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Nullstellenform

Die Nullstellenform ist eine von drei verschiedenen Möglichkeiten zur Darstellung einer quadratischen Funktion. Diese Möglichkeiten sind:

  • Die Normalform: f(x)=ax2+bx+cf(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c

  • Die Nullstellenform: f(x)=a(xx1)(xx2)f(x)=a\cdot(x-x_1)\cdot (x-x_2)

Der Öffnungsfaktor aa ist dabei bei jeder der Darstellungsmöglichkeiten einer Funktion f(x)f(x) gleich.

Aufbau der Nullstellenform

Wie der Name Nullstellenform schon sagt, sind die Nullstellen dafür sehr wichtig.

Oben kannst du bereits erkennen, dass auch der Öffnungsfaktor aa der quadratischen Funktion für die Nullstellenform eine wichtige Rolle spielt.

Ausgehend von diesen Werten kannst du drei Fälle unterscheiden:

1. Fall: Zwei verschiedene Nullstellen

Die Funktion ff hat zwei verschiedene Nullstellen x1x_1 und x2x_2.

Die Nullstellenform lautet:

f(x)=a(xx1)(xx2)f(x)=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2)

Zum Funktionsgraph im Beispiel:

In der Graphik siehst du, dass ff Nullstellen bei 2-2 und 00 hat.

Wie du den Öffnungsfaktor bestimmst, erfährst du weiter unten im Artikel. Hier ist der Öffnungsfaktor a=1a=1.

Deswegen ist der Funktionsterm von ff in Nullstellenform:

f(x)=1(x(2))(x0)=(x+2)xf(x)=1\cdot(x-(-2))\cdot(x-0)=(x+2)\cdot x.

2. Fall: Eine Nullstelle mit zweifacher Vielfachheit

Die Funktion ff hat eine Nullstelle x1x_1 mit Vielfachheit 22.

x1x_1 ist eine doppelte Nullstelle, und deshalb ist x1=x2x_1=x_2. Du kannst also x1x_1 für x2x_2 einsetzen und :

f(x)=a(xx1)(xx1)f(x)=a(xx1)2f(x)=a\cdot (x-x_1)\cdot (x- x_1)\\\phantom{f(x)}=a\cdot (x-x_1)^2

Zum Funktionsgraph im Beispiel:

In der Graphik siehst du, dass ff eine doppelte Nullstelle bei 22 hat.

Wie du den Öffnungsfaktor bestimmst, erfährst du weiter unten im Artikel. Hier ist der Öffnungsfaktor a=1a=1.

Deswegen ist der Funktionsterm von ff in Nullstellenform:

f(x)=1(x2)(x2)=(x2)2f(x)=1\cdot(x-2)\cdot(x-2)=(x-2)^2.

3. Fall: Keine Nullstelle

Die Funktion ff hat keine Nullstelle.

Es gibt keine Nullstellenform.

Video zu den Nullstellen quadratischer Funktionen

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Veranschaulichung

Die folgende Grafik stellt dar, wie sich die Nullstellenform einer Funktion ff in Abhängigkeit vom Funktionsgraphen und ihrer Scheitelpunktsform verändert.

Scheitelpunktsform

Zur Erinnerung: Die allgemeine Form der Scheitelpunktsform ist

f(x)=a(xd)2+ef(x)=a\cdot(x-d)^2+e

Die Scheitelpunktsform der Funktion ff ist abhängig von den Parametern aa, dd und ee. Du siehst die Scheitelpunktsform in der linken oberen Ecke der Grafik.

Graph

Der abgebildete Graph der Funktion ff verändert sich in Abhängigkeit von den einzelnen Parametern der Scheitelpunktsform.

Nullstellenform

Die Nullstellenform ist abgebildet in der linken unteren Ecke der Grafik. Du siehst, wie sich die Nullstellenform ändert, wenn sich die einzelnen Parameter verändern.

Bestimmung der Nullstellenform

Zu einer gegebenen Funktionsgleichung in einer anderen Darstellungsform oder einem Graphen soll die Nullstellenform bestimmt werden.

Das schematische Vorgehen ist folgendermaßen:

Das erste Beispiel behandelt, wie du eine Funktionsgleichung von Scheitelpunktsform in Nullstellenform umrechnest. Das zweite Beispiel zeigt, wie du aus einem gegebenen Funktionsgraphen die zugehörige Nullstellenform bestimmst.

Beispiel 1: Bestimmung aus Scheitelpunktsform

Beispiel 2: Bestimmung aus Funktionsgraph

Weitere Beispiele

Informationen aus der Nullstellenform

Aus einer gegebenen Nullstellenform kannst du auch Informationen herauslesen. Diese sind die Nullstellen x1x_1, x2x_2 und der Öffnungsfaktor aa.

Das nächste Beispiel zeigt, wie du diese Informationen gewinnen kannst.

Vertiefung: Linearfaktordarstellung

Übungsaufgaben

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Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Nullstellenform


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