Aufgaben zu einfachen Potenzen

Hier findest du gemischte Aufgaben zum Thema Potenzen. Lerne, Potenzen auszurechnen, Potenzgesetze anzuwenden und Sachaufgaben zu meistern.

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1. Ziehe die Begriffe in das richtige Feld. Kannst du alle richtig zuordnen?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
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2. Ziehe die Zahlen auf die richtige Potenz. Schaffst du sie alle?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $2^3=2\cdot2\cdot2=8$
  $3^3=3\cdot3\cdot3=27$
  $3^2=3\cdot3=9$
  $4^3=4\cdot4\cdot4=64$
  $8^2=8\cdot8=64$
  $5^2=5\cdot5=25$
  $2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$
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  Berechne zuerst die Potenz. $2^3$ zum Beispiel berechnet man so:

Berechne ohne Taschenrechner

$3^5$

$\left[400-\left(7+3\cdot2^7\right)\right]:3$

Dividiere die Potenz mit der Basis 75 und dem Exponenten 3 durch die Potenz mit der Basis 5 und dem Exponenten 5.

4
Dividiere die Potenz mit der Basis 6 und dem Exponenten 4 durch das Produkt aus 9 und 16.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Term aufstellen
Als Erstes musst du den Text in der Aufgabe in einen mathematischen Term "übersetzen":
"Potenz mit der Basis 6 und dem Exponenten $4$ "
ergibt im Term: $6^4$
"dividiere"
geteilt durch
"Produkt aus $9$ und $16$ "
ergibt im Term: $9\cdot 16$
Das setzt du nun zu einem Term zusammen.
Wenn du die Division mit dem Geteilt-durch-Zeichen schreibst, erhältst du:
$6^4 : (9\cdot 16)$
(Wichtig: Um " $9\cdot 16$ " musst du dann eine Klammer schreiben, weil sonst nur durch $9$ und nicht durch $9\cdot 16$ geteilt werden würde).
Wenn du die Division mit dem Bruchstrich schreibst, erhältst du:
$\dfrac{6^4}{9\cdot16}$
(Hier brauchst du keine Klammern zu setzen, da der Bruchstrich wie eine Klammer wirkt).
Term ausrechnen
1. Möglichkeit:
Berechne nun den Term:
$\dfrac{6^4}{9\cdot16}$ $=\dfrac{1296}{144}$
Da 1296 ein Vielfaches von 144, kannst du den Bruch mit 144 kürzen.
$\dfrac{6^4}{9\cdot 16}= \dfrac{1296}{144}=9$
2. Möglichkeit:
$\dfrac{6^4}{9\cdot16}\ =\ \dfrac{(2\cdot3)^4}{3^2\cdot2^4}$
$\dfrac{ 2^4\cdot3^4}{3^2\cdot2^4}\ =\ \dfrac{\cancel {2^4}\cdot3^4}{3^2\cdot\cancel{2^4}}\ =\ \dfrac{3^4}{3^2}\ =\ 3^{(4-2)}$ Anwendung der Potenzgesetze
$3^2\ =\ 9$

"Potenz mit der Basis 6 und dem Exponenten $4$ "	ergibt im Term: $6^4$
"dividiere"	geteilt durch
"Produkt aus $9$ und $16$ "	ergibt im Term: $9\cdot 16$

Dividiere die Potenz mit der Basis 18 und dem Exponenten 4 durch die Potenz mit der Basis 3 und dem Exponenten 7. Rechne so vorteilhaft wie möglich!

Multipliziere die Potenz mit der Basis 6 und dem Exponenten 4 mit der Potenz mit der Basis 5 und dem Exponenten 3.

Löse diese Aufgabe durch geschicktes Umformen.

7
Bei wie vielen zweistelligen Quadratzahlen ist die Einerziffer ungerade?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation
Wir probieren die Quadratzahlen der Reihe nach durch. Da $10^2 =100$ schon dreistellig ist, sollten wir nicht allzu viele zweistellige Quadratzahlen bekommen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rll}1^2 & = 1 & | \text{ nicht zweistellig} \\2^2 &= 4 & | \text{ nicht zweistellig} \\3^2 &= 9 & | \text{ nicht zweistellig} \\4^2 &= 16 & | \text{ gerade Quadratzahl} \\\color{Green}{5^2} &\color{Green}{= 25} & \color{Green}{|\text{ 1. ungerade zweistellige Quadratzahl}} \\6^2 &= 36 & | \text{ gerade Quadratzahl} \\\color{Green}{7^2} &\color{Green}{= 49} & \color{Green}{|\text{ 2. ungerade zweistellige Quadratzahl}} \\8^2 &= 64 & | \text{ gerade Quadratzahl} \\\color{Green}{9^2} &\color{Green}{= 81} & \color{Green}{|\text{ 3. ungerade zweistellige Quadratzahl}} \\10^2 &= 100 & | \text{ bereits dreistellig}\end{array}$
Alle Quadratzahlen ab 100 sind nicht mehr zweistellig. Damit gibt es mit $25$ , $49$ und $81$ insgesamt $3$ Quadratzahlen, deren Endziffer ungerade ist.
8
Martin möchte ein Beet anlegen. Das Beet soll quadratisch mit einer Länge von $0{,}5m$ werden. Im Baumarkt will er sich nun spezielle Erde kaufen.
Seine Mutter hat bereits Erfahrung im Anlegen eines Beets. Sie meint, dass ein Beutel für $0{,}15m^2$ ausreicht. Reicht Martin ein Beutel, oder muss er mehr kaufen?
Ja, ein Beutel reicht.
Nein, ein Beutel reicht nicht.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat
Die Fläche für das Beet lässt sich mit der Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats errechnen, wenn man für $a$ $0{,}5m$ einsetzt:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} A_{Beet}&=&a^2 \\\\&=&(0{,}5m)^2 \\\\&=& 0{,}25m^2 \end{array}$
Da ein Beutel nur für $0{,}15m^2$ reicht muss er mehr nehmen.
Zwei Beutel entsprechen $2\cdot0{,}15m^2 = 0{,}3m^2$ .
Zwei Beutel sind also genug, denn Martin hätte nur $0{,}25m^2$ gebraucht.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 3^5$	$=$	$\displaystyle 3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3$
	↓	Rechne schrittweise.
	$=$	$\displaystyle \underbrace{3\cdot3}_9\cdot3\cdot3\cdot3$
	$=$	$\displaystyle \underbrace{9\cdot3}_{27}\cdot3\cdot3$
	$=$	$\displaystyle \underbrace{27\cdot3}_{81}\cdot3$
	$=$	$\displaystyle 81\cdot3$
	$=$	$\displaystyle 243$

$\displaystyle \left[400-\left(7+3\cdot2^7\right)\right]:3$	$=$	$\displaystyle \left[400-\left(7+3\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\right)\right]:3$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \left[400-\left(7+3\cdot4\cdot4\cdot4\cdot2\right)\right]:3$
	↓	Fasse erneut zusammen.
	$=$	$\displaystyle \left[400-\left(7+3\cdot16\cdot4\cdot2\right)\right]:3$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \left[400-\left(7+3\cdot16\cdot8\right)\right]:3$
	↓	Man multipliziert zunächst die Zahlen in der Klammer da gilt: Klammer vor Punkt vor Strich
	$=$	$\displaystyle \left[400-\left(7+3\cdot128\right)\right]:3$
	↓	Multilpiziere.
	$=$	$\displaystyle \left[400-\left(7+384\right)\right]:3$
	↓	Addiere die Zahlen in der Klammer. Die Klammer löst sich dadurch auf.
	$=$	$\displaystyle \left[400-391\right]:3$
	↓	Subtrahiere in der Klammer. Die Klammer löst sich auf.
	$=$	$\displaystyle 9:3$
	↓	Dividiere.
	$=$	$\displaystyle 3$

$\displaystyle \frac{75^3}{5^5}$	$=$	$\displaystyle \frac{15^3\cdot5^3}{5^5}$
	$=$	$\displaystyle \frac{3^3\cdot5^3\cdot5^3}{5^5}$
	↓	Kürze mit $5^5$ .
	$=$	$\displaystyle 3^3\cdot5^1$
	↓	Berechne jetzt die einzelnen Potenzen. $3^3 = 3\cdot 3\cdot 3 = 27$ und $5^1 = 5$
	$=$	$\displaystyle 27\cdot5$
	$=$	$\displaystyle 135$

$\displaystyle \frac{18^4}{3^7}$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(2\cdot3^2\right)^4}{3^7}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac{2^4\cdot\left(3^2\right)^4}{3^7}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac{2^4\cdot3^8}{3^7}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle 2^4\cdot3^1$
	$=$	$\displaystyle 16\cdot3$
	$=$	$\displaystyle 48$

$\displaystyle 6^4\cdot5^3$	$=$	$\displaystyle 3^4\cdot2^4\cdot5^3$
	↓	$2^4=2\cdot2^3$
	$=$	$\displaystyle 3^4\cdot2\cdot2^3\cdot5^3$
	↓	$2^3\cdot5^3=(2\cdot5)^3$
	$=$	$\displaystyle 3^4\cdot2\cdot\left(2\cdot5\right)^3$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle 162\cdot1000$
	$=$	$\displaystyle 162000$

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Term aufstellen

Term ausrechnen