Eine quadratische Funktion ist ein Polynom zweiten Grades, also eine Funktion der Form:

%%\boldsymbol f\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol)\boldsymbol=\boldsymbol a\boldsymbol x^\mathbf2\boldsymbol+\boldsymbol b\boldsymbol x\boldsymbol+\boldsymbol c%%   mit %%\;\;a\neq0\\%%

 

Graph    

Der Graph einer quadratischen Funktion ist immer eine Parabel.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1451.xml

Nullstellen

Quadratische Funktionen sind Polynome zweiten Grades und haben deswegen höchstens zwei reelle Nullstellen.

Die Anzahl der Nullstellen wird durch die Diskriminante   %%D=b^2-4\mathrm{ac}%% der Funktion angegeben:

 

Vorzeichen der Diskriminante

D<0

D=0

D>0

Graph der Funktion (schematisch)

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1447.xml

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1441.xml

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1449.xml

Anzahl der Nullstellen

keine Nullstellen

eine doppelte Nullstelle

zwei einfache Nullstellen

 

Um die Lage der Nullstellen zu bestimmen, muss man eine quadratische Gleichung lösen, z.B. mithilfe der Mitternachtsformel, bei der die Funktion gleich 0 gesetzt werden muss.

 

Scheitel

Als Scheitel einer Parabel bezeichnet man ihr Extremum. Es liegt immer bei %%x=-\frac b{2a}%%.

Man erhält den Scheitelpunkt einer Parabel entweder durch quadratische Ergänzung oder wie bei allen Funktionen durch die erste Ableitung.

Setzt man den x-Wert wieder in die Gleichung der quadratischen Funktion ein, erhält man den Scheitelpunkt, dieser hat dann die Koordinaten:

$$S = \bigg( -\frac{b}{2\cdot a}\bigg|\; c-\frac{b^2}{4\cdot a}\bigg)\\$$

   

Darstellungsformen einer quadratischen Funktion

Der Funktionsterm einer quadratischen Funktion kann - ggf. nach Umformung bzw. Zusammenfassung - vorliegen in:

%%\boldsymbol f\left(\mathbf x\right)\boldsymbol=\boldsymbol a\boldsymbol x^\mathbf2\boldsymbol+\boldsymbol b\boldsymbol x\boldsymbol+\boldsymbol c%%

%%\boldsymbol f\left(\mathbf x\right)\boldsymbol=\boldsymbol a\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol-\boldsymbol d\boldsymbol)^\mathbf2\boldsymbol+\boldsymbol e%%

%%\boldsymbol f\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol)\boldsymbol=\boldsymbol a\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol-{\boldsymbol x}_\mathbf1\boldsymbol)\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol-{\boldsymbol x}_\mathbf2\boldsymbol)%%

Bedeutung der Koeffizienten einer quadratischen Funktion    

Eine quadratische Funktion hat in allgemeiner Form eine Gleichung der Form %%f\left(x\right)=ax^2+bx+c%% .

Die Koeffizienten a, b und c verformen und / oder verschieben die Parabel. Welchen genauen Einfluss sie auf die Form des Graphen haben, kann aber nur anhand der Scheitelform gesehen werden.

Vergleiche dazu den Artikel Einfluss der Parameter in der Scheitelform.

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Zu article Quadratische Funktion:
Simon 2018-03-26 19:59:09
Hi zusammen. Hier etwas Feedback auf den ersten Blick:
- Die Hierarchie der Überschriften wird nicht eingehalten.
- Sind Begriffe wie "Polynom" und "reell" bei der Einführung der quadratischen Funktion schon bekannt? Der Artikel wirkt insgesamt sehr fachlich und wenig an den Bedarfen und dem Kenntnisstand der SchülerInnen ausgerichtet.
- Es fehlen Beispiele und Beispielaufgaben.
- Es fehlt ein Einführungsvideo.
- Es fehlt die Verlinkung zu einem Einführungskurs.
Liebe Grüße!
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