Einfluss der Parameter in der Scheitelform

Ausgehend von der Normalparabel kann man jede beliebige Parabel konstruieren. Dazu benutzt man die Scheitelform:

$f\left(x\right)=a(x-d)^2+e$

an der man den Scheitelpunkt $S(d|e)$ ablesen kann.

Folgenden Einfluss haben die einzelnen Parameter $a,d,e$ der Scheitelform auf den Graphen der Parabel:

Paramter	Einfluss auf	Graph
a	Öffnungsrichtung und Streckung/Stauchung $a>0$ : Parabel nach oben geöffnet $a<0$ : Parabel nach unten geöffnet $\|a\|<1$ : Parabel Richtung y-Achse gestaucht (im Vergleich zur Normalparabel) $\|a\|>1$ : Parabel Richtung y-Achse gestreckt (im Vergleich zur Normalparabel)
d	Verschiebung in $x$ -Richtung $d>0$ : Verschiebung um $d$ nach rechts $d<0$ : Verschiebung um $d$ nach links
e	Verschiebung in $y$ -Richtung $e>0$ : Verschiebung um $e$ nach oben $e<0$ : Verschiebung um $e$ nach unten

Beispiel

Finde zu der nebenstehenden Parabel in dem Koordinatensystem die zugehörige Funktionsgleichung, das heißt mit passenden Parametern $a,d,e$ . Betrachte in der obigen Tabelle nochmal, welche Auswirkungen die Parameter haben.

Im Graphen erkennst du den Scheitelpunkt der Parabel.

$S(12|-6)$

Verwende, dass in der Scheitelform $f(x)=a \cdot (x-d)^2+e$ der Scheitelpunkt $S(d|e)$ steckt.

$f(x)=a \cdot (x-12)^2-6$

Es bleibt noch der Parameter $a$ zu bestimmen. Hierzu kannst du einen Punkt vom Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen.

$(6|0)$ ist ein Punkt des Graphen von $f$

$0=f(6)$
	↓
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle a\cdot(6-12)^2-6$	$\displaystyle +6$
$\displaystyle 6$	$=$	$\displaystyle a(-6)^2$
$\displaystyle 6$	$=$	$\displaystyle a\cdot36$	$\displaystyle :36$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{6}$

$f(x)=\frac{1}{6} (x-12)^2 -6$

Veranschaulichung durch ein Applet

Benutze die Schieberegler, um die Parameter zu verändern.

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Video zur Scheitelform

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