Symmetrie von Graphen

Überprüfung, ob $f$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist

Mit folgenden Schritten kannst du herausfinden, ob eine gegebene Funktion $f$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist:

1. Setze für $x$ in die Funktion $-x$ ein: $f\left(-x\right)$

2. Forme $f\left(-x\right)$ um, indem du alle Klammern, in denen $-x$ steht, umformst

3. Vergleiche diese Funktion $f\left(-x\right)$ mit der ursprünglichen Funktion $f\left(x\right)$:

$\rightarrow$ Entspricht dein umgeformter Term $f(-x)$ genau der ursprünglichen Funktion $f$, also $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$, dann ist $f$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

$\rightarrow$ Entspricht dein umgeformter Term $f(-x)$ genau der ursprünglichen Funktion $f$ multipliziert mit $(-1)$, also $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$, dann ist $f$ punktsymmetrisch zum Ursprung.

Beispiele

Gegeben ist die Funktion $f(x)=\frac1{1+x^2}$. Wir wollen untersuchen, ob $f$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Dafür setzen wir in $f(x)$ $-x$ ein:

Nun lösen wir die Klammer $(-x)$ im Nenner auf. Diese Klammer wird quadriert, also $(-x)^2$. Wir wissen, dass ein Minus beim Quadrieren wegfällt, weil Minus mal Minus Plus ergibt. Deshalb gilt:

Wir vergleichen diesen Term mit der Funktion $f(x)$. Uns fällt auf, dass das Ergebnis von $f(-x)$ genau der Funktion $f(x)$ entspricht. Es gilt also: $f(-x)=f(x)$. Die Funktion $f(x)=\frac1{1+x^2}$ ist daher achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

In der Abbildung ist $f$ lila dargestellt. Auch hier lässt sich die Achsensymmetrie zur $y$-Achse erkennen.

Wir untersuchen, ob die Funktion $g(x)=\frac x{1+x^2}$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist:

Es gilt also $g(-x)=-g(x)$. Die Funktion $g$ ist also punktsymmetrisch. In der Abbildung ist $g$ rot dargestellt. Auch hier lässt sich die Punktsymmetrie zum Ursprung erkennen.

Wir wollen überprüfen, ob die Funktion $h\left(x\right)=\frac{x-2}{x^2+4x}$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist:

Dies ist weder identisch zu $h\left(x\right)$, noch zu $-h\left(x\right)$. $h$ ist also weder achsensymmetrisch zur $y$-Achse, noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Das kannst du auch in der Abbildung erkennen. Hier ist $h$ orange dargestellt.

Hinweis: Dieses rechnerische Ergebnis bedeutet nicht, dass $h$ keine Symmetrien aufweist. Es gibt Funktionen, die punktsymmetrisch sind, aber nicht zum Ursprung, sondern zu einem beliebigen anderen Punkt. Auch hier würde die obige Rechnung ergeben, dass $h\left(-x\right) \neq h(x); h\left(-x\right) \neq -h(x)$. Dieses Ergebnis bedeutet lediglich, dass $h$ nicht achsensymmetrisch zur $y$-Achse und nicht punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Sonderfall: Polynome

Ist ein vorliegendes Polynom vollständig  ausmultipliziert, d.h. hat es die Form  $a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+…+a_1\cdot x^1+a_0$, so lässt sich aus obigen Regeln folgende Feststellung herleiten:

• alle Potenzen gerade oder Null $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur y-Achse

• alle Potenzen ungerade $\Rightarrow$ Punktsymmetrie zum Ursprung

Beispiele:

• Das Polynom $f(x)=4x^6-3x^2+1$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, da es nur die geraden Potenzen 6, 2 sowie die 0 (für die Konstante $+1$) enthält.

• Das Polynom $g\left(x\right)=2x^3+x$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da es nur die ungeraden Potenzen 3 und 1 enthält.

• Das Polynom $h\left(x\right)=2x^4+3x^3+3$ ist weder achsensymmetrisch zur $y$-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung, da es sowohl gerade (4), die Null sowie ungerade (3) Potenzen enthält.

Video zur Symmetrie

Sonderfall: Gebrochenrationale Funktionen

Die Symmetrie bei gebrochenrationalen Funktionen lässt sich über eine getrennte Symmetrie-Untersuchung von Nenner und Zähler bestimmen.

Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse

Immer wenn Nenner und Zähler gleiche Symmetrien haben

Beispiel

Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung

$\,$ 

Immer wenn Nenner und Zähler unterschiedliche Symmetrien haben

Beispiel:

Symmetrie zur allgemeinen Achse

Ein Graph kann auch zu einer allgemeinen Achse symmetrisch sein.

Symmetrie zu einer allgemeinen Achse kann man dann nachweisen, wenn man die Gleichung der Achse gegeben hat oder sie aus einem Graphen ablesen kann.

Wenn die Gleichung der Achse

lautet, dann gilt folgende Beziehung:

Die y-Achse ist der Spezialfall $c=0$.

Symmetrie zum allgemeinen Punkt

Ein Graph kann auch zu einem allgemeinen Punkt symmetrisch sein. Um die Symmetrie nachzuweisen, muss man den Punkt zuerst kennen oder ihn aus dem Graphen ablesen können.

Hat der Punkt die Koordinaten

$P\left(x_0|y_0\right)$.

Dann gilt folgende Beziehung:$f\left(x_0-x\right)-y_0=-f\left(x_0+x\right)+{y}_0$

Der Ursprung ist der Spezialfall $P(0|0)$.

Übungsaufgaben