Symmetrie von Graphen

Graphen können achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch sein.

Bei einer Achsensymmetrie zur y-Achse gilt: f(x)=f(x)f(-x)=f(x)

Bei Punktsymmetrie zum Ursprung gilt: f(x)=f(x)f(-x)=-f(x)

Überprüfung, ob ff achsensymmetrisch zur yy-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist

Mit folgenden Schritten kannst du herausfinden, ob eine gegebene Funktion ff achsensymmetrisch zur yy-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist:

  1. Setze für xx in die Funktion x-x ein: f(x)f\left(-x\right)

  2. Forme f(x)f\left(-x\right) um, indem du alle Klammern, in denen x-x steht, umformst

  3. Vergleiche diese Funktion f(x)f\left(-x\right) mit der ursprünglichen Funktion f(x)f\left(x\right):

\rightarrow Entspricht dein umgeformter Term f(x)f(-x) genau der ursprünglichen Funktion ff, also f(x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right), dann ist ff achsensymmetrisch zur yy-Achse.

\rightarrow Entspricht dein umgeformter Term f(x)f(-x) genau der ursprünglichen Funktion ff multipliziert mit (1)(-1), also f(x)=f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right), dann ist ff punktsymmetrisch zum Ursprung.

Beispiele

Gegeben ist die Funktion f(x)=11+x2f(x)=\frac1{1+x^2}. Wir wollen untersuchen, ob ff achsensymmetrisch zur yy-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Dafür setzen wir in f(x)f(x) x-x ein:

f(x)=11+(x)2f(-x)=\frac1{1+(-x)^2}

Nun lösen wir die Klammer (x)(-x) im Nenner auf. Diese Klammer wird quadriert, also (x)2(-x)^2. Wir wissen, dass ein Minus beim Quadrieren wegfällt, weil Minus mal Minus Plus ergibt. Deshalb gilt:

11+(x)2=11+(1)2x2=11+x2\frac1{1+(-x)^2}=\frac1{1+(-1)^2\cdot x^2}=\frac1{1+x^2}

Wir vergleichen diesen Term mit der Funktion f(x)f(x). Uns fällt auf, dass das Ergebnis von f(x)f(-x) genau der Funktion f(x)f(x) entspricht. Es gilt also: f(x)=f(x)f(-x)=f(x). Die Funktion f(x)=11+x2f(x)=\frac1{1+x^2} ist daher achsensymmetrisch zur yy-Achse.

In der Abbildung ist ff lila dargestellt. Auch hier lässt sich die Achsensymmetrie zur yy-Achse erkennen.

Wir untersuchen, ob die Funktion g(x)=x1+x2g(x)=\frac x{1+x^2} achsensymmetrisch zur yy-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist:

g(x)=x1+(x)2=x1+(1)2x2=x1+x2=x1+x2=g(x)g(-x)=\frac{-x}{1+(-x)^2}=\frac{-x}{1+(-1)^2\cdot x^2}=\frac{-x}{1+x^2}=-\frac x{1+x^2}=-g(x)

Es gilt also g(x)=g(x)g(-x)=-g(x). Die Funktion gg ist also punktsymmetrisch. In der Abbildung ist gg rot dargestellt. Auch hier lässt sich die Punktsymmetrie zum Ursprung erkennen.

Wir wollen überprüfen, ob die Funktion h(x)=x2x2+4xh\left(x\right)=\frac{x-2}{x^2+4x} achsensymmetrisch zur yy-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist:

h(x)=x2(x)2+4(x)=x2x24xh\left(-x\right)=\frac{-x-2}{\left(-x\right)^2+4\cdot\left(-x\right)}=\frac{-x-2}{x^2-4x}

Dies ist weder identisch zu h(x)h\left(x\right), noch zu h(x)-h\left(x\right). hh ist also weder achsensymmetrisch zur yy-Achse, noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Das kannst du auch in der Abbildung erkennen. Hier ist hh orange dargestellt.

Hinweis: Dieses rechnerische Ergebnis bedeutet nicht, dass hh keine Symmetrien aufweist. Es gibt Funktionen, die punktsymmetrisch sind, aber nicht zum Ursprung, sondern zu einem beliebigen anderen Punkt. Auch hier würde die obige Rechnung ergeben, dass h(x)h(x);h(x)h(x)h\left(-x\right) \neq h(x); h\left(-x\right) \neq -h(x). Dieses Ergebnis bedeutet lediglich, dass hh nicht achsensymmetrisch zur yy-Achse und nicht punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Hilfreiche Regel für Polynomfunktionen

Hinweis: Natürlich kannst du bei Polynomen auch die oben vorgestellte Regel anwenden, um zu überprüfen, ob der Graph der Polynomfunktion achsensymmetrisch zur yy-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Allerdings geht es mit der folgenden Regel etwas schneller:

Für ein vollständig  ausmultipliziertes Polynom anxn+an1xn1++a1x1+a0a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots+a_1\cdot x^1+a_0 gilt:

  • alle Potenzen sind gerade (die Null zählt ebenfalls als gerade) \Rightarrow Achsensymmetrie zur y-Achse

  • alle Potenzen sind ungerade \Rightarrow Punktsymmetrie zum Ursprung

Beispiele

  • Das Polynom f(x)=4x63x2+1f(x)=4x^6-3x^2+1 ist achsensymmetrisch zur yy-Achse, da es nur die geraden Potenzen 6, 2 sowie die 0 (für die Konstante +1+1) enthält.

  • Das Polynom g(x)=2x3+xg\left(x\right)=2x^3+x ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da es nur die ungeraden Potenzen 3 und 1 enthält.

  • Das Polynom h(x)=2x4+3x3+3h\left(x\right)=2x^4+3x^3+3 ist weder achsensymmetrisch zur yy-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung, da es sowohl gerade (4), die Null sowie ungerade (3) Potenzen enthält.

Beispiel

Untersuche, ob k(x)=(x2)3k\left(x\right)=\left(x-2\right)^3 achsensymmetrisch zur yy-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Man könnte denken, dass k(x)k\left(x\right) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, weil der einzige Exponent die 33 ist und man so leicht denken kann, dass k(x)k\left(x\right) nur ungerade Exponenten hat.

Allerdings handelt es sich bei der Darstellung k(x)=(x2)3k\left(x\right)=\left(x-2\right)^3 nicht um ein vollständig ausmultipliziertes Polynom. Um den oben vorgestellten Trick anwenden zu können, musst du vorher daher jedes Polynom zuerst ausmultiplizieren:

k(x)\displaystyle k\left(x\right)==(x2)3\displaystyle \left(x-2\right)^3

Wir teilen das auf in eine Klammer zum Quadrat mal eine Klammer hoch 1

==(x2)2(x2)\displaystyle \left(x-2\right)^2\cdot\left(x-2\right)

Auf die Klammer zum Quadrat können wir nun die 2. binomische Formel anwenden

==(x24x+4)(x2)\displaystyle \left(x^2-4x+4\right)\cdot\left(x-2\right)

Nun können wir wie gewohnt ausmultiplizieren, also jedes Element mit jedem Element der anderen Klammer multiplizieren

==x32x24x2+8x+4x8\displaystyle x^3-2x^2-4x^2+8x+4x-8

Diesen langen Term können wir noch zusammenfassen

==x36x2+12x8\displaystyle x^3-6x^2+12x-8

Wir können k(x)k\left(x\right) also auch vollständig ausmultipliziert schreiben als: k(x)=x36x2+12x8k\left(x\right)=x^3-6x^2+12x-8. An dieser Darstellungsform erkennen wir, dass k(x)k\left(x\right) also sowohl gerade, als auch ungerade Exponenten besitzt. k(x)k\left(x\right) ist deshalb weder achsensymmetrisch zur yy-Achse, noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

Es ist deshalb sehr wichtig, dass du vor der Anwendung des Tricks das Polynom ausmultiplizierst. Die Formel f(x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right) bzw. f(x)=f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right) kannst du hingegen immer anwenden, auch ohne das Polynom vorher auszumulitplizieren.

An diesem Beispiel siehst du auch, dass es falsch wäre zu schreiben, kk habe gar keine Symmetrie, denn wie du an der Graphik erkennen kannst, ist k(x)k\left(x\right) punktsymmetrisch zum Punkt (2,0)\left(2{,}0\right) - nur eben nicht zum Ursprung.

Video zur Symmetrie

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Hilfreiche Regel für gebrochenrationale Funktionen

Hinweis: Natürlich kannst du bei gebrochenrationalen Funktionen auch die oben vorgestellte allgemeine Regel f(x)=f(x)f\left(-x\right)= f(x) bzw. f(x)=f(x)f(-x)=-f(x) anwenden, um zu überprüfen, ob der Graph der Polynomfunktion achsensymmetrisch zur yy-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Allerdings geht es mit der folgenden Regel etwas schneller:

Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion ist achsensymmetrisch zur yy-Achse , wenn die Zähler- und die Nennerfunktion die gleiche Symmetrie haben.

f(x)=ASAS    ASf\left(x\right)=\frac{\mathrm{AS}}{\mathrm{AS}}\;\Rightarrow\;\mathrm{AS}

f(x)=PSPS    ASf\left(x\right)=\frac{\mathrm{PS}}{\mathrm{PS}}\;\Rightarrow\;\mathrm{AS}

Das bedeutet, wenn der Zähler und der Nenner achsensymmetrisch zur yy-Achse (AS) sind, dann ist die gesamte gebrochenrationale Funktion achsensymmetrisch zur yy-Achse. Genauso ist die gebrochenrationale Funktion achsensymmetrisch zur yy-Achse, wenn sowohl die Zählerfunktion, als auch die Nennerfunktion punktsymmetrisch zum Ursprung (PS) sind.

Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn die Zähler- und Nennerfunktion unterschiedliche Symmetrien haben.

f(x)=ASPS    PSf\left(x\right)=\frac{\mathrm{AS}}{\mathrm{PS}}\;\Rightarrow\;\mathrm{PS}

f(x)=PSAS    PSf\left(x\right)=\frac{\mathrm{PS}}{\mathrm{AS}}\;\Rightarrow\;\mathrm{PS}

Das bedeutet, wenn der Zähler achsensymmetrisch zur yy-Achse (AS) und der Nenner punktsymmetrisch zum Ursprung ist (PS), dann ist die gesamte gebrochenrationale Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Genauso ist die gebrochenrationale Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn die Zählerfunktion punktsymmetrisch zum Ursprung und die Nennerfunktion achsensymmetrisch zur yy-Achse ist.

Beispiele

Die Funktion f(x)=1x21f\left(x\right)=\frac1{x^2-1} ist achsensymmetrisch zur yy-Achse, weil die Zählerfunktion z(x)=1z(x)=1 achsensymmetrisch zur yy-Achse ist und die Nennerfunktion n(x)=x21n(x)=x^2-1 wegen n(x)=(x)21=x21=n(x)n(-x)=(-x)^2-1=x^2-1=n(x) achsensymmetrisch zur yy-Achse ist.

Die Funktion g(x)=xx21g(x)=\frac{x}{x^2-1} ist punktsymmetrisch zum Ursprung, weil die Zählerfunktion z(x)=xz(x)=x wegen z(x)=x=z(x)z(-x)=-x=-z(x) punktsymmetrisch zum Ursprung ist und die Nennerfunktion n(x)n(x) achsensymmetrisch zur yy-Achse ist.

Gegeben ist die Funktion h(x)=x2xx3xh(x)=\frac{x^2-x}{x^3-x}. Die Nennerfunktion n(x)=x3xn(x)=x^3-x ist punktsymmetrisch zum Ursprung, weil diese Polynomfunktion nur ungerade Exponenten enthält. Die Polynom-Zählerfunktion z(x)=x2xz(x)=x^2-x ist weder punktsymmetrisch zum Ursprung, noch achsensymmetrisch zur yy-Achse, weil sie sowohl gerade als auch ungerade Exponenten enthält. Deshalb ist auch die gesamte Funktion h(x)h(x) weder achsensymmetrisch zur yy-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

Symmetrie von Ableitungen und Stammfunktionen

Symmetrie von Ableitungen

  • Ist der Graph einer Funktion f(x)f\left(x\right) punktsymmetrisch zum Ursprung, dann ist der Graph der Ableitungsfunktion f(x)f'\left(x\right) achsensymmetrisch zur yy-Achse.

  • Ist der Graph einer Funktion f(x)f\left(x\right) achsensymmetrisch zur yy-Achse, dann ist der Graph der Ableitungsfunktion f(x)f'\left(x\right) punktsymmetrisch zum Ursprung.

Allgemein gilt:

  • Ist der Graph einer Funktion f(x)f\left(x\right) punktsymmetrisch zu einem Punkt (a,b)\left(a,b\right), dann ist der Graph der Ableitungsfunktion f(x)f'\left(x\right) achsensymmetrisch zur Achse x=ax=a.

  • Ist der Graph einer Funktion f(x)f\left(x\right) achsensymmetrisch zur Achse x=ax=a, dann ist der Graph der Ableitungsfunktion f(x)f'\left(x\right) punktsymmetrisch zum Punkt (a,0)\left(a,0\right).

Beispiele:

Der braune Graph der Funktion q(x)q\left(x\right) ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Der grüne Graph der Ableitungsfunktion q(x)q'\left(x\right) ist eine Parabel, die achsensymmetrisch zur yy-Achse ist.

Der rote Graph der Funktion f(x)f\left(x\right) ist achsensymmetrisch zur yy-Achse. Leitet man ff ab, so erhält man f(x),f'\left(x\right), dessen Graph du hier in dunkelblau sehen kannst. Der Graph von der Ableitungsfunktion f(x)f'\left(x\right) ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Der Graph der Funktion k(x) k\left(x\right)\ ist hier in orange zu sehen. Er ist punktsymmetrisch zum markierten Punkt (2, 3)\left(-2,\ -3\right). Leitet man k(x)k\left(x\right) ab, so erhält man die Ableitungsfunktion k(x)k'\left(x\right). Ihr Graph ist in lila dargestellt. Der Graph von k(x)k'\left(x\right) ist eine Parabel, die achsensymmetrisch zur Achse x=2x=-2 ist. Die xx-Koordinate des Symmetriepunktes von kk entspricht also genau der Symmetrieachse der Ableitungsfunktion kk'.

Der braune Graph der Funktion h(x)h\left(x\right) ist achsensymmetrisch zur Achse x=3x=-3. Indem du h(x)h\left(x\right) ableitest, erhältst du h(x)h'\left(x\right). Den Graph von hh' kannst du hier in dunkelgrün sehen. Du siehst, dass hh' punktsymmetrisch zum Punkt (3,0)\left(-3{,}0\right) ist. Die xx-Koordinate dieses Punktes liegt genau auf der Symmetrieachse von hh. Die yy-Koordinate des Symmetriepunktes ist 0.0.

Symmetrie von Stammfunktionen

  • Ist der Graph einer Funktion f(x)f\left(x\right) punktsymmetrisch zum Ursprung, dann ist der Graph der Stammfunktion F(x)F\left(x\right) achsensymmetrisch zur yy-Achse.

  • Ist der Graph einer Funktion f(x)f\left(x\right) achsensymmetrisch zur yy-Achse, dann ist der Graph der Stammfunktion F(x)F\left(x\right) punktsymmetrisch zu irgendeinem Punkt auf der yy-Achse (also nicht zwingend zum Ursprung).

Allgemein gilt:

  • Aus der Punktsymmetrie des Graphen von ff zu einem allgemeinen Punkt lassen sich keine allgemeinen Symmetrieregeln für den Graph von FF ableiten.

  • Ist der Graph von ff achsensymmetrisch zu einer Achse x=ax=a, dann ist der Graph von FF punktsymmetrisch zu einem Punkt, der auf dieser Symmetrieachse liegt, d.h. zum Punkt (a, d)\left(a,\ d\right). Dabei ist dd eine "wählbare" yy-Koordinate, die von der Verschiebung der Stammfunktion in yy-Richtung abhängt.

Beispiele:

Die Parabel g(x)g\left(x\right) ist achsensymmetrisch zur yy-Achse. Eine zugehörige Stammfunktion G(x)G\left(x\right) ist hier in dunkelblau dargestellt. Diese ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Allerdings dürfen wir GG aufgrund der Integrationskonstante beliebig in yy-Richtung nach oben und unten verschieben. G(x)G\left(x\right) könnte daher also beispielsweise bei Verschiebung um 22 Einheiten nach oben auch punktsymmetrisch zum Punkt (0,2)\left(0{,}2\right) sein. Aber egal, um wie viel wir GG nach oben und unten verschieben: die xx-Koordinate des Symmetriepunktes liegt stets auf der yy-Achse.

Die in schwarz dargestellte Funktion k(x)k\left(x\right) ist punktsymmetrisch zum Ursprung. K(x)K\left(x\right) ist eine mögliche Stammfunktion von kk. Diese ist achsensymmetrisch zur yy-Achse.

Die hier blau dargestellte Funktion ff ist punktsymmetrisch zum Punkt (3,2)\left(3{,}2\right). Eine mögliche Stammfunktion FF kannst du in orange sehen. FF ist weder achsensymmetrisch, noch punktsymmetrisch zu einem beliebigen Punkt - unabhängig davon, wie man die Stammfunktion nach oben und unten in yy-Richtung verschiebt.

Die lila Parabel p(x)p\left(x\right) ist achsensymmetrisch zur Achse x=3x=3. Eine zugehörige Stammfunktion P(x)P\left(x\right) (hier in grün) ist punktsymmetrisch zum Punkt (3,3)\left(3{,}3\right). Du darfst P(x)P\left(x\right) aufgrund der Integrationskonstante beliebig in yy-Richtung nach oben und unten verschieben. Dann ändert sich die yy-Koordinate des Symmetriepunktes, aber die xx-Koordinate wird immer bei 33 bleiben - also auf der Symmetrieachse der Parabel liegen.

Allgemeine Symmetrie

Der Graph einer Funktion ff kann im Allgemeinen nicht nur achsensymmetrisch zur yy-Achse, sondern auch zu einer beliebig anderen senkrechten Achse achsensymmetrisch sein.

Beispielsweise ist die Funktion h(x)h\left(x\right) achsensymmetrisch zur Achse x=3x=-3.

Analog kann der Graph einer Funktion ff auch zu einem beliebigen anderen Punkt - als nur zum Ursprung - punktsymmetrisch sein.

Zum Beispiel ist die Funktion p(x)p\left(x\right) punktsymmetrisch zum Punkt (3,2)\left(-3{,}2\right).

Überprüfung, ob ff zu einer bekannten allgemeinen Achse achsensymmetrisch ist

Ist der Graph einer Funktion ff achsensymmetrisch zur Achse x=cx=c, dann gilt:

Die y-Achse ist der Spezialfall c=0c=0.

Wenn du also überprüfen sollst, ob eine Funktion zu einer gegebenen Achse achsensymmetrisch ist, dann kannst du folgendes tun:

  1. Du setzt (cx)\left(c-x\right) in den Funktionsterm für xx ein und rechnest aus.

  2. Dann setzt du (c+x)\left(c+x\right) in den Funktionsterm für xx ein und rechnest aus.

  3. Du vergleichst deine Ergebnisse aus 1. und 2.. Sind diese gleich, dann ist ff achsensymmetrisch zur Achse x=cx=c. Kommt bei 1. und 2. etwas unterschiedliches heraus, dann ist x=cx=c keine Symmetrieachse von ff.

Beispiel

Überprüfe, ob die Funktion f(x)=x22x+1f\left(x\right)=x^2-2x+1 achsensymmetrisch zur Achse x=1x=1 ist.

Als erstes berechnen wir f(1x)f\left(1-x\right).

Dafür setzen wir (1x)\left(1-x\right) in den Funktionsterm ein

f(1x)\displaystyle f\left(1-x\right)==(1x)22(1x)+1\displaystyle \left(1-x\right)^2-2\left(1-x\right)+1

Wir wenden die binomische Formel an und multiplizieren aus

==12x+x22+2x+1\displaystyle 1-2x+x^2-2+2x+1

Nun fassen wir zusammen

==x22x+2x+1+12\displaystyle x^2-2x+2x+1+1-2
==x2\displaystyle x^2

Also ist f(1x)=x2f\left(1-x\right)=x^2.

Als nächstes berechnen wir f(1+x)f\left(1+x\right).

Dafür setzen wir (1+x)\left(1+x\right) in den Funktionsterm ein

f(1+x)\displaystyle f\left(1+x\right)==(1+x)22(1+x)+1\displaystyle \left(1+x\right)^2-2\left(1+x\right)+1

Wir wenden die binomische Formel an und multiplizieren aus

==1+2x+x222x+1\displaystyle 1+2x+x^2-2-2x+1

Nun fassen wir zusammen

==x2\displaystyle x^2

Also ist f(1+x)=x2f\left(1+x\right)=x^2.

Sowohl f(1x)=x2f\left(1-x\right)=x^2, als auch f(1+x)=x2f\left(1+x\right)=x^2. Weil bei beiden dasselbe herauskommt, ist ff tatsächlich achsensymmetrisch zur Achse x=1x=1.

Überprüfung, ob ff zu einem bekannten allgemeinen Punkt punktsymmetrisch ist

Ist der Graph der Funktion ff punktsymmetrisch zum Punkt P(a, b)P\left(a,\ b\right), gilt:

Der Ursprung ist der Spezialfall P(0, 0)P(0,\ 0).

Wenn du also überprüfen sollst, ob eine Funktion zu einem gegebenen Punkt punktsymmetrisch ist, dann kannst du folgendes tun:

  1. Berechne f(ax)bf\left(a-x\right)-b, indem du in den Funktionsterm (ax)\left(a-x\right) für xx einsetzt und anschließend bb, also die yy-Koordinate des Punktes abziehst.

  2. Berechne f(a+x)+b-f\left(a+x\right)+b, indem du in den Funktionsterm (a+x)\left(a+x\right) für xx einsetzt, den Funktionsterm mit (1)\left(-1\right) multiplizierst und anschließend bb, also die yy-Koordinate des Punktes addierst.

  3. Vergleiche die Ergebnisse aus 1. und 2.. Sind diese gleich, dann ist die Funktion tatsächlich punktsymmetrisch zu PP. Sind die Ergebnisse unterschiedlich, ist ff nicht punktsymmetrisch zu PP.

Beispiel

Prüfe, ob die Funktion f(x)=(x2)31f\left(x\right)=\left(x-2\right)^3-1 punktsymmetrisch zum Punkt P(2, 1)P(2,\ -1) ist.

Als erstes berechnen wir f(ax)b=f(2x)+1f\left(a-x\right)-b=f\left(2-x\right)+1

Dafür setzen wir im Funktionsterm (2x)\left(2-x\right) für xx ein und addieren am Ende noch 11

f(2x)+1\displaystyle f\left(2-x\right)+1==(2x2)31+1\displaystyle \left(2-x-2\right)^3-1+1

Vereinfachen

==(x)3\displaystyle \left(-x\right)^3
==x3\displaystyle -x^3

Also ist f(2x)+1=x3f\left(2-x\right)+1=-x^3.

Als nächstes berechnen wir f(a+x)+b=f(2+x)1-f\left(a+x\right)+b=-f\left(2+x\right)-1

Dafür setzen wir (2+x)\left(2+x\right) für xx ein, multiplizieren den Funktionsterm mit (1)\left(-1\right) und ziehen ab Schluss noch die 11 ab.

f(2+x)1\displaystyle -f\left(2+x\right)-1==((2+x2)31)1\displaystyle -\left(\left(2+x-2\right)^3-1\right)-1

Vereinfachen

==(x31)1\displaystyle -\left(x^3-1\right)-1

Jetzt lösen wir die Minusklammer auf

==x3+11\displaystyle -x^3+1-1
==x3\displaystyle -x^3

Also ist f(2+x)1=x3-f\left(2+x\right)-1=-x^3, genauso wie f(2x)+1=x3f\left(2-x\right)+1=-x^3. Deswegen ist ff punktsymmetrisch zu (2, 1)\left(2,\ -1\right).

Allgemeine Symmetrieachse eines Funktionsgraphen berechnen

Berechnung für Polynomfunktionen

Nur Polynomfunktion geraden Grades nn kommen für Achsensymmetrie in Frage.

Um die Symmetrieachse x=ax=a des Graphen von ff zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:

  1. Berechne die (n1)\left(n-1\right)-te Ableitung von ff

  2. Berechne die Nullstelle der (n1)\left(n-1\right)-ten Ableitung. Die xx-Werte der Nullstelle aa entspricht potentiell der Symmetrieachse x=ax=a von ff

  3. Proberechnung: Überprüfe mit f(ax)=f(a+x)f\left(a-x\right)=f\left(a+x\right), ob ff auch wirklich achsensymmetrisch zu der errechneten Achse ist.

Hinweis: Die Proberechnung ist in diesem Fall unerlässlich, weil wir zu Beginn der Rechnung gar nicht wissen, ob der Graph von ff überhaupt achsensymmetrisch ist.

Beispiel

Wir wollen die Symmetrieachse der Funktion f(x)=x4+12x3+53x2+102x+70f\left(x\right)=x^4+12x^3+53x^2+102x+70 berechnen.

Die Funktion ist 44. Grades, deshalb berechnen wir nun die (41)\left(4-1\right)-te Ableitung, also die 33. Ableitung:

f(x)=4x3+36x2+106x+102f'\left(x\right)=4x^3+36x^2+106x+102

f(x)=12x2+72x+106f''\left(x\right)=12x^2+72x+106

f(x)=24x+72f'''\left(x\right)=24x+72

Als nächstes berechnen wir die Nullstelle der dritten Ableitung:

24x+72\displaystyle 24x+72==0\displaystyle 072\displaystyle -72
24x\displaystyle 24x==72\displaystyle -72:24\displaystyle :24
x\displaystyle x==3\displaystyle -3

Eine mögliche Symmetrieachse von ff ist also x=3x=-3.

Durch eine Proberechnung mit f(3x)=f(3+x)f\left(3-x\right)=f\left(3+x\right) können wir feststellen, dass es sich hierbei wirklich um die Symmetrieachse von ff handelt.

Berechnung für gebrochenrationale Funktionen

Allgemeinen Symmetriepunkt eines Funktionsgraphen berechnen

Berechnung für Polynomfunktionen

Nur Polynomfunktionen ungeraden Grades nn kommen für die Punktsymmetrie in Frage.

Um den Symmetriepunkt (a,b)\left(a,b\right) des Graphen von ff zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:

  1. Berechne die (n1)\left(n-1\right)-te Ableitung von ff

  2. Berechne die Nullstelle der (n1)\left(n-1\right)-ten Ableitung. Die Nullstelle aa ist die xx-Koordinate des potentiellen Symmetriepunktes

  3. Berechne b=f(a)b=f\left(a\right)

  4. Proberechnung: Überprüfe mit f(ax)b=f(a+x)+bf\left(a-x\right)-b=-f\left(a+x\right)+b, ob es sich bei (a,b)\left(a,b\right) wirklich um den Symmetriepunkt von ff handelt.

Hinweis: Die Proberechnung ist in diesem Fall unerlässlich, weil wir zu Beginn der Rechnung gar nicht wissen, ob der Graph von ff überhaupt punktsymmetrisch ist.

Beispiel:

Wir wollen berechnen, zu welchem Punkt der Graph der Funktion h(x)=13x33x2+7xh\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-3x^2+7x punktsymmetrisch ist.

h(x)h\left(x\right) ist eine Polynomfunktion dritten Grades. Deshalb berechnen wir nun die (31)\left(3-1\right)-te Ableitung, also die zweite Ableitung:

h(x)=x26x+7h'\left(x\right)=x^2-6x+7

h(x)=2x6h''\left(x\right)=2x-6

Nun berechnen wir die Nullstelle der zweiten Ableitung:

2x6\displaystyle 2x-6==0\displaystyle 0+6\displaystyle +6
2x\displaystyle 2x==6\displaystyle 6:2\displaystyle :2
x\displaystyle x==3\displaystyle 3

Die xx-Koordinate des potentiellen Symmetriepunktes ist also a=3a=3. Um die yy-Koordinate des Punktes zu erhalten, setzen wir die xx-Koordinate in hh ein:

h(3)\displaystyle h\left(3\right)==1333332+73\displaystyle \frac{1}{3}\cdot3^3-3\cdot3^2+7\cdot3
==927+21\displaystyle 9-27+21
==3\displaystyle 3

Der mögliche Symmetriepunkt von hh ist also (3,3)\left(3{,}3\right).

Durch eine Proberechnung mit h(3x)3=h(3+x)+3h\left(3-x\right)-3=-h\left(3+x\right)+3 können wir feststellen, dass es sich hierbei wirklich um den Symmetriepunkt von hh handelt.

Berechnung für gebrochenrationale Funktionen

Übungsaufgaben

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Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Symmetrie von Graphen


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