Potenzgesetze

$\;\;2^3\cdot 2^2=2^{3+2}$ $\\$ $=(2\cdot 2\cdot 2)\cdot (2\cdot 2)\\ = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 2^{5}$

$\;\;a^x\cdot a^y=a^{x+y}$

Multiplikation bei $\\\\$gleicher Basis $a$

$\,\,\frac{2^3}{2^2}=2^{3-2}$ $\\$ $=\frac{2\cdot2\cdot2\;}{2\cdot2}\\ = 2^1 = 2^{3-2}$

$\,\,\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$

Division bei $\\\\$gleicher Basis $a$

$\;\;2^3\cdot 3^3=\left(2\cdot 3\right)^3$ $\\$ $= ( 2\cdot 2\cdot 2 ) \cdot ( 3\cdot 3\cdot 3 )\\ = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3)\\ = (2 \cdot 3)^3$

$\;\;a^x\cdot b^x=\left(a\cdot b\right)^x$

Multiplikation bei $\\\\$gleichem Exponenten $x$

$\frac{2^3}{3^3}=\left(\frac 2 3\right)^3$ $\\$ $= \frac{2\cdot 2\cdot 2}{3\cdot 3\cdot 3}\\= \frac 2 3 \cdot \frac 2 3 \cdot \frac 2 3\\= \left(\frac 2 3\right)^3$

$\frac{a^x}{b^x}=\left(\frac{a}{b}\right)^x$

Division bei $\\\\$gleichem Exponenten $x$

$\left(-2\right)^6=2^6$ $\\$ $=(-2)^2\cdot(-2)^2\cdot(-2)^2\\=2^2\cdot2^2\cdot2^2\\= 2^6$

$\left(-a\right)^x=a^x$

Negative Basis und $\\\\$gerader Exponent.

$\left(-2\right)^5=-(2^5)$ $\\$ $=(-2)^2\cdot(-2)^2\cdot(-2)\\=2^2\cdot2^2\cdot(-2)\\= -(2^5)$

$\left(-a\right)^x=-(a^x)$

Negative Basis und $\\\\$ungerader Exponent.

$2^0=1$ $\\$ $2^2 = 2 \cdot 2 = 2 \cdot 2 \cdot 1 \\ 2^1= 2 = 2 \cdot 1 \\ 2^0= 1$

$a^0=1$

Null im Exponenten $\\\\$bei beliebiger Basis $a\neq 0$

$2^{-3}=\frac{1}{2^3}$ $\\$ $1=2^0=2^{3+(-3)}\\=2^3\cdot 2^{-3}\\$ Damit dies $1$ ist, muss $\\$ $2^{-3}=\frac1{2^3}\\$ gelten, denn $\\$ $2^3\cdot\frac1{2^3}=\frac{2^3}{2^3}=1$

$a^{-x}=\frac1{a^x}$

Negative Exponenten

$2^\frac 1 3 =\sqrt[3]2$ $\\\\$ $2=2^1=2^{\frac13 \cdot 3}\\=\left(2^{\frac13}\right)^3\\$ Damit dies $2$ ist, muss $\\\\$ $2^{\frac13}=\sqrt[3]2$ gelten, $\\\\$ denn $\left(\sqrt[3]{2}\right)^3=2$

$a^\frac1n=\sqrt[n]a$

Einheitsbrüche $\\\\$im Exponenten