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Scheitelpunkt einer Parabel

Der Scheitelpunkt ist der höchste bzw. tiefste Punkt (Extrempunkt) einer Parabel.

Eigenschaften des Scheitelpunkts

  • Der Scheitelpunkt ist das Maximum der Funktion, wenn die Parabel nach unten geöffnet ist und Minimum der Funktion, wenn die Parabel nach oben geöffnet ist.

  • Die Parabel ist achsensymmetrisch zur Parallelen zur y-Achse durch den Scheitelpunkt.

Beispiel

f(x)=(x2)2+1f(x)=(x-2)^2+1

Scheitelpunkt

  • Der Scheitelpunkt lautet S(21)S(2\vert1) und ist hier ein Minimum, da die Parabel nach oben geöffnet ist.

  • Die Parabel ist achsensymmetrisch zur Geraden x=2x=2.

Bestimmung des Scheitelpunkts

Es gibt vier unterschiedliche Methoden zur Bestimmung des Scheitelpunktes:

1. Bestimmung anhand der Scheitelform

Wenn sich die Funktion schon in Scheitelform (Scheitelpunktform) befindet, kann der Punkt einfach abgelesen werden:

  • Scheitelpunktsform: f(x)=a(xd)2+ef(x)=a(x-d)^2+e

  • Scheitelpunkt: S(de)S(d\vert e)

Beispiel

Achte auf die unterschiedlichen Vorzeichen der Funktionen!

  • Aus der Funktion 2(x1)232\left(x-1\right)^2-3 lässt sich d=1d=1 und e=3e=-3 ablesen. Der Scheitelpunkt befindet sich folglich am Punkt S(13)S(1|-3).

  • Ist die Funktion (x2)2+4\left(x-2\right)^2+4, folgt d=2d=2 und e=4e=4. Somit ist der Scheitelpunkt bei S(24)S(2|4).

  • Ist die Funktion (x+1)2+4\left(x+1\right)^2+4, folgt d=1d=-1 und e=4e=4. Somit ist der Scheitelpunkt bei S(14)S(-1|4).

Umwandlung in Scheitelform

Falls die Gleichung noch nicht in Scheitelform ist, kann man sie mit der quadratischen Ergänzung oder anderen Umformungen (Ausmultiplizieren, Ausklammern, binomische Formel) in Scheitelform bringen und dann, wie oben bereits erklärt, den Scheitelpunkt ablesen.

2. Bestimmung anhand der allgemeinen Form

Mit Hilfe der folgenden Formel kann man den Scheitelpunkt auch direkt aus der allgemeinen Form berechnen.

Allgemeine Form: f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c

Formel für den Scheitelpunkt

S(b2  acb24  a)S\left(-\frac b{2~\cdot~ a}\left|c-\frac{b^2}{4 ~\cdot ~a}\right.\right)

Beispiel

Es soll nun der Scheitelpunkt der Funktion f(x)=2x2+x3f(x)=2x^2+x-3 anhand der Formel bestimmt werden.

f(x)=2x2+x3f(x)=2x^2+x-3

Bestimme aa, bb, cc aus der allgemeinen Form.

a=2, b=1, c=3a=2, ~b=1, ~c=-3

Setze aa, bb, cc in die Formel ein.

S(12231242)S\left(-\frac{1}{2\cdot2}\big|-3-\frac{1^2}{4\cdot2}\right)

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

S(14258)S\left(-\frac14\big\vert -\frac{25}{8}\right)

Umwandeln in die allgemeine Form

Falls die Gleichung noch nicht in der allgemeinen Form ist, kann man sie durch Umformungen wie Ausmultiplizieren, Ausklammern, binomische Formel in die allgemeine Form bringen und dann, wie oben bereits erklärt, den Scheitelpunkt durch die Formel berechnen.

3. Bestimmung mit der Ableitung (fortgeschritten)

Die Steigung der Parabel ist am Scheitelpunkt gleich 00. Deshalb kann der Scheitel einer Parabel auch mit der Ableitung berechnet werden, da der Scheitel stets das Extremum der quadratischen Funktion ist.

Beispiel

Es soll der Scheitelpunkt von f(x)=x2+2x+4f(x)=x^2+2x+4 mittels der Methode Bestimmung mit der Ableitung berechnet werden.

f(x)=x2+2x+4f(x)=x^2+2x+4

Leite die Funktion ff ab.

f(x)=2x+2f'(x)=2x+2

Bestimme für die Extremstelle die Nullstelle der ersten Ableitung, das bedeutet f(x)=0f'(x)=0.

f(x)\displaystyle f'\left(x\right)==0\displaystyle 0

Setze f(x)f'(x) ein und löse nach xx auf.

2x+2\displaystyle 2x+2==0\displaystyle 02\displaystyle -2
2x\displaystyle 2x==2\displaystyle -2:2\displaystyle :2
x\displaystyle x==1\displaystyle -1

Dies ist die Extremstelle. Wir haben hier eine nach oben geöffnete Parabel, daher ist x=1x=-1 die Minimalstelle. Berechne den zugehörigen yy-Wert, indem du x=1x=-1 in die Funktion einsetzt.

f(1)\displaystyle f\left(-1\right)==(1)2+2(1)+4\displaystyle \left(-1\right)^2+2\cdot\left(-1\right)+4
==12+4\displaystyle 1-2+4
==3\displaystyle 3

Schreibe den Scheitelpunkt hin.

S (1  3)S~(-1 ~|~3)

4. Bestimmung anhand der Nullstellen

Vorsicht! Diese Methode funktioniert nur, falls die Parabel Nullstellen hat.

  • Wenn die Parabel zwei Nullstellen hat, so liegt der Scheitel genau in der Mitte zwischen diesen beiden Nullstellen, da alle Parabeln achsensymmetrisch sind.

  • Wenn die Parabel nur eine Nullstelle hat, dann ist diese der x-Wert xsx_s des Scheitels.

  • Wenn die Parabel keine Nullstellen hat, funktioniert diese Methode NICHT!

Beispiel

Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion ff mit der Funktionsgleichung

anhand seiner Nullstellen.

Berechne die Nullstellen von ff.

f(x)\displaystyle f\left(x\right)==0\displaystyle 0
0,5x24,5\displaystyle 0{,}5\cdot x^2-4{,}5==0\displaystyle 0+4,5\displaystyle +4{,}5
0,5x2\displaystyle 0{,}5x^2==4,5\displaystyle 4{,}52\displaystyle \cdot2
x2\displaystyle x^2==9\displaystyle 9

Ziehe die Wurzel.

x\displaystyle x==±9\displaystyle \pm\sqrt{9}
x\displaystyle x==±3\displaystyle \pm3

x1=3x_1=3 und x2=3x_2=-3

Die Nullstellen von ff sind 3-3 und 33. Der xx-Wert des Scheitels xsx_s liegt in der Mitte zwischen diesen beiden Nullstellen. Die Zahl 00 liegt zwischen 3-3 und 33.

Nullstellen von ff (schwarz) und xx-Wert des Scheitels mittig (rot)

Also ist xs=0x_s=0.

Bestimme nun den yy-Wert des Scheitels ysy_s, indem du den xx-Wert in die Funktionsgleichung von ff einsetzt.

ys\displaystyle y_s==f(xs)\displaystyle f\left(x_s\right)

Setze xs=0x_s=0 ein.

==f(0)\displaystyle f\left(0\right)

Setze x=0x=0 in f(x)=0,5x24,5f(x)=0{,}5\cdot x^2-4{,}5 ein.

==0,5024,5\displaystyle 0{,}5\cdot0^2-4{,}5
==04,5\displaystyle 0-4{,}5
==4,5\displaystyle -4{,}5

Der Scheitelpunkt von ff ist S(04,5)S(0|-4{,}5).

Graph der Funktion

Video zur Bestimmung des Scheitelpunkts anhand der Nullstellen

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Aufgaben zur Berechnung des Scheitelpunktes

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