Aufgaben zu Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Hier kannst du dein Verständnis über das Thema Potenzen vertiefen und mit gemischten Aufgaben üben.

Ordne die Potenzen zu

Ziehe die Zahlen auf die richtige Potenz.

2
Berechne jeweils:
1. $5^{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $5^{3}$
  $=5\cdot5\cdot5$
  $= 125$
  Die gesuchte Lösung ist $125$ .
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  Ein häufiger Fehler ist es, $5\cdot 3$ zu rechnen. So ist die Potenz nicht definiert.
2. $- 5^{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $- 5^{3}$
  $=-(5\cdot5\cdot5)$
  $= - 125$
  Die gesuchte Lösung ist $- 125$ .
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  Ein häufiger Fehler ist es, $5\cdot 3$ zu rechnen. So ist die Potenz nicht definiert. Achte darauf, das Minuszeichen mit in der Lösung anzugeben.
3. $\left(-5\right)^3$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\left(-5\right)^3$
  $=(-5)\cdot\left(-5\right)\cdot\left(-5\right)$
  $= - 125$
  Die gesuchte Lösung ist $- 125$ .
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  Schreibe die Potenz aus. Achte darauf, die Vorzeichen richtig zusammenzufassen.
4. $5^{- 3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $5^{- 3}$
  $=\left(\frac15\right)^3$
  $=\frac15\cdot\frac15\cdot\frac15$
  $=\frac1{125}$
  Die gesuchte Lösung ist $\frac{1}{125}$ .
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5. $- 5^{- 3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $- 5^{- 3}$
  $=-\left(\frac15\right)^3$
  $=-\frac15\cdot\frac15\cdot\frac15$
  $=-\frac1{125}$
  Die gesuchte Lösung ist $-\frac{1}{125}$ .
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  Wandle zuerst den negativen Exponenten um. Das Potenzgesetz $a^{-x}=\frac1{a^x}$ gilt hierbei.
6. $\left(-5\right)^{-3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\left(-5\right)^{-3}$
  $=\left(-\frac15\right)^3$
  $=(-\frac15)\cdot\left(-\frac15\right)\cdot\left(-\frac15\right)$
  $=-\frac1{125}$
  Die gesuchte Lösung ist $-\frac{1}{125}$ .
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  Wandle zuerst den negativen Exponenten um. Das Potenzgesetz $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$ gilt hierbei.
7. $\left(\frac12\right)^2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\left(\frac12\right)^2$
  $=\frac{1^2}{2^2}$
  $=\frac14$
  Die gesuchte Lösung ist $\frac{1}{4}$ .
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  Die Potenz $\left(\frac12\right)^2$ bedeutet $\left(\frac12\right)\cdot\left(\frac12\right)$ .

Umgang mit Potenzen

Klicke die richtige Lösung an!

$\displaystyle \left(\frac53\right)^{-1}=0{,}6$
$\displaystyle \left(\frac53\right)^{-1}=-\frac53$

Gib die Basis des Terms $\left(x+2\right)^4$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$(x + 2)^{4}$
Der Exponent ist $4$ . Die Basis ist demnach $(x + 2)$ .
$x + 2$
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Was stimmt?

$\displaystyle \left(\frac13\right)^{-2}=9$
$\displaystyle \left(\frac13\right)^{-2}=\frac19$
$\displaystyle \left(\frac13\right)^{-2}=-\frac19$

4
Ist das Ergebnis positiv oder negativ? Begründe deine Antwort.
$\left(-18\right)^{37}\cdot2^{17}\cdot\left(-100\right)^{18}\cdot\left(-3\right)^5$
Das Ergebnis ist positiv.
Das Ergebnis ist negativ.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation
Wir bestimmen das Vorzeichen jedes einzelnen Faktors. Potenzen von positiven Zahlen sind immer positiv (+). Für negative Zahlen sind ungerade Potenzen negativ (-) und gerade Potenzen positiv (+):
$\displaystyle \underbrace{(-18)^{37}}_{\boxed-}\cdot\underbrace{2^{17}}_{\boxed+}\cdot\underbrace{(-100)^{18}}_{\boxed+}\cdot\underbrace{(-3)^{5}}_{\boxed-}={\boxed+}$
Das Ergebnis ist also positiv.

Berechne den Wert folgender Terme.

$2^{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
$\displaystyle 2^3$ $=$ $\displaystyle 2\cdot2\cdot2$
↓
Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
$\displaystyle 2\cdot2\cdot2$ $=$ $\displaystyle 8$
Die Lösung ist $8$ .
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Die Potenz $2^{3}$ ist ausgeschrieben $2\cdot 2\cdot 2$ .

$(- 2)^{4}$

$\left(\dfrac{1}{2}\right)^4$

Einen Bruch kannst du mithilfe "/" in das Eingabefeld eingeben. Zum Beispiel schreibt man $\frac13$ als "1/3".

$1^{1001}$

$(-1)^{1001}$

6
Ermittle, ob der Betrag des Terms größer oder kleiner als 1 ist.
$\displaystyle \left(2-1{,}5\right)^{\left(-2\right)}$
Der Betrag des Terms ist kleiner als 1.
Der Betrag des Terms ist größer als 1.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit ganzzahligen Exponenten
Wandle zunächst den negativen Exponenten in einen positiven Exponenten, indem Du den Kehrwert der Basis bildest:
$\displaystyle 0{,}5^{-2}=\frac{1}{0{,}5^2}$
Schreibe den Nenner (0,5) als Bruch und berechnen den Wert des Nenners
$\displaystyle \frac{1}{0{,}5^2}=\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$
Der Betrag des Terms ist also größer als 1. Das passiert, wenn der Nenner kleiner als 1 ist, wie in diesem Fall $\frac14<1.$
Berechne zunächst den Wert der Basis: $2-1{,}5\ =\ 0{,}5$
und überlege, wie sich der Wert der Basis bei negativen Exponenten und wie bei positiven Exponenten auf das Ergebnis auswirkt.
7
Ermittle den Betrag des folgenden Terms. Ist der Betrag des Terms größer oder kleiner als 1?
$\left(\frac{3}{2}\right)^{-3}$
Der Term ist kleiner als 1.
Der Term ist größer als 1.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit ganzzahligen Exponenten
$\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^{-3}=\left(\frac{1}{\frac{3}{2}}\right)^3=\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{8}{27}<1$
Der Betrag der neuen Basis $\frac{2}{3}$ ist kleiner als 1. Diese Zahl wird mit sich selbst multipliziert, wodurch sie immer kleiner wird und damit auch kleiner als 1 bleibt.
Wandle den negativen Exponenten in einen positiven um, indem du den Kehrwert der Basis bildest.
$\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^{-3}=\left(\frac{1}{\frac{3}{2}}\right)^3$
Überlege nun, wie der Wert der neuen Basis
$\displaystyle \left(\frac{1}{\frac{3}{2}}\right)=\frac{2}{3}^{ }$
mit dem Betrag des Terms zusammenhängt.
8
Kopfrechnen mit Potenzen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
VorsichtBesondere Exponenten
Eine Zahl "hoch 0" ist immer 1. Beispiel: $8^{0} = 1$ , $1^{0} = 1$
Eine Zahl "hoch 1" ist immer die Zahl selbst. Beispiel: $6^{1} = 6$ , $10^{1} = 10$
Nimm die Basis so oft mit sich selbst mal, wie der Exponent vorgibt.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 5^0$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle 3^3$	$=$	$\displaystyle 27$
$\displaystyle 8^2$	$=$	$\displaystyle 64$
$\displaystyle 3^{-1}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}$
$\displaystyle 2^{-2}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}$
$\displaystyle 2^{-3}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{8}$
$\displaystyle 3^{-3}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{27}$

$\displaystyle \left(\frac{5}{3}\right)^{-1}$	$=$
	↓	Für negative Exponenten gilt: $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$
$\displaystyle \left(\dfrac53\right)^{-1}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\ 1\ }{(\frac{5}{3})}$
	↓	Löse den Doppelbruch auf.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{5}$
	↓	Umrechnen in Dezimalzahlen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}6$

$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$	$=$
	↓	Für negative Exponenten gilt: $a^{-x}=\frac1{a^x}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac1{\displaystyle\left(\dfrac13\right)^{2}}$
	↓	Berechne das Quadrat.
	$=$	$\displaystyle \dfrac1{\displaystyle\dfrac19}$
	↓	Beseitige den Doppelbruch.
	$=$	$\displaystyle 9$

$\displaystyle 2^3$	$=$	$\displaystyle 2\cdot2\cdot2$
	↓	Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
$\displaystyle 2\cdot2\cdot2$	$=$	$\displaystyle 8$

$\displaystyle \left(-2\right)^4$	$=$	$\displaystyle \left(-2\right)\cdot\left(-2\right)\cdot\left(-2\right)\cdot\left(-2\right)$
	↓	Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
$\displaystyle \left(-2\right)\cdot\left(-2\right)\cdot\left(-2\right)\cdot\left(-2\right)$	$=$	$\displaystyle 16$

$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^4$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}$
	↓	Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{16}$

$\displaystyle 1^{1001}$	$=$	$\displaystyle 1\cdot1\cdot1\cdot.......\cdot1$
	↓	Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
$\displaystyle 1\cdot1\cdot1\cdot.......\cdot1$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle \left(-1\right)^{1001}$	$=$	$\displaystyle \left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)....\cdot\left(-1\right)$
	↓	Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
$\displaystyle \left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)....\cdot\left(-1\right)$	$=$	$\displaystyle -1$

Aufgaben zu Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Ordne die Potenzen zu

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Kopfrechnen mit Potenzen