Satz vom Nullprodukt

Der Satz vom Nullprodukt sagt aus, wenn das Produkt zweier Faktoren $0$ ist, so ist mindestens einer dieser Faktoren gleich $0$ . In Zeichen:

Wenn $a \cdot b = 0$ , so ist $a=0$ und/oder $b=0$ .

Man spricht auch von Nullproduktregel.

Verallgemeinerung

Ist ein Produkt von mehreren Faktoren Null, so muss einer der Faktoren Null sein. Bei drei Faktoren heißt das zum Beispiel:

Wenn $a\cdot b\cdot c=0$ , so ist $a=0$ oder $b=0$ oder $c=0$ .

Beispiel 1

Wende den Satz vom Nullprodukt an, um die Lösungsmenge der folgenden Gleichung anzugeben:

$~x \cdot (x-2)=0$

Die Nullproduktregel sagt aus, wenn das Produkt von $x$ und $x-2$ gleich $0$ ist, so ist $x=0$ oder $x-2=0$ , also

$x=0$ und/oder $x=2$

\displaystyle L=\{ 0{,}2 \}

Beispiel 2

Wende den Satz vom Nullprodukt an, um die Lösungsmenge der folgenden Gleichung anzugeben:

$(x+1)\cdot x\cdot (x-1)\cdot (x-2)=0$

Das Produkt kann nur Null werden, wenn einer der Faktoren Null ist, also $x+1=0\;(\Leftrightarrow x=-1)$ oder $x=0$ oder $x-1=0\; (\Leftrightarrow x=1)$ oder $x-2=0\; (\Leftrightarrow x=2)$ .

Die Lösungsmenge ist also

\displaystyle L=\{ 0{,}2 \}

Übungsaufgaben: Satz vom Nullprodukt

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