Symmetrie von Graphen

Graphen können achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch sein.

Bei besonderen Achsen bzw. Punkten gibt es einfache Formeln um Symmetrie nachzuweisen:

• Bei einer Achsensymmetrie zur y-Achse muss gelten: $\sf f(-x)=f(x)$

• Bei Punktsymmetrie zum Ursprung muss gelten: $\sf f(-x)=-f(x)$

Überprüfung

Durch Berechnung

Setze für $\sf x$ in die Funktion $\sf -x$ ein und prüfe ob $\sf f(-x)=f(x)$ oder $\sf f(-x)=-f(x)$ gilt.

Sonderfall: Polynome

Ist ein vorliegendes Polynom vollständig  ausmultipliziert, d.h. hat es die Form  $\sf a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+…+a_1\cdot x^1+a_0$, so lässt sich aus obigen Regeln folgende Feststellung herleiten:

• alle Potenzen gerade $\sf \Rightarrow$ Achsensymmetrie zur y-Achse

• alle Potenzen ungerade $\sf \Rightarrow$ Punktsymmetrie zum Ursprung

Video zur Symmetrie

Sonderfall: Gebrochenrationale Funktionen

Die Symmetrie bei gebrochenrationalen Funktionen lässt sich über eine getrennte Symmetrie-Untersuchung von Nenner und Zähler bestimmen.

Symmetrie zur allgemeinen Achse

Ein Graph kann auch zu einer allgemeinen Achse symmetrisch sein.

Symmetrie zu einer allgemeinen Achse kann man dann nachweisen, wenn man die Gleichung der Achse gegeben hat oder sie aus einem Graphen ablesen kann.

Wenn die Gleichung der Achse

lautet, dann gilt folgende Beziehung:

Die y-Achse ist der Spezialfall $\sf c=0$.

Symmetrie zum allgemeinen Punkt

Ein Graph kann auch zu einem allgemeinen Punkt symmetrisch sein. Um die Symmetrie nachzuweisen, muss man den Punkt zuerst kennen oder ihn aus dem Graphen ablesen können.

Hat der Punkt die Koordinaten

$\sf P\left(x_0|y_0\right)$.

Dann gilt folgende Beziehung: $\sf f\left(x_0-x\right)-y_0=-f\left(x_0+x\right)+{y}_0$

Der Ursprung ist der Spezialfall $\sf P(0|0)$.