Potenzen

Das Potenzieren ist eine verkürzte Schreibweise für das mehrmalige Multiplizieren einer Zahl mit sich selbst.

Beispiel: Man schreibt 2223 Faktoren\underbrace{2\cdot2\cdot2}_{3~Faktoren} als 232^3.

Der Exponent bzw. die Hochzahl, in diesem Beispiel die 3, beschreibt, wie oft eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird.

Generell hat jede Zahl ohne Exponenten den Exponenten 11.

Es gilt: x=x1x=x^1.

Der Exponent wird in diesem Fall meist weggelassen.

Beispiel: 31=33^1=3

Potenziert man eine beliebige Zahl xx mit 00, so erhält man immer x0=1x^0=1. Ausnahme: in manchen Schulbücher ist „000^0“ nicht definiert. Es schadet aber nicht, wenn wir 00=10^0=1 setzen.

Wichtig: 00=10^0=1 ist nicht das Ergebnis einer Rechnung, sondern eine Vereinbarung.

Basis und Exponent

Die Zahl, welche mit sich selbst multipliziert werden soll, nennt man Basis, die Anzahl Exponent, beides zusammen ist die Potenz und das Ergebnis dieser Rechnung ist der Wert der Potenz.

Potenzen mit negativer Basis

Wird eine negative Zahl potenziert, hängt das Vorzeichen des Ergebnisses davon ab, ob der Exponent eine gerade oder ungerade Zahl ist. Ist er gerade, ist das Ergebnis positiv, ist er ungerade, bleibt die Potenz negativ.

Beispiel:

(2)2=(2)(2) = +4 \left(-2\right)^2=\left(-2\right)\cdot\left(-2\right)\ =\ +4\

(2)3=(2)(2)(2) = 8\left(-2\right)^3=\left(-2\right)\cdot\left(-2\right)\cdot\left(-2\right)\ =\ -8

Potenzen mit negativem Exponenten

Wie kann man aka^{-k} interpretieren?

Beispiele:

21=122^{-1}=\dfrac12

42=142=1164^{-2}=\dfrac1{4^2}=\dfrac1{16}

325=3125=352\frac{3}{25}=3\cdot\frac{1}{25}=3\cdot5^{-2}

Rationale Exponenten

Zahlen, die man mit einer rationalen Zahl (also einem Bruch) potenziert, kann man als Wurzel identifizieren:

Damit gilt umgekehrt für die Standard-Wurzel:

Beispiele:

Rechnen mit Potenzen

Im Artikel Potenzgesetze kannst du nachlesen, wie man mit Potenzen rechnet und welche Potenzgesetze es gibt.


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