Aufgaben zu einfachen Potenzen

Hier findest du gemischte Aufgaben zum Thema Potenzen. Lerne, Potenzen auszurechnen, Potenzgesetze anzuwenden und Sachaufgaben zu meistern.

1
1. Ziehe die Begriffe in das richtige Feld. Kannst du alle richtig zuordnen?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
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2. Ziehe die Zahlen auf die richtige Potenz. Schaffst du sie alle?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
  $3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$
  $3^{2} = 3 \cdot 3 = 9$
  $4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$
  $8^{2} = 8 \cdot 8 = 64$
  $5^{2} = 5 \cdot 5 = 25$
  $2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$
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  Berechne zuerst die Potenz. $2^{3}$ zum Beispiel berechnet man so:
  $2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Berechne ohne Taschenrechner

$3^{5}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Schreibe die Potenz aus.
$3^{5}$ $=$ $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
↓
Rechne schrittweise.
$=$ $\underset{9}{\underset{⏟}{3 \cdot 3}} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
$=$ $\underset{27}{\underset{⏟}{9 \cdot 3}} \cdot 3 \cdot 3$
$=$ $\underset{81}{\underset{⏟}{27 \cdot 3}} \cdot 3$
$=$ $81 \cdot 3$
$=$ $243$
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Schreibe die Potenz $3^{5} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ aus.

$[400 - (7 + 3 \cdot 2^{7})] : 3$

3
Dividiere die Potenz mit der Basis 75 und dem Exponenten 3 durch die Potenz mit der Basis 5 und dem Exponenten 5.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
$\frac{75^{3}}{5^{5}}$ $=$ $\frac{15^{3} \cdot 5^{3}}{5^{5}}$
$=$ $\frac{3^{3} \cdot 5^{3} \cdot 5^{3}}{5^{5}}$
↓
Kürze mit $5^{5}$ .
$=$ $3^{3} \cdot 5^{1}$
↓
Berechne jetzt die einzelnen Potenzen. $3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ und $5^{1} = 5$
$=$ $27 \cdot 5$
$=$ $135$
4
Dividiere die Potenz mit der Basis 6 und dem Exponenten 4 durch das Produkt aus 9 und 16.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Term aufstellen
Als Erstes musst du den Text in der Aufgabe in einen mathematischen Term "übersetzen":
"Potenz mit der Basis 6 und dem Exponenten $4$ "
ergibt im Term: $6^{4}$
"dividiere"
geteilt durch
"Produkt aus $9$ und $16$ "
ergibt im Term: $9 \cdot 16$
Das setzt du nun zu einem Term zusammen.
Wenn du die Division mit dem Geteilt-durch-Zeichen schreibst, erhältst du:
$6^{4} : (9 \cdot 16)$
(Wichtig: Um " $9 \cdot 16$ " musst du dann eine Klammer schreiben, weil sonst nur durch $9$ und nicht durch $9 \cdot 16$ geteilt werden würde).
Wenn du die Division mit dem Bruchstrich schreibst, erhältst du:
$\frac{6^{4}}{9 \cdot 16}$
(Hier brauchst du keine Klammern zu setzen, da der Bruchstrich wie eine Klammer wirkt).
Term ausrechnen
1. Möglichkeit:
Berechne nun den Term:
$\frac{6^{4}}{9 \cdot 16}$ $= \frac{1296}{144}$
Da 1296 ein Vielfaches von 144, kannst du den Bruch mit 144 kürzen.
$\frac{6^{4}}{9 \cdot 16} = \frac{1296}{144} = 9$
2. Möglichkeit:
$\frac{6^{4}}{9 \cdot 16} = \frac{(2 \cdot 3)^{4}}{3^{2} \cdot 2^{4}}$
$\frac{2^{4} \cdot 3^{4}}{3^{2} \cdot 2^{4}} = \frac{2^{4} \cdot 3^{4}}{3^{2} \cdot 2^{4}} = \frac{3^{4}}{3^{2}} = 3^{(4 - 2)}$ Anwendung der Potenzgesetze
$3^{2} = 9$
5
Dividiere die Potenz mit der Basis 18 und dem Exponenten 4 durch die Potenz mit der Basis 3 und dem Exponenten 7. Rechne so vorteilhaft wie möglich!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
Zerlege 18 in Primfaktoren
$\frac{18^{4}}{3^{7}}$ $=$ $\frac{{(2 \cdot 3^{2})}^{4}}{3^{7}}$
↓
Potenzgesetz anwenden.
$=$ $\frac{2^{4} \cdot {(3^{2})}^{4}}{3^{7}}$
↓
Potenzgesetz anwenden.
$=$ $\frac{2^{4} \cdot 3^{8}}{3^{7}}$
↓
Potenzgesetz anwenden.
$=$ $2^{4} \cdot 3^{1}$
$=$ $16 \cdot 3$
$=$ $48$
6
Multipliziere die Potenz mit der Basis 6 und dem Exponenten 4 mit der Potenz mit der Basis 5 und dem Exponenten 3.
Löse diese Aufgabe durch geschicktes Umformen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
Verwende $6^{4} = 3^{4} \cdot 2^{4}$
$6^{4} \cdot 5^{3}$ $=$ $3^{4} \cdot 2^{4} \cdot 5^{3}$
↓
$2^{4} = 2 \cdot 2^{3}$
$=$ $3^{4} \cdot 2 \cdot 2^{3} \cdot 5^{3}$
↓
$2^{3} \cdot 5^{3} = (2 \cdot 5)^{3}$
$=$ $3^{4} \cdot 2 \cdot {(2 \cdot 5)}^{3}$
↓
Ausmultiplizieren
$=$ $162 \cdot 1000$
$=$ $162000$
7
Bei wie vielen zweistelligen Quadratzahlen ist die Einerziffer ungerade?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation
Wir probieren die Quadratzahlen der Reihe nach durch. Da $10^{2} = 100$ schon dreistellig ist, sollten wir nicht allzu viele zweistellige Quadratzahlen bekommen:
$\begin{aligned} 1^{2} & = 1 & | nicht zweistellig \\ 2^{2} & = 4 & | nicht zweistellig \\ 3^{2} & = 9 & | nicht zweistellig \\ 4^{2} & = 16 & | gerade Quadratzahl \\ 5^{2} & = 25 & | 1. ungerade zweistellige Quadratzahl \\ 6^{2} & = 36 & | gerade Quadratzahl \\ 7^{2} & = 49 & | 2. ungerade zweistellige Quadratzahl \\ 8^{2} & = 64 & | gerade Quadratzahl \\ 9^{2} & = 81 & | 3. ungerade zweistellige Quadratzahl \\ 10^{2} & = 100 & | bereits dreistellig \end{aligned}$
Alle Quadratzahlen ab 100 sind nicht mehr zweistellig. Damit gibt es mit $25$ , $49$ und $81$ insgesamt $3$ Quadratzahlen, deren Endziffer ungerade ist.
8
Martin möchte ein Beet anlegen. Das Beet soll quadratisch mit einer Länge von $0,5 m$ werden. Im Baumarkt will er sich nun spezielle Erde kaufen.
Seine Mutter hat bereits Erfahrung im Anlegen eines Beets. Sie meint, dass ein Beutel für $0,15 m^{2}$ ausreicht. Reicht Martin ein Beutel, oder muss er mehr kaufen?
Ja, ein Beutel reicht.
Nein, ein Beutel reicht nicht.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat
Die Fläche für das Beet lässt sich mit der Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats errechnen, wenn man für $a$ $0,5 m$ einsetzt:
$\begin{array}{rcl} A_{B e e t} & = & a^{2} \\ = & (0,5 m)^{2} \\ = & 0,25 m^{2} \end{array}$
Da ein Beutel nur für $0,15 m^{2}$ reicht muss er mehr nehmen.
Zwei Beutel entsprechen $2 \cdot 0,15 m^{2} = 0,3 m^{2}$ .
Zwei Beutel sind also genug, denn Martin hätte nur $0,25 m^{2}$ gebraucht.

"Potenz mit der Basis 6 und dem Exponenten $4$ "	ergibt im Term: $6^{4}$
"dividiere"	geteilt durch
"Produkt aus $9$ und $16$ "	ergibt im Term: $9 \cdot 16$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$3^{5}$	$=$	$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
	↓	Rechne schrittweise.
	$=$	$\underset{9}{\underset{⏟}{3 \cdot 3}} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
	$=$	$\underset{27}{\underset{⏟}{9 \cdot 3}} \cdot 3 \cdot 3$
	$=$	$\underset{81}{\underset{⏟}{27 \cdot 3}} \cdot 3$
	$=$	$81 \cdot 3$
	$=$	$243$

$[400 - (7 + 3 \cdot 2^{7})] : 3$	$=$	$[400 - (7 + 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)] : 3$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$[400 - (7 + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 2)] : 3$
	↓	Fasse erneut zusammen.
	$=$	$[400 - (7 + 3 \cdot 16 \cdot 4 \cdot 2)] : 3$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$[400 - (7 + 3 \cdot 16 \cdot 8)] : 3$
	↓	Man multipliziert zunächst die Zahlen in der Klammer da gilt: Klammer vor Punkt vor Strich
	$=$	$[400 - (7 + 3 \cdot 128)] : 3$
	↓	Multilpiziere.
	$=$	$[400 - (7 + 384)] : 3$
	↓	Addiere die Zahlen in der Klammer. Die Klammer löst sich dadurch auf.
	$=$	$[400 - 391] : 3$
	↓	Subtrahiere in der Klammer. Die Klammer löst sich auf.
	$=$	$9 : 3$
	↓	Dividiere.
	$=$	$3$

$\frac{75^{3}}{5^{5}}$	$=$	$\frac{15^{3} \cdot 5^{3}}{5^{5}}$
	$=$	$\frac{3^{3} \cdot 5^{3} \cdot 5^{3}}{5^{5}}$
	↓	Kürze mit $5^{5}$ .
	$=$	$3^{3} \cdot 5^{1}$
	↓	Berechne jetzt die einzelnen Potenzen. $3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ und $5^{1} = 5$
	$=$	$27 \cdot 5$
	$=$	$135$

$\frac{18^{4}}{3^{7}}$	$=$	$\frac{{(2 \cdot 3^{2})}^{4}}{3^{7}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\frac{2^{4} \cdot {(3^{2})}^{4}}{3^{7}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\frac{2^{4} \cdot 3^{8}}{3^{7}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$2^{4} \cdot 3^{1}$
	$=$	$16 \cdot 3$
	$=$	$48$

$6^{4} \cdot 5^{3}$	$=$	$3^{4} \cdot 2^{4} \cdot 5^{3}$
	↓	$2^{4} = 2 \cdot 2^{3}$
	$=$	$3^{4} \cdot 2 \cdot 2^{3} \cdot 5^{3}$
	↓	$2^{3} \cdot 5^{3} = (2 \cdot 5)^{3}$
	$=$	$3^{4} \cdot 2 \cdot {(2 \cdot 5)}^{3}$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$162 \cdot 1000$
	$=$	$162000$

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Term aufstellen

Term ausrechnen