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Symmetrie von Graphen

Graphen können achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch sein.

Bei einer Achsensymmetrie zur y-Achse gilt: f(x)=f(x)f(-x)=f(x)

Bei Punktsymmetrie zum Ursprung gilt: f(x)=f(x)f(-x)=-f(x)

Bestimmung der Symmetrie

Mit folgenden Schritten kannst du herausfinden, ob eine gegebene Funktion ff

  • achsensymmetrisch zur yy-Achse oder

  • punktsymmetrisch zum Ursprung ist

Vorgehen
  1. Setze für xx in die Funktion x-x ein: f(x)f(-x)

  2. Forme f(x)f(-x) um, indem du alle Klammern, in denen x-x steht, umformst

  3. Vergleiche diese Funktion f(x)f(-x) mit der ursprünglichen Funktion f(x)f(x).

Folgende Fälle können eintreten:

Fall

Folgerung

f(x)=f(x)f(-x)=f(x)

Der Graph von ff ist achsensymmetrisch zur yy-Achse.

f(x)=f(x)f(-x)=-f(x)

Der Graph von ff ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

f(x)f(-x) ist weder f(x)f(x) noch f(x)-f(x)

Der Graph von ff ist nicht achsensymmetrisch zur y-Achse und nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Beispiele

Beispiel 1)

Gegeben ist die Funktion f(x)=11+x2f(x)=\frac{1}{1+x^2}. Wir wollen untersuchen, ob der Graph von ff achsensymmetrisch zur yy-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Dafür setzen wir in f(x)f(x) den Wert x-x ein:

Setze in f(x)=11+x2f(x)=\frac{1}{1+x^2} statt xx den Wert x-x ein.

f(x)\displaystyle f(-x)==11+(x)2\displaystyle \frac{1}{1+(-x)^2}

Vereinfache.

==11+(1x)2\displaystyle \frac{1}{1+\left(-1\cdot x\right)^2}
==11+(1)2x2\displaystyle \frac{1}{1+\left(-1\right)^2\cdot x^2}

(1)2=1(-1)^2 =1

==11+x2\displaystyle \frac{1}{1+x^2}
==f(x)\displaystyle f(x)

f(x)=f(x)\Rightarrow f(-x)=f(x) und somit: Der Graph von f(x)=11+x2f(x)=\frac1{1+x^2} ist achsensymmetrisch zur yy-Achse.

Dass die Rechnung stimmt, sieht man auch, wenn man den Graphen von ff ansieht.

Zusatz: Graph von ff

Beispiel 2)

Gegeben ist die Funktion g(x)=x1+x2g(x)=\frac{x}{1+x^2}. Wir untersuchen, ob der Graph von gg achsensymmetrisch zur yy-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Dafür setzen wir in g(x)g(x) den Wert x-x ein.

Setze in g(x)=x1+x2g(x)=\frac{x}{1+x^2} statt xx den Wert x-x ein.

g(x)\displaystyle g\left(-x\right)==x1+(x)2\displaystyle \frac{-x}{1+\left(-x\right)^2}

Vereinfache.

(x)2=x2(-x)^2=x^2

==x1+x2\displaystyle \frac{-x}{1+x^2}

Ziehe das Minus im Zähler vor den Bruch. x=(1)x-x=(-1)\cdot x

==(x1+x2)\displaystyle -\left(\frac{x}{1+x^2}\right)
==g(x)\displaystyle -g\left(x\right)

g(x)=g(x)\Rightarrow g(-x)=-g(x) und somit: Der Graph von g(x)=x1+x2g(x)=\frac x {1+x^2}​ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Zeichnet man den Graphen von gg, sieht man die Punktsymmetrie zum Ursprung.

Zusatz: Graph von g

Beispiel 3)

Gegeben ist die Funktion h(x)=x1+x2+2h\left(x\right)=\frac{x}{1+x^2}+2. Wir untersuchen, ob der Graph von hh achsensymmetrisch zur yy-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Dafür setzen wir in h(x)h(x) den Wert x-x ein.

Setze in h(x)=x1+x2+2h(x)=\frac{x}{1+x^2}+2 statt xx den Wert x-x ein.

h(x)\displaystyle h\left(-x\right)==x1+(x)2+2\displaystyle \frac{-x}{1+\left(-x\right)^2}+2

Vereinfache.

(x)2=x2(-x)^2=x^2

==x1+x2+2\displaystyle \frac{-x}{1+x^2}+2

Ziehe das Minus im Zähler vor den Bruch. x=(1)x-x=(-1)\cdot x

==(x1+x2)+2\displaystyle -\left(\frac{x}{1+x^2}\right)+2

h(x)h(-x) ist also weder h(x)=x1+x2+2h\left(x\right)=\frac{x}{1+x^2}+2 noch h(x)=(x1+x2+2)=x1+x22-h\left(x\right)=-\left(\frac{x}{1+x^2}+2\right)=-\frac{x}{1+x^2}-2 und somit weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

Zusatz: Graph von hh

Bemerkung: h(x)h(x) ist zwar nicht punktsymmetrisch zum Ursprung, aber zu einem anderen Punkt - und zwar zum Punkt P(02)P(0|2).

Hilfreiche Regel für Polynomfunktionen

Auch bei Polynomen kannst du überprüfen, ob f(x)f(-x) entweder f(x)-f(x) oder f(x)f(x) entspricht. Die folgenden Regeln zeigen dir, wie es schneller gehen kann:

Merke

Für ein vollständig ausmultipliziertes Polynom anxn+an1xn1++a1x1+a0a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots+a_1\cdot x^1+a_0 gilt:

  • alle Potenzen sind gerade (die Null zählt ebenfalls als gerade) \Rightarrow Achsensymmetrie zur y-Achse

  • alle Potenzen sind ungerade \Rightarrow Punktsymmetrie zum Ursprung

Beispiele

  • Das Polynom f(x)=4x63x2+1f(x)=4x^6-3x^2+1 ist achsensymmetrisch zur yy-Achse, da es nur die geraden Potenzen 66, 22 sowie die 00 (für die Konstante +1+1) enthält.

  • Das Polynom g(x)=2x3+xg\left(x\right)=2x^3+x ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da es nur die ungeraden Potenzen 33 und 11 enthält.

  • Das Polynom h(x)=2x4+3x3+3h\left(x\right)=2x^4+3x^3+3 ist weder achsensymmetrisch zur yy-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung, da es sowohl gerade (44), die Null sowie ungerade (33) Potenzen enthält.

Video zur Symmetrie

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Hilfreiche Regel für gebrochenrationale Funktionen

Auch bei gebrochenrationalen Funktionen kannst du überprüfen, ob f(x)f(-x) entweder f(x)-f(x) oder f(x)f(x) entspricht. Die folgenden Regeln zeigen dir, wie es schneller gehen kann:

Merke

Betrachte die Zähler- und Nennerfunktion einer gebrochen-rationalen Funktion.

AS: Graph der Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

PS: Graph der Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Achsensymmetrie

Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion ist achsensymmetrisch zur yy-Achse , wenn die Zähler- und die Nennerfunktion die gleiche Symmetrie haben.

  • f(x)=ASAS    AS f(x)=\frac{\color{green}{\mathrm{AS}}}{\color{green}{\mathrm{AS}}}\;\Rightarrow\;\color{green}{\mathrm{AS}}

  • f(x)=PSPS    ASf(x)=\frac{\color{660099}{\mathrm{PS}}}{\color{660099}{\mathrm{PS}}}\;\Rightarrow\;\color{green}{\mathrm{AS}}

Punktsymmetrie

Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn die Zähler- und Nennerfunktion unterschiedliche Symmetrien haben.

  • f(x)=ASPS    PSf(x)=\frac{\color{green}{\mathrm{AS}}}{\color{660099}{\mathrm{PS}}}\;\Rightarrow\;\color{660099}{\mathrm{PS}}

  • f(x)=PSAS    PSf(x)=\frac{\color{660099}{\mathrm{PS}}}{\color{green}{\mathrm{AS}}}\;\Rightarrow\;\color{660099}{\mathrm{PS}}

Beispiele

Beispiel 1)

Der Graph der Funktion f(x)=1x21f(x)=\frac1{x^2-1} ist achsensymmetrisch zur yy-Achse, weil der Graph der Zählerfunktion z(x)=1z(x)=1 achsensymmetrisch zur yy-Achse ist und der Graph der Nennerfunktion n(x)=x21n(x)=x^2-1 wegen n(x)=(x)21=x21=n(x)n(-x)=(-x)^2-1=x^2-1=n(x) achsensymmetrisch zur yy-Achse ist.

Beispiel 2)

Der Graph der Funktion g(x)=xx21g(x)=\frac{x}{x^2-1} ist punktsymmetrisch zum Ursprung, weil der Graph der Zählerfunktion z(x)=xz(x)=x wegen z(x)=x=z(x)z(-x)=-x=-z(x) punktsymmetrisch zum Ursprung ist und der Graph der Nennerfunktion n(x)n(x) achsensymmetrisch zur yy-Achse ist.

Beispiel 3)

Gegeben ist die Funktion h(x)=x2xx3xh(x)=\frac{x^2-x}{x^3-x}. Der Graph der Nennerfunktion n(x)=x3xn(x)=x^3-x ist punktsymmetrisch zum Ursprung, weil diese Polynomfunktion nur ungerade Exponenten enthält. Der Graph der Polynom-Zählerfunktion z(x)=x2xz(x)=x^2-x ist weder punktsymmetrisch zum Ursprung, noch achsensymmetrisch zur yy-Achse, weil sie sowohl gerade als auch ungerade Exponenten enthält. Deshalb ist auch der Graph der gesamten Funktion h(x)h(x) weder achsensymmetrisch zur yy-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

Symmetrie von Ableitungen und Stammfunktionen

Symmetrie von Ableitungen

Merke
  • Ist der Graph einer Funktion ff punktsymmetrisch zum Ursprung, dann ist der Graph der Ableitungsfunktion ff' achsensymmetrisch zur yy-Achse.

  • Ist der Graph einer Funktion ff achsensymmetrisch zur yy-Achse, dann ist der Graph der Ableitungsfunktion ff' punktsymmetrisch zum Ursprung.

Allgemein gilt:

  • Ist der Graph einer Funktion ff punktsymmetrisch zu einem Punkt (a,b)\left(a,b\right), dann ist der Graph der Ableitungsfunktion ff' achsensymmetrisch zur Achse x=ax=a.

  • Ist der Graph einer Funktion ff achsensymmetrisch zur Achse x=ax=a, dann ist der Graph der Ableitungsfunktion ff' punktsymmetrisch zum Punkt (a,0)\left(a,0\right).

Beispiele

Der braune Graph der Funktion qq ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Der grüne Graph der Ableitungsfunktion qq' ist eine Parabel, die achsensymmetrisch zur yy-Achse ist.

Der rote Graph der Funktion ff ist achsensymmetrisch zur yy-Achse. Leitet man ff ab, so erhält man f,f', dessen Graph du hier in dunkelblau sehen kannst. Der Graph von der Ableitungsfunktion ff' ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Der Graph der Funktion kk ist hier in orange zu sehen. Er ist punktsymmetrisch zum markierten Punkt (2, 3)\left(-2,\ -3\right). Leitet man kk ab, so erhält man die Ableitungsfunktion kk'. Ihr Graph ist in lila dargestellt. Der Graph von kk' ist eine Parabel, die achsensymmetrisch zur Achse x=2x=-2 ist. Die xx-Koordinate des Symmetriepunktes von kk entspricht also genau der Symmetrieachse der Ableitungsfunktion kk'.

Der braune Graph der Funktion hh ist achsensymmetrisch zur Achse x=3x=-3. Indem du hh ableitest, erhältst du hh'. Den Graphen von hh' kannst du hier in dunkelgrün sehen. Du siehst, dass hh' punktsymmetrisch zum Punkt (3,0)\left(-3{,}0\right) ist. Die xx-Koordinate dieses Punktes liegt genau auf der Symmetrieachse von hh. Die yy-Koordinate des Symmetriepunktes ist 0.0.

Symmetrie von Stammfunktionen

Merke
  • Ist der Graph einer Funktion ff punktsymmetrisch zum Ursprung, dann ist der Graph der Stammfunktion FF achsensymmetrisch zur yy-Achse.

  • Ist der Graph einer Funktion ff achsensymmetrisch zur yy-Achse, dann ist der Graph der Stammfunktion FF punktsymmetrisch zu irgendeinem Punkt auf der yy-Achse (also nicht zwingend zum Ursprung).

Allgemein gilt:

  • Aus der Punktsymmetrie des Graphen von ff zu einem allgemeinen Punkt lassen sich keine allgemeinen Symmetrieregeln für den Graphen von FF ableiten.

  • Ist der Graph von ff achsensymmetrisch zu einer Achse x=ax=a, dann ist der Graph von FF punktsymmetrisch zu einem Punkt, der auf dieser Symmetrieachse liegt, d.h. zum Punkt (a, d)\left(a,\ d\right). Dabei ist dd eine "wählbare" yy-Koordinate, die von der Verschiebung der Stammfunktion in yy-Richtung abhängt.

Beispiele

Die Parabel gg ist achsensymmetrisch zur yy-Achse. Eine zugehörige Stammfunktion GG ist hier in dunkelblau dargestellt. Diese ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Allerdings dürfen wir GG aufgrund der Integrationskonstante beliebig in yy-Richtung nach oben und unten verschieben. GG könnte daher also beispielsweise bei Verschiebung um 22 Einheiten nach oben auch punktsymmetrisch zum Punkt (0,2)\left(0{,}2\right) sein. Aber egal, um wie viel wir GG nach oben und unten verschieben: die xx-Koordinate des Symmetriepunkts liegt stets auf der yy-Achse.

Die in schwarz dargestellte Funktion kk ist punktsymmetrisch zum Ursprung. KK ist eine mögliche Stammfunktion von kk. Diese ist achsensymmetrisch zur yy-Achse.

Die hier blau dargestellte Funktion ff ist punktsymmetrisch zum Punkt (3,2)\left(3{,}2\right). Eine mögliche Stammfunktion FF kannst du in orange sehen. FF ist weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch zu einem beliebigen Punkt - unabhängig davon, wie man die Stammfunktion nach oben und unten in yy-Richtung verschiebt.

Die lila Parabel pp ist achsensymmetrisch zur Achse x=3x=3. Eine zugehörige Stammfunktion PP (hier in grün) ist punktsymmetrisch zum Punkt (3,3)\left(3{,}3\right). Du darfst PP aufgrund der Integrationskonstante beliebig in yy-Richtung nach oben und unten verschieben. Dann ändert sich die yy-Koordinate des Symmetriepunktes, aber die xx-Koordinate wird immer bei 33 bleiben - also auf der Symmetrieachse der Parabel liegen.

Allgemeine Symmetrie

Der Graph einer Funktion ff kann im Allgemeinen nicht nur achsensymmetrisch zur yy-Achse, sondern auch zu einer beliebig anderen senkrechten Achse achsensymmetrisch sein.

Beispielsweise ist die Funktion hh achsensymmetrisch zur Achse x=3x=-3.

Analog kann der Graph einer Funktion ff auch zu einem beliebigen anderen Punkt - als nur zum Ursprung - punktsymmetrisch sein.

Zum Beispiel ist die Funktion pp punktsymmetrisch zum Punkt (3,2)\left(-3{,}2\right).

Überprüfung, ob ff zu einer bekannten allgemeinen Achse achsensymmetrisch ist

Merke

Ist der Graph einer Funktion ff achsensymmetrisch zur Achse x=cx=c, dann gilt:

Die y-Achse ist der Spezialfall c=0c=0.

Vorgehen

Wenn du also überprüfen sollst, ob eine Funktion zu einer gegebenen Achse achsensymmetrisch ist, dann kannst du folgendes tun:

  1. Du setzt (cx)\left(c-x\right) in den Funktionsterm für xx ein und rechnest aus.

  2. Dann setzt du (c+x)\left(c+x\right) in den Funktionsterm für xx ein und rechnest aus.

  3. Du vergleichst deine Ergebnisse aus 1. und 2.. Sind diese gleich, dann ist ff achsensymmetrisch zur Achse x=cx=c. Kommt bei 1. und 2. etwas Unterschiedliches heraus, dann ist x=cx=c keine Symmetrieachse von ff.

Beispiel

Überprüfe, ob die Funktion f:xx22x+1f:x \mapsto x^2-2x+1 achsensymmetrisch zur Achse x=1x=1 ist.

Als Erstes berechnen wir f(1x)f\left(1-x\right).

Dafür setzen wir (1x)\left(1-x\right) in den Funktionsterm ein

f(1x)\displaystyle f\left(1-x\right)==(1x)22(1x)+1\displaystyle \left(1-x\right)^2-2\left(1-x\right)+1

Wir wenden die binomische Formel an und multiplizieren aus

==12x+x22+2x+1\displaystyle 1-2x+x^2-2+2x+1

Nun fassen wir zusammen

==x22x+2x+1+12\displaystyle x^2-2x+2x+1+1-2
==x2\displaystyle x^2

Also ist f(1x)=x2f\left(1-x\right)=x^2.

Als Nächstes berechnen wir f(1+x)f\left(1+x\right).

Dafür setzen wir (1+x)\left(1+x\right) in den Funktionsterm ein

f(1+x)\displaystyle f\left(1+x\right)==(1+x)22(1+x)+1\displaystyle \left(1+x\right)^2-2\left(1+x\right)+1

Wir wenden die binomische Formel an und multiplizieren aus

==1+2x+x222x+1\displaystyle 1+2x+x^2-2-2x+1

Nun fassen wir zusammen

==x2\displaystyle x^2

Also ist f(1+x)=x2f\left(1+x\right)=x^2.

Sowohl f(1x)=x2f\left(1-x\right)=x^2 als auch f(1+x)=x2f\left(1+x\right)=x^2. Weil bei beiden dasselbe herauskommt, ist ff tatsächlich achsensymmetrisch zur Achse x=1x=1.

Überprüfung, ob ff zu einem bekannten allgemeinen Punkt punktsymmetrisch ist

Merke

Ist der Graph der Funktion ff punktsymmetrisch zum Punkt P(a, b)P\left(a,\ b\right), gilt:

Der Ursprung ist der Spezialfall P(0, 0)P(0,\ 0).

Vorgehen

Wenn du also überprüfen sollst, ob eine Funktion zu einem gegebenen Punkt punktsymmetrisch ist, dann kannst du folgendes tun:

  1. Berechne f(ax)bf\left(a-x\right)-b, indem du in den Funktionsterm (ax)\left(a-x\right) für xx einsetzt und anschließend bb, also die yy-Koordinate des Punktes abziehst.

  2. Berechne f(a+x)+b-f\left(a+x\right)+b, indem du in den Funktionsterm (a+x)\left(a+x\right) für xx einsetzt, den Funktionsterm mit (1)\left(-1\right) multiplizierst und anschließend bb, also die yy-Koordinate des Punktes addierst.

  3. Vergleiche die Ergebnisse aus 1. und 2.. Sind diese gleich, dann ist die Funktion tatsächlich punktsymmetrisch zu PP. Sind die Ergebnisse unterschiedlich, ist ff nicht punktsymmetrisch zu PP.

Beispiel

Prüfe, ob die Funktion f:x(x2)31f: x\mapsto \left(x-2\right)^3-1 punktsymmetrisch zum Punkt P(2, 1)P(2,\ -1) ist.

Als Erstes berechnen wir f(ax)b=f(2x)+1f\left(a-x\right)-b=f\left(2-x\right)+1

Dafür setzen wir im Funktionsterm (2x)\left(2-x\right) für xx ein und addieren am Ende noch 11

f(2x)+1\displaystyle f\left(2-x\right)+1==(2x2)31+1\displaystyle \left(2-x-2\right)^3-1+1

Vereinfachen

==(x)3\displaystyle \left(-x\right)^3
==x3\displaystyle -x^3

Also ist f(2x)+1=x3f\left(2-x\right)+1=-x^3.

Als Nächstes berechnen wir f(a+x)+b=f(2+x)1-f\left(a+x\right)+b=-f\left(2+x\right)-1

Dafür setzen wir (2+x)\left(2+x\right) für xx ein, multiplizieren den Funktionsterm mit (1)\left(-1\right) und ziehen ab Schluss noch die 11 ab.

f(2+x)1\displaystyle -f\left(2+x\right)-1==((2+x2)31)1\displaystyle -\left(\left(2+x-2\right)^3-1\right)-1

Vereinfachen

==(x31)1\displaystyle -\left(x^3-1\right)-1

Jetzt lösen wir die Minusklammer auf

==x3+11\displaystyle -x^3+1-1
==x3\displaystyle -x^3

Also ist f(2+x)1=x3-f\left(2+x\right)-1=-x^3, genauso wie f(2x)+1=x3f\left(2-x\right)+1=-x^3. Deswegen ist ff punktsymmetrisch zu (2, 1)\left(2,\ -1\right).

Allgemeine Symmetrieachse eines Funktionsgraphen berechnen

1) Berechnung für Polynomfunktionen

Nur Polynomfunktion geraden Grades nn kommen für Achsensymmetrie infrage.

Vorgehen

Um die Symmetrieachse x=ax=a des Graphen von ff zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:

  1. Berechne die (n1)\left(n-1\right)-te Ableitung von ff

  2. Berechne die Nullstelle der (n1)\left(n-1\right)-ten Ableitung. Die xx-Werte der Nullstelle aa entspricht potentiell der Symmetrieachse x=ax=a von ff

  3. Proberechnung: Überprüfe mit f(ax)=f(a+x)f\left(a-x\right)=f\left(a+x\right), ob ff auch wirklich achsensymmetrisch zu der errechneten Achse ist.

Hinweis: Die Proberechnung ist in diesem Fall unerlässlich, weil wir zu Beginn der Rechnung gar nicht wissen, ob der Graph von ff überhaupt achsensymmetrisch ist.

Beispiel

Wir wollen die Symmetrieachse der Funktion f:xx4+12x3+53x2+102x+70f:x \mapsto x^4+12x^3+53x^2+102x+70 berechnen.

Die Funktion ist 44. Grades, deshalb berechnen wir nun die (41)\left(4-1\right)-te Ableitung, also die 33. Ableitung:

f(x)=4x3+36x2+106x+102f'\left(x\right)=4x^3+36x^2+106x+102

f(x)=12x2+72x+106f''\left(x\right)=12x^2+72x+106

f(x)=24x+72f'''\left(x\right)=24x+72

Als Nächstes berechnen wir die Nullstelle der dritten Ableitung:

24x+72\displaystyle 24x+72==0\displaystyle 072\displaystyle -72
24x\displaystyle 24x==72\displaystyle -72:24\displaystyle :24
x\displaystyle x==3\displaystyle -3

Eine mögliche Symmetrieachse von ff ist also x=3x=-3.

Durch eine Proberechnung mit f(3x)=f(3+x)f\left(3-x\right)=f\left(3+x\right) können wir feststellen, dass es sich hierbei wirklich um die Symmetrieachse von ff handelt.

2) Berechnung für gebrochenrationale Funktionen

Hier fehlt noch eine Erklärung der Berechnung der Achsensymmetrie von gebrochenrationalen Funktionen.

Allgemeinen Symmetriepunkt eines Funktionsgraphen berechnen

1) Berechnung für Polynomfunktionen

Nur Polynomfunktionen ungeraden Grades nn kommen für die Punktsymmetrie infrage.

Vorgehen

Um den Symmetriepunkt (a,b)\left(a,b\right) des Graphen von ff zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:

  1. Berechne die (n1)\left(n-1\right)-te Ableitung von ff

  2. Berechne die Nullstelle der (n1)\left(n-1\right)-ten Ableitung. Die Nullstelle aa ist die xx-Koordinate des potentiellen Symmetriepunktes

  3. Berechne b=f(a)b=f\left(a\right)

  4. Proberechnung: Überprüfe mit f(ax)b=f(a+x)+bf\left(a-x\right)-b=-f\left(a+x\right)+b, ob es sich bei (a,b)\left(a,b\right) wirklich um den Symmetriepunkt von ff handelt.

Hinweis: Die Proberechnung ist in diesem Fall unerlässlich, weil wir zu Beginn der Rechnung gar nicht wissen, ob der Graph von ff überhaupt punktsymmetrisch ist.

Beispiel

Wir wollen berechnen, zu welchem Punkt der Graph der Funktion h:x13x33x2+7xh: x \mapsto \frac{1}{3}x^3-3x^2+7x punktsymmetrisch ist.

hh ist eine Polynomfunktion dritten Grades. Deshalb berechnen wir nun die (31)\left(3-1\right)-te Ableitung, also die zweite Ableitung:

h(x)=x26x+7h'\left(x\right)=x^2-6x+7

h(x)=2x6h''\left(x\right)=2x-6

Nun berechnen wir die Nullstelle der zweiten Ableitung:

2x6\displaystyle 2x-6==0\displaystyle 0+6\displaystyle +6
2x\displaystyle 2x==6\displaystyle 6:2\displaystyle :2
x\displaystyle x==3\displaystyle 3

Die xx-Koordinate des potentiellen Symmetriepunktes ist also a=3a=3. Um die yy-Koordinate des Punktes zu erhalten, setzen wir die xx-Koordinate in hh ein:

h(3)\displaystyle h\left(3\right)==1333332+73\displaystyle \frac{1}{3}\cdot3^3-3\cdot3^2+7\cdot3
==927+21\displaystyle 9-27+21
==3\displaystyle 3

Der mögliche Symmetriepunkt von hh ist also (3,3)\left(3{,}3\right).

Durch eine Proberechnung mit h(3x)3=h(3+x)+3h\left(3-x\right)-3=-h\left(3+x\right)+3 können wir feststellen, dass es sich hierbei wirklich um den Symmetriepunkt von hh handelt.

2) Berechnung für gebrochenrationale Funktionen

Hier fehlt noch eine Erklärung der Berechnung der Punktsymmetrie von gebrochenrationalen Funktionen.

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Übungsaufgaben

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Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Symmetrie von Graphen


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