Brüche potenzieren

In diesem Artikel lernst du sowohl theoretisch als auch anhand von Beispielen, wie man Brüche potenziert.

Man potenziert einen Bruch mit dem Exponenten n, indem man Nenner und Zähler getrennt mit n potenziert.

\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}

\displaystyle \left(\frac{5}{7}\right)^4=\frac{5^4}{7^4}=\frac{625}{2401}

Allgemeine Erklärung	Erklärung am Beispiel
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\left(\frac ab\right)^n&=\underbrace{\left(\frac ab\right)\cdot\left(\frac ab\right)\cdot\;…\;\cdot\left(\frac ab\right)}_{n-\mathrm{mal}}\\&=\underbrace{\frac ab\cdot\frac ab\cdot\;…\;\cdot\frac ab}_{n-\mathrm{mal}}\\&=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdot\;…\;\cdot a}^{n-\mathrm{mal}}}{\underbrace{b\cdot b\cdot\;…\;\cdot b}_{n-\mathrm{mal}}}\\&=\frac{a^n}{b^n}\end{aligned}$	$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\left(\frac57\right)^4&=\underbrace{\left(\frac57\right)\cdot\left(\frac57\right)\cdot\left(\frac57\right)\cdot\left(\frac57\right)}_{4-\mathrm{mal}}\\&={\textstyle\underbrace{{\displaystyle\frac57}\cdot{\displaystyle\frac57}\cdot{\displaystyle\frac57}\cdot\displaystyle\frac57}_{4-\mathrm{mal}}}\\&=\frac{\overbrace{5\cdot5\cdot5\cdot5}^{4-\mathrm{mal}}}{\underbrace{7\cdot7\cdot7\cdot7}_{4-\mathrm{mal}}}\\&=\frac{5^4}{7^4}\end{aligned}$

Ist der Exponent eine ungerade Zahl, so bleibt der Bruch negativ.

Ist der Exponent eine gerade Zahl, wird der potenzierte Bruch positiv.

$\left(-\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}$

Begründung: $\left(-\frac34\right)^2=\frac{\left(-3\right)^2}{\left(4\right)^2}=\frac9{16}$

$\left(-\frac{3}{4}\right)^3=-\frac{27}{64}$

Begründung: $\left(-\frac34\right)^3=\frac{\left(-3\right)^3}{\left(4\right)^3}=\frac{-27}{64}=-\frac{27}{64}$

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