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Potenzgesetze

Die Potenzgesetze zeigen, wie sich Potenzen verhalten, wenn man sie multipliziert, dividiert oder mehrfach potenziert.

Die Potenzgesetze

Beispiele

Allgemeine Form

Bezeichnung

    2322=23+2\;\;2^3\cdot 2^2=2^{3+2} \\ =(222)(22)=22222=25=(2\cdot 2\cdot 2)\cdot (2\cdot 2)\\ = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 2^{5}

Multiplikation bei \\\\gleicher Basis aa

2322=232\,\,\frac{2^3}{2^2}=2^{3-2} \\ =222  22=21=232=\frac{2\cdot2\cdot2\;}{2\cdot2}\\ = 2^1 = 2^{3-2}

Division bei \\\\gleicher Basis aa

    2333=(23)3\;\;2^3\cdot 3^3=\left(2\cdot 3\right)^3 \\ =(222)(333)=(23)(23)(23)=(23)3= ( 2\cdot 2\cdot 2 ) \cdot ( 3\cdot 3\cdot 3 )\\ = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3)\\ = (2 \cdot 3)^3

Multiplikation bei \\\\gleichem Exponenten xx

2333=(23)3\frac{2^3}{3^3}=\left(\frac 2 3\right)^3 \\ =222333=232323=(23)3= \frac{2\cdot 2\cdot 2}{3\cdot 3\cdot 3}\\= \frac 2 3 \cdot \frac 2 3 \cdot \frac 2 3\\= \left(\frac 2 3\right)^3

Division bei \\\\gleichem Exponenten xx

    (23)2=232\;\;\left(2^3\right)^2=2^{3\cdot 2} \\ =(222)2=(222)(222)=222222=26=232= ( 2 \cdot 2 \cdot 2 )^2 \\= ( 2 \cdot 2 \cdot 2 ) \cdot ( 2 \cdot 2 \cdot 2 )\\= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \\ = 2^6 = 2^{3\cdot 2}

Mehrfache Potenzen

Häufige Spezialfälle

Beispiel

Allgemein Form

Bezeichnung

(2)6=26\left(-2\right)^6=2^6 \\ =(2)2(2)2(2)2=222222=26=(-2)^2\cdot(-2)^2\cdot(-2)^2\\=2^2\cdot2^2\cdot2^2\\= 2^6

Negative Basis und \\\\gerader Exponent.

(2)5=(25)\left(-2\right)^5=-(2^5) \\ =(2)2(2)2(2)=2222(2)=(25)=(-2)^2\cdot(-2)^2\cdot(-2)\\=2^2\cdot2^2\cdot(-2)\\= -(2^5)

Negative Basis und \\\\ungerader Exponent.

20=12^0=1 \\ 22=22=22121=2=2120=12^2 = 2 \cdot 2 = 2 \cdot 2 \cdot 1 \\ 2^1= 2 = 2 \cdot 1 \\ 2^0= 1

Null im Exponenten \\\\bei beliebiger Basis a0a\neq 0

23=1232^{-3}=\frac{1}{2^3} \\ 1=20=23+(3)=23231=2^0=2^{3+(-3)}\\=2^3\cdot 2^{-3}\\ Damit dies 11 ist muss \\ 23=1232^{-3}=\frac1{2^3}\\ gelten, denn \\ 23123=2323=12^3\cdot\frac1{2^3}=\frac{2^3}{2^3}=1

Negative Exponenten

213=232^\frac 1 3 =\sqrt[3]2 \\\\ 2=21=2133=(213)32=2^1=2^{\frac13 \cdot 3}\\=\left(2^{\frac13}\right)^3\\ Damit dies 22 ist, muss \\\\ 213=232^{\frac13}=\sqrt[3]2 gelten, \\\\ denn (23)3=2\left(\sqrt[3]{2}\right)^3=2

Einheitsbrüche \\\\im Exponenten

223=2232^\frac 23=\sqrt[3]{2^2} \\ =2213=(22)13=223=2^{2 \cdot \frac13} = \left(2^2\right)^{\frac13}\\=\sqrt[3]{2^2}

Allgemeine Brüche \\\\im Exponenten

Übungsaufgaben

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Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

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