Symmetrie von Graphen

Überprüfung, ob $f$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist

Mit folgenden Schritten kannst du herausfinden, ob eine gegebene Funktion $f$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist:

1. Setze für $x$ in die Funktion $-x$ ein: $f\left(-x\right)$

2. Forme $f\left(-x\right)$ um, indem du alle Klammern, in denen $-x$ steht, umformst

3. Vergleiche diese Funktion $f\left(-x\right)$ mit der ursprünglichen Funktion $f\left(x\right)$:

$\rightarrow$ Entspricht dein umgeformter Term $f(-x)$ genau der ursprünglichen Funktion $f$, also $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$, dann ist $f$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

$\rightarrow$ Entspricht dein umgeformter Term $f(-x)$ genau der ursprünglichen Funktion $f$ multipliziert mit $(-1)$, also $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$, dann ist $f$ punktsymmetrisch zum Ursprung.

Beispiele

Gegeben ist die Funktion $f(x)=\frac1{1+x^2}$. Wir wollen untersuchen, ob $f$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Dafür setzen wir in $f(x)$ $-x$ ein:

$f(-x)=\frac1{1+(-x)^2}$

Nun lösen wir die Klammer $(-x)$ im Nenner auf. Diese Klammer wird quadriert, also $(-x)^2$. Wir wissen, dass ein Minus beim Quadrieren wegfällt, weil Minus mal Minus Plus ergibt. Deshalb gilt:

$\frac1{1+(-x)^2}=\frac1{1+(-1)^2\cdot x^2}=\frac1{1+x^2}$

Wir vergleichen diesen Term mit der Funktion $f(x)$. Uns fällt auf, dass das Ergebnis von $f(-x)$ genau der Funktion $f(x)$ entspricht. Es gilt also: $f(-x)=f(x)$. Die Funktion $f(x)=\frac1{1+x^2}$ ist daher achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

In der Abbildung ist $f$ lila dargestellt. Auch hier lässt sich die Achsensymmetrie zur $y$-Achse erkennen.

Wir untersuchen, ob die Funktion $g(x)=\frac x{1+x^2}$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist:

$g(-x)=\frac{-x}{1+(-x)^2}=\frac{-x}{1+(-1)^2\cdot x^2}=\frac{-x}{1+x^2}=-\frac x{1+x^2}=-g(x)$

Es gilt also $g(-x)=-g(x)$. Die Funktion $g$ ist also punktsymmetrisch. In der Abbildung ist $g$ rot dargestellt. Auch hier lässt sich die Punktsymmetrie zum Ursprung erkennen.

Wir wollen überprüfen, ob die Funktion $h\left(x\right)=\frac{x-2}{x^2+4x}$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist:

$h\left(-x\right)=\frac{-x-2}{\left(-x\right)^2+4\cdot\left(-x\right)}=\frac{-x-2}{x^2-4x}$

Dies ist weder identisch zu $h\left(x\right)$, noch zu $-h\left(x\right)$. $h$ ist also weder achsensymmetrisch zur $y$-Achse, noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Das kannst du auch in der Abbildung erkennen. Hier ist $h$ orange dargestellt.

Hinweis: Dieses rechnerische Ergebnis bedeutet nicht, dass $h$ keine Symmetrien aufweist. Es gibt Funktionen, die punktsymmetrisch sind, aber nicht zum Ursprung, sondern zu einem beliebigen anderen Punkt. Auch hier würde die obige Rechnung ergeben, dass $h\left(-x\right) \neq h(x); h\left(-x\right) \neq -h(x)$. Dieses Ergebnis bedeutet lediglich, dass $h$ nicht achsensymmetrisch zur $y$-Achse und nicht punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Hilfreiche Regel für Polynomfunktionen

Hinweis: Natürlich kannst du bei Polynomen auch die oben vorgestellte Regel anwenden, um zu überprüfen, ob der Graph der Polynomfunktion achsensymmetrisch zur $y$-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Allerdings geht es mit der folgenden Regel etwas schneller:

Beispiele

• Das Polynom $f(x)=4x^6-3x^2+1$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, da es nur die geraden Potenzen 6, 2 sowie die 0 (für die Konstante $+1$) enthält.

• Das Polynom $g\left(x\right)=2x^3+x$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da es nur die ungeraden Potenzen 3 und 1 enthält.

• Das Polynom $h\left(x\right)=2x^4+3x^3+3$ ist weder achsensymmetrisch zur $y$-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung, da es sowohl gerade (4), die Null sowie ungerade (3) Potenzen enthält.

Beispiel

Untersuche, ob $k\left(x\right)=\left(x-2\right)^3$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Man könnte denken, dass $k\left(x\right)$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist, weil der einzige Exponent die $3$ ist und man so leicht denken kann, dass $k\left(x\right)$ nur ungerade Exponenten hat.

Allerdings handelt es sich bei der Darstellung $k\left(x\right)=\left(x-2\right)^3$ nicht um ein vollständig ausmultipliziertes Polynom. Um den oben vorgestellten Trick anwenden zu können, musst du vorher daher jedes Polynom zuerst ausmultiplizieren:

Wir können $k\left(x\right)$ also auch vollständig ausmultipliziert schreiben als: $k\left(x\right)=x^3-6x^2+12x-8$. An dieser Darstellungsform erkennen wir, dass $k\left(x\right)$ also sowohl gerade, als auch ungerade Exponenten besitzt. $k\left(x\right)$ ist deshalb weder achsensymmetrisch zur $y$-Achse, noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

Es ist deshalb sehr wichtig, dass du vor der Anwendung des Tricks das Polynom ausmultiplizierst. Die Formel $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$ bzw. $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$ kannst du hingegen immer anwenden, auch ohne das Polynom vorher auszumulitplizieren.

An diesem Beispiel siehst du auch, dass es falsch wäre zu schreiben, $k$ habe gar keine Symmetrie, denn wie du an der Graphik erkennen kannst, ist $k\left(x\right)$ punktsymmetrisch zum Punkt $\left(2{,}0\right)$ - nur eben nicht zum Ursprung.

Video zur Symmetrie

Hilfreiche Regel für gebrochenrationale Funktionen

Hinweis: Natürlich kannst du bei gebrochenrationalen Funktionen auch die oben vorgestellte allgemeine Regel $f\left(-x\right)= f(x)$ bzw. $f(-x)=-f(x)$ anwenden, um zu überprüfen, ob der Graph der Polynomfunktion achsensymmetrisch zur $y$-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Allerdings geht es mit der folgenden Regel etwas schneller:

Das bedeutet, wenn der Zähler und der Nenner achsensymmetrisch zur $y$-Achse (AS) sind, dann ist die gesamte gebrochenrationale Funktion achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Genauso ist die gebrochenrationale Funktion achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wenn sowohl die Zählerfunktion, als auch die Nennerfunktion punktsymmetrisch zum Ursprung (PS) sind.

Das bedeutet, wenn der Zähler achsensymmetrisch zur $y$-Achse (AS) und der Nenner punktsymmetrisch zum Ursprung ist (PS), dann ist die gesamte gebrochenrationale Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Genauso ist die gebrochenrationale Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn die Zählerfunktion punktsymmetrisch zum Ursprung und die Nennerfunktion achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.

Beispiele

Die Funktion $f\left(x\right)=\frac1{x^2-1}$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, weil die Zählerfunktion $z(x)=1$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist und die Nennerfunktion $n(x)=x^2-1$ wegen $n(-x)=(-x)^2-1=x^2-1=n(x)$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.

Die Funktion $g(x)=\frac{x}{x^2-1}$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung, weil die Zählerfunktion $z(x)=x$ wegen $z(-x)=-x=-z(x)$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist und die Nennerfunktion $n(x)$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.

Gegeben ist die Funktion $h(x)=\frac{x^2-x}{x^3-x}$. Die Nennerfunktion $n(x)=x^3-x$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung, weil diese Polynomfunktion nur ungerade Exponenten enthält. Die Polynom-Zählerfunktion $z(x)=x^2-x$ ist weder punktsymmetrisch zum Ursprung, noch achsensymmetrisch zur $y$-Achse, weil sie sowohl gerade als auch ungerade Exponenten enthält. Deshalb ist auch die gesamte Funktion $h(x)$ weder achsensymmetrisch zur $y$-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

Symmetrie von Ableitungen und Stammfunktionen

Symmetrie von Ableitungen

Allgemein gilt:

• Ist der Graph einer Funktion $f\left(x\right)$ punktsymmetrisch zu einem Punkt $\left(a,b\right)$, dann ist der Graph der Ableitungsfunktion $f'\left(x\right)$ achsensymmetrisch zur Achse $x=a$.

• Ist der Graph einer Funktion $f\left(x\right)$ achsensymmetrisch zur Achse $x=a$, dann ist der Graph der Ableitungsfunktion $f'\left(x\right)$ punktsymmetrisch zum Punkt $\left(a,0\right)$.

Beispiele:

Der braune Graph der Funktion $q\left(x\right)$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Der grüne Graph der Ableitungsfunktion $q'\left(x\right)$ ist eine Parabel, die achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.

Der rote Graph der Funktion $f\left(x\right)$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Leitet man $f$ ab, so erhält man $f'\left(x\right),$ dessen Graph du hier in dunkelblau sehen kannst. Der Graph von der Ableitungsfunktion $f'\left(x\right)$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Der Graph der Funktion $k\left(x\right)\$ist hier in orange zu sehen. Er ist punktsymmetrisch zum markierten Punkt $\left(-2,\ -3\right)$. Leitet man $k\left(x\right)$ ab, so erhält man die Ableitungsfunktion $k'\left(x\right)$. Ihr Graph ist in lila dargestellt. Der Graph von $k'\left(x\right)$ ist eine Parabel, die achsensymmetrisch zur Achse $x=-2$ ist. Die $x$-Koordinate des Symmetriepunktes von $k$ entspricht also genau der Symmetrieachse der Ableitungsfunktion $k'$.

Der braune Graph der Funktion $h\left(x\right)$ ist achsensymmetrisch zur Achse $x=-3$. Indem du $h\left(x\right)$ ableitest, erhältst du $h'\left(x\right)$. Den Graph von $h'$ kannst du hier in dunkelgrün sehen. Du siehst, dass $h'$ punktsymmetrisch zum Punkt $\left(-3{,}0\right)$ ist. Die $x$-Koordinate dieses Punktes liegt genau auf der Symmetrieachse von $h$. Die $y$-Koordinate des Symmetriepunktes ist $0.$

Symmetrie von Stammfunktionen

Allgemein gilt:

• Aus der Punktsymmetrie des Graphen von $f$ zu einem allgemeinen Punkt lassen sich keine allgemeinen Symmetrieregeln für den Graph von $F$ ableiten.

• Ist der Graph von $f$ achsensymmetrisch zu einer Achse $x=a$, dann ist der Graph von $F$ punktsymmetrisch zu einem Punkt, der auf dieser Symmetrieachse liegt, d.h. zum Punkt $\left(a,\ d\right)$. Dabei ist $d$ eine "wählbare" $y$-Koordinate, die von der Verschiebung der Stammfunktion in $y$-Richtung abhängt.

Beispiele:

Die Parabel $g\left(x\right)$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Eine zugehörige Stammfunktion $G\left(x\right)$ ist hier in dunkelblau dargestellt. Diese ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Allerdings dürfen wir $G$ aufgrund der Integrationskonstante beliebig in $y$-Richtung nach oben und unten verschieben. $G\left(x\right)$ könnte daher also beispielsweise bei Verschiebung um $2$ Einheiten nach oben auch punktsymmetrisch zum Punkt $\left(0{,}2\right)$ sein. Aber egal, um wie viel wir $G$ nach oben und unten verschieben: die $x$-Koordinate des Symmetriepunktes liegt stets auf der $y$-Achse.

Die in schwarz dargestellte Funktion $k\left(x\right)$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung. $K\left(x\right)$ ist eine mögliche Stammfunktion von $k$. Diese ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

Die hier blau dargestellte Funktion $f$ ist punktsymmetrisch zum Punkt $\left(3{,}2\right)$. Eine mögliche Stammfunktion $F$ kannst du in orange sehen. $F$ ist weder achsensymmetrisch, noch punktsymmetrisch zu einem beliebigen Punkt - unabhängig davon, wie man die Stammfunktion nach oben und unten in $y$-Richtung verschiebt.

Die lila Parabel $p\left(x\right)$ ist achsensymmetrisch zur Achse $x=3$. Eine zugehörige Stammfunktion $P\left(x\right)$ (hier in grün) ist punktsymmetrisch zum Punkt $\left(3{,}3\right)$. Du darfst $P\left(x\right)$ aufgrund der Integrationskonstante beliebig in $y$-Richtung nach oben und unten verschieben. Dann ändert sich die $y$-Koordinate des Symmetriepunktes, aber die $x$-Koordinate wird immer bei $3$ bleiben - also auf der Symmetrieachse der Parabel liegen.

Allgemeine Symmetrie

Der Graph einer Funktion $f$ kann im Allgemeinen nicht nur achsensymmetrisch zur $y$-Achse, sondern auch zu einer beliebig anderen senkrechten Achse achsensymmetrisch sein.

Beispielsweise ist die Funktion $h\left(x\right)$ achsensymmetrisch zur Achse $x=-3$.

Analog kann der Graph einer Funktion $f$ auch zu einem beliebigen anderen Punkt - als nur zum Ursprung - punktsymmetrisch sein.

Zum Beispiel ist die Funktion $p\left(x\right)$ punktsymmetrisch zum Punkt $\left(-3{,}2\right)$.

Überprüfung, ob $f$ zu einer bekannten allgemeinen Achse achsensymmetrisch ist

Die y-Achse ist der Spezialfall $c=0$.

Wenn du also überprüfen sollst, ob eine Funktion zu einer gegebenen Achse achsensymmetrisch ist, dann kannst du folgendes tun:

1. Du setzt $\left(c-x\right)$ in den Funktionsterm für $x$ ein und rechnest aus.

2. Dann setzt du $\left(c+x\right)$ in den Funktionsterm für $x$ ein und rechnest aus.

3. Du vergleichst deine Ergebnisse aus 1. und 2.. Sind diese gleich, dann ist $f$ achsensymmetrisch zur Achse $x=c$. Kommt bei 1. und 2. etwas unterschiedliches heraus, dann ist $x=c$ keine Symmetrieachse von $f$.

Beispiel

Überprüfe, ob die Funktion $f\left(x\right)=x^2-2x+1$ achsensymmetrisch zur Achse $x=1$ ist.

Als erstes berechnen wir $f\left(1-x\right)$.

Also ist $f\left(1-x\right)=x^2$.

Als nächstes berechnen wir $f\left(1+x\right)$.

Also ist $f\left(1+x\right)=x^2$.

Sowohl $f\left(1-x\right)=x^2$, als auch $f\left(1+x\right)=x^2$. Weil bei beiden dasselbe herauskommt, ist $f$ tatsächlich achsensymmetrisch zur Achse $x=1$.

Überprüfung, ob $f$ zu einem bekannten allgemeinen Punkt punktsymmetrisch ist

Der Ursprung ist der Spezialfall $P(0,\ 0)$.

Wenn du also überprüfen sollst, ob eine Funktion zu einem gegebenen Punkt punktsymmetrisch ist, dann kannst du folgendes tun:

1. Berechne $f\left(a-x\right)-b$, indem du in den Funktionsterm $\left(a-x\right)$ für $x$ einsetzt und anschließend $b$, also die $y$-Koordinate des Punktes abziehst.

2. Berechne $-f\left(a+x\right)+b$, indem du in den Funktionsterm $\left(a+x\right)$ für $x$ einsetzt, den Funktionsterm mit $\left(-1\right)$ multiplizierst und anschließend $b$, also die $y$-Koordinate des Punktes addierst.

3. Vergleiche die Ergebnisse aus 1. und 2.. Sind diese gleich, dann ist die Funktion tatsächlich punktsymmetrisch zu $P$. Sind die Ergebnisse unterschiedlich, ist $f$ nicht punktsymmetrisch zu $P$.

Beispiel

Prüfe, ob die Funktion $f\left(x\right)=\left(x-2\right)^3-1$ punktsymmetrisch zum Punkt $P(2,\ -1)$ ist.

Als erstes berechnen wir $f\left(a-x\right)-b=f\left(2-x\right)+1$

Also ist $f\left(2-x\right)+1=-x^3$.

Als nächstes berechnen wir $-f\left(a+x\right)+b=-f\left(2+x\right)-1$

Also ist $-f\left(2+x\right)-1=-x^3$, genauso wie $f\left(2-x\right)+1=-x^3$. Deswegen ist $f$ punktsymmetrisch zu $\left(2,\ -1\right)$.

Allgemeine Symmetrieachse eines Funktionsgraphen berechnen

Berechnung für Polynomfunktionen

Nur Polynomfunktion geraden Grades $n$ kommen für Achsensymmetrie in Frage.

Um die Symmetrieachse $x=a$ des Graphen von $f$ zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:

1. Berechne die $\left(n-1\right)$-te Ableitung von $f$

2. Berechne die Nullstelle der $\left(n-1\right)$-ten Ableitung. Die $x$-Werte der Nullstelle $a$ entspricht potentiell der Symmetrieachse $x=a$ von $f$

3. Proberechnung: Überprüfe mit $f\left(a-x\right)=f\left(a+x\right)$, ob $f$ auch wirklich achsensymmetrisch zu der errechneten Achse ist.

Hinweis: Die Proberechnung ist in diesem Fall unerlässlich, weil wir zu Beginn der Rechnung gar nicht wissen, ob der Graph von $f$ überhaupt achsensymmetrisch ist.

Beispiel

Wir wollen die Symmetrieachse der Funktion $f\left(x\right)=x^4+12x^3+53x^2+102x+70$ berechnen.

Die Funktion ist $4$. Grades, deshalb berechnen wir nun die $\left(4-1\right)$-te Ableitung, also die $3$. Ableitung:

$f'\left(x\right)=4x^3+36x^2+106x+102$

$f''\left(x\right)=12x^2+72x+106$

$f'''\left(x\right)=24x+72$

Als nächstes berechnen wir die Nullstelle der dritten Ableitung:

Eine mögliche Symmetrieachse von $f$ ist also $x=-3$.

Durch eine Proberechnung mit $f\left(3-x\right)=f\left(3+x\right)$ können wir feststellen, dass es sich hierbei wirklich um die Symmetrieachse von $f$ handelt.

Berechnung für gebrochenrationale Funktionen

Allgemeinen Symmetriepunkt eines Funktionsgraphen berechnen

Berechnung für Polynomfunktionen

Nur Polynomfunktionen ungeraden Grades $n$ kommen für die Punktsymmetrie in Frage.

Um den Symmetriepunkt $\left(a,b\right)$ des Graphen von $f$ zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:

1. Berechne die $\left(n-1\right)$-te Ableitung von $f$

2. Berechne die Nullstelle der $\left(n-1\right)$-ten Ableitung. Die Nullstelle $a$ ist die $x$-Koordinate des potentiellen Symmetriepunktes

3. Berechne $b=f\left(a\right)$

4. Proberechnung: Überprüfe mit $f\left(a-x\right)-b=-f\left(a+x\right)+b$, ob es sich bei $\left(a,b\right)$ wirklich um den Symmetriepunkt von $f$ handelt.

Hinweis: Die Proberechnung ist in diesem Fall unerlässlich, weil wir zu Beginn der Rechnung gar nicht wissen, ob der Graph von $f$ überhaupt punktsymmetrisch ist.

Beispiel:

Wir wollen berechnen, zu welchem Punkt der Graph der Funktion $h\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-3x^2+7x$ punktsymmetrisch ist.

$h\left(x\right)$ ist eine Polynomfunktion dritten Grades. Deshalb berechnen wir nun die $\left(3-1\right)$-te Ableitung, also die zweite Ableitung:

$h'\left(x\right)=x^2-6x+7$

$h''\left(x\right)=2x-6$

Nun berechnen wir die Nullstelle der zweiten Ableitung:

Die $x$-Koordinate des potentiellen Symmetriepunktes ist also $a=3$. Um die $y$-Koordinate des Punktes zu erhalten, setzen wir die $x$-Koordinate in $h$ ein:

Der mögliche Symmetriepunkt von $h$ ist also $\left(3{,}3\right)$.

Durch eine Proberechnung mit $h\left(3-x\right)-3=-h\left(3+x\right)+3$ können wir feststellen, dass es sich hierbei wirklich um den Symmetriepunkt von $h$ handelt.

Berechnung für gebrochenrationale Funktionen