Nullstellen
Verhalten im Unendlichen
Symmetrie
y-Achsen Abschnitt
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Zeichne die Graphen der folgenden Funktionen:
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
Überlege dir, was macht das Minus vor dem x und was macht die 3 da. Das Minus öffnet die Parabel nach unten und die 3 macht die Parabel schmaler. Wenn du jetzt noch zwei x-Werte einsetzt kannst du die Funktion gut zeichnen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
Der Faktor ist kleiner als 1 und macht die Parabel damit breiter.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
Überlege dir, was die 2 für Auswirkungen auf die Funktion hat. Richtig, in diesem Fall steht das in für die Verschiebung entlang der y-Achse, hier in die negative Richtung wegen dem Minus. Ansonsten ist die Normalparabel.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
Hier steht nur vor dem noch der Faktor . Dieser öffnet die Parabel weiter.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
Überlege dir, was das Minus vor dem macht. Außerdem haben wir eine Verschiebung um plus in die y-Richtung.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
Überlege dir, was die für Auswirkungen auf die Funktion hat.
Hast du eine Frage oder Feedback?
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Skizziere den Graphen der Funktion mit nur durch Überlegung und ohne Wertetabelle.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomfunktion
Zuerst wird die Funktion in die einzelnen Terme aufgeteilt.
Betrachte . Das Vorzeichen sagt dir, dass eine nach unten geöffnete Polynomfunktion vierten Grades vorliegt. Diese ist durch den Faktor 3 relativ schmal. Da hier der höchste Exponent der Funktion vorliegt, sieht die Funktion nach außen betrachtet aus, wie eine Funktion vierten Grades.
Betrachte . Das Vorzeichen sagt dir, dass eine nach oben geöffnete Parabel vorliegt, die durch den Faktor 2 ebenfalls etwas schmaler wird. Da hier der kleinste Exponent vorliegt, sieht die Funktion bei kleinen x-Werten, also in der Umgebung von Null, so aus wie eine Parabel.
Betrachte .
Hier liegt keine Verknüpfung mit einem vor, deswegen ist die 5 die Verschiebung auf der y-Achse, und zwar in die positive Richtung.
Es liegen also nur gerade Exponenten vor. Dies sagt dir, dass der Graph symmetrisch ist.
Die Terme wieder zusammen in der Funktion ergibt dann das:
Überlege dir zuerst, was die Vorzeichen für Auswirkungen auf die Funktion haben. Wo hast du Potenzen, welchen Grad haben diese? Welcher y-Achsen-Abschnitt liegt vor?
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Bestimme die Nullstellen:
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ f(x) gleich 0 setzen, um die Nullstellen zu bestimmen
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. ) durch einen neuen Term (z.B. ) ersetzt.
↓ Mitternachtsformel anwenden
↓ Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
↓ Fall: +
Fall: -
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
↓ Wurzel ziehen
↓ Wurzel ziehen
Die Nullstellen der Funktion lauten
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. ) durch einen neuen Term (z.B. ) ersetzt.
↓ Mitternachtsformal anwenden
↓ Unter der Wurzel ausmultiplizieren
↓ Wurzel ziehen
↓ Fall: +
↓ Fall: -
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
↓ Wurzel ziehen
↓ Wurzel ziehen
Die Nullstellen der Funktion liegen bei .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. ) durch einen neuen Term (z.B. ) ersetzt.
↓ Die Nullstellen können abgelesen werden
↓ Doppelte Nullstelle
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
↓ Wuzel ziehen
↓ Zwei doppelte Nullstellen
Die Funktion hat zwei doppelte Nullstellen und zwar bei und .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. ) durch einen neuen Term (z.B. ) ersetzt.
↓ Mitternachtsformel anwenden
↓ Fall: +
↓ Fall: -
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
↓ dritte Wurzel ziehen
↓ dritte Wurzel ziehen
Die Funktion hat 2 Nullstellen bei und bei .
Hast du eine Frage oder Feedback?
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Berechne die Nullstellen der folgenden Funktion.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, du erhältst also die erste Nullstelle:
Die anderen Nullstellen erhältst du, wenn du den zweiten Faktor gleich 0 setzt:
Wende nun die Mitternachtsformel an, um das Ergebnis zu erhalten:
↓ Fasse unter der Wurzel zusammen.
↓ Ziehe die Wurzel
Du erhältst also die beiden Nullstellen:
und:
Die Funktion hat also insgesamt 3 Nullstellen und zwar bei und .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ Klammere die kleinste Potenz von aus und setze = 0
Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, du erhältst also die erste Nullstelle:
Das ist eine doppelte Nullstelle, da in der Faktordarstellung vorkommt.
Die anderen Nullstellen erhältst du, wenn du den zweiten Faktor gleich 0 setzt:
Wenn du die 1. binomische Formel anwendest, erhältst du:
ist also auch eine doppelte Nullstelle.
Die Funktion hat also 2 doppelte Nullstellen und zwar bei und .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Setze die Funktion gleich 0:
Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, setze nun die erste Klammer gleich 0:
↓ Benutze die 3. Binomische Formel
Setze als nächstes die zweite Klammer .
Die Funktion hat also 3 Nullstellen und zwar bei und .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ Setze die Funktion gleich 0.
↓ Wende die 2. Binomische Formel an.
Die Funktion hat also eine doppelte Nullstelle bei .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, du erhältst also die erste Nullstelle:
Das ist eine vierfache Nullstelle, da in der Faktordarstellung vorkommt.
Die anderen Nullstellen erhältst du, wenn du den zweiten Faktor gleich 0 setzt:
↓ Verwende die 3. Binomische Formel.
Die Funktion hat also eine vierfache Nullstelle bei und jeweils eine einfache Nullstelle bei und .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Diese Funktion ist ein Polynom 4. Grades, bei dem du nicht mehr ausklammern kannst, das macht es schwer die Nullstellen zu bestimmen. Hier verwendest du am besten eine Substitution:
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. ) durch einen neuen Term (z.B. ) ersetzt.
↓ Setze die Funktion gleich 0.
Hier kannst du jetzt die Mitternachtsformel anwenden:
↓ Fasse unter der Wurzel zusammen.
Du erhältst also die beiden Nullstellen:
und:
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
Und noch für :
Die Funktion hat also 4 Nullstellen und zwar bei und .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Ersetze den "schlimmen Teil"
Den Term bezeichnen wir als "schlimmen Teil". Ersetzen wir ihn also auch in der Vorschrift von :
schlimmer Teil
Was haben die Terme und gemeinsam?
Setze dies in die Vorschrift von ein
schlimmer Teil
Klammere aus
schlimmer Teil
Setze den "schlimmen Teil" ein
Löse innere Klammer auf
und heben sich gegenseitig auf
ist das Produkt von zwei Polynomfunktionen. Berechne die Nullstellen der Faktoren.
Nullstellen des linken Faktors
Setze gleich Null
Bringe die auf die andere Seite
Teile durch
Erhalte die Nullstelle
Nullstellen des rechten Faktors
Setze gleich null. Da hier kein konstantes Glied auftaucht, können wir die kleinste Potenz von ausklammern. Wir haben dann:
Dort lesen wir die Nullstelle ab. Es fehlen uns nur noch die Nullstellen von . Diese berechnen wir, indem wir gleich null setzen und diese Gleichung nach auflösen.
Bringe die auf die andere Seite
Teile durch 4
Erhalte die Nullstelle
Und die Nullstellen von lauten…
Das war etwas mühsam. Doch jetzt haben wir alle Nullstellen von . Sie lauten und .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Tipp: Welcher Teil bereitet dir Probleme? Kannst du ihn "ignorieren"?
Wenn du völlig auf dem Schlauch stehst, gehe nochmal zurück auf die Seite 2. Ausklammern von Faktoren(2|2).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. in ein.
Setze als nächstes z.B. in ein.
Die Funktion hat an der Stelle eine Nullstelle. Da , wissen wir, dass den dazugehörigen Linearfaktor besitzt.
Führe nun die Polynomdivision durch.
Die Funktion wird dann , sobald mindestens einer der Faktoren gleich ist. Da die Nullstelle bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich setzt.
Wende hier die Mitternachtsformel an.
↓ Fasse unter der Wurzel zusammen
Du erhältst die beiden Nullstellen:
und:
Die Funktion hat also drei Nullstellen bei , und .
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Interaktive Aufgaben zum Verlauf von Polynomfunktionen auf KMap ..
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Gegeben ist die Funktion .
Begründe, warum die Funktion nicht symmetrisch zur y-Achse ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Achsensymmetrie von Graphen
Die Funktion ist nicht achsensymmetrisch zur -Achse, da ein Exponent ungerade ist, aber alle anderen Exponenten gerade sind.
Überprüfung:
Wenn achsensymmetrisch ist, muss sein.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Verändere die Funktionsgleichung an möglichst wenig Stellen um eine zur y-Achse symmetrische Funktion zu bekommen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Achsensymmetrie von Graphen
Man muss nur den Exponenten zu einer geraden Zahl abändern.
Mögliche Lösung:
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Es ist die Funktion gegeben.
Bestimme Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte von . Zeichne .
Nullstellenbestimmung
Bestimme zuerst die Nullstellen von , indem du die Funktion gleich 0 setzt:
Die erste Nullstelle muss erraten werden. Durch ausprobieren ermittelt man beispielsweise
Mit Polynomdivision wird jetzt eine neue Gleichung aufgestellt.
Die berechnete Funktion wird gleich 0 gesetzt um die beiden anderen Nullstellen zu ermitteln.
↓ Löse beispielsweise mit der Mitternachtsformel.
Die Funktion hat demnach eine einfache Nullstelle bei und eine doppelte Nullstelle bei .
Ableiten
Extrema bestimmen
Setze die erste Ableitung gleich .
Extremum bei :
Setze in ein.
Setze in ein:
Da hat in einen Tiefpunkt.
Extremum bei :
Setze in ein.
Setze in ein:
Da hat in einen Hochpunkt.
Wendepunkte bestimmen
Bestimme nun noch die Wendepunkte. Setze dazu gleich 0.
Setze in ein:
Da ist, gibt es einen Wendepunkt:
Der Wendepunkt lautet .
Graph der Funktion
Hast du eine Frage oder Feedback?
Berechne die Gleichungen der Tangente und Normale im Wendepunkt.
Tangente aufstellen
ist die Steigung der Tangente. Setze das bestimmte m und die Koordinaten des Wendepunkts in die allgemeine Geradengleichung ein, um zu bestimmen.
↓ einsetzen
↓ Setze in die Gleichung ein. und .
Die Gleichung der Tangente lautet t:
Normale aufstellen
Stelle die Normalengleichung auf. Für die Steigung der Normalen und die Steigung der Tangenten gilt:
↓ Das bestimmte und die Koordinaten des Wendepunkts kannst du in die allgemeinen Geradengleichung einsetzen, um zu bestimmen.
↓ einsetzen.
↓ Setze in die Gleichung ein. und .
Die Gleichung der Normale lautet :
Graph der Funktion mit Normale und Tangente
Hast du eine Frage oder Feedback?
Berechne den Inhalt der beiden Flächenstücke, die von und der Normalen begrenzt sind.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Zur Bestimmung des Integrals werden die Schnittpunkte der beiden Funktionen benötigt.
Schnittstelle der Funktionen berechnen
Setze beide Funktionen gleich.
↓ Die erste Nullstelle ist . Um die weiteren Nullstellen zu bestimmen, muss die Klammer berechnet werden.
Integral aufstellen
Es gibt zwei Flächen die durch die Schnitte entstehen.
Vereinfache zuerst den Integranden:
Integriere und dann
Die gesuchte Fläche hat den Flächeninhalt Flächeneinheiten.
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