Aufgaben zur Symmetrie von Graphen

Lerne hier wie du die Symmetrie von Graphen bestimmen kannst. Du findest heraus, ob Graphen achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch sind.

1
Entscheide, ob der Graph der ganzrationalen Funktion $f$ punktsymmetrisch bzgl. des Ursprungs oder achsensymmetrisch bzgl. der $y$ -Achse ist oder ob keine der beiden Symmetrien vorliegt.
1. $f(x)=3$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Die Funktion ist eine Parallele zur $x$ -Achse, und somit sicher achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
  In der Funktion $f(x)=3$ ist $x$ nicht enthalten. Bekannterweise ist $x^0=1$ . Wir können die Funktion also folgendermaßen ergänzen:
  Der Exponent von $x$ ist $0$ , also gerade.
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse
  Durch Berechnung
  $f(x)=3$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(-x)=3$
  $f(-x)=f(x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse
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2. $f(x)=15x$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Der Exponent von $x$ sind ungerade.
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Durch Berechnung
  $f(x)=15x$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(-x)=15(-x)=-15x$
  $-f(x)=-15x$
  $f(-x)=-f(x)$
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs
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3. $f(x)=4x+1$
  Achsensymmetrie zur y-Achse
  Punktsymmetrie zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Bekannterweise ist $x^0=1$ . Man kann also die Funktion folgendermaßen ergänzen:
  $f(x)=4x+1\cdot x^0$
  Ein Exponent zur Basis $x$ ist ungerade, ein Exponent ist gerade.
  $\Rightarrow$ Es liegt keine Achsensymmetrie zur $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
  Durch Berechnung
  $f(x)=4x+1$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(-x)=4\cdot(-x)+1=-4x+1$
  $f(-x)\neq f(x)$
  $\Rightarrow$ Keine Achsensymmetrie zu $y$ -Achse
  $-f(x)=-(4x+1)=-4x-1$
  $f(-x)\neq-f(x)$
  $\Rightarrow$ Keine Punktsymmetrie zum Ursprung
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4. $f(x)=-6x^2$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Der Exponent von $x$ ist gerade.
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse.
  Durch Berechnung
  $f(x)=-6x^2$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(-x)=-6(-x)^2=-6x^2$
  $f(-x)=f(x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur y-Achse
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5. $f(x)=6x^3-3{,}5x$
  Achsensymmetrie zur y-Achse
  Punktsymmetrie zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Alle Exponenten von $x$ sind ungerade.
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Durch Berechnung
  $f(x)=6x^3-3{,}5x$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(-x)=6\left(-x\right)^3-3{,}5\left(-x\right)$
  $\phantom{f(-x)}=-6x^3+3{,}5x=(-1)\cdot(6x^3-3{,}5x)=-f(x)$
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
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6. $f(x)=-4x^4-8$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Alle Exponenten zur Basis $x$ sind gerade.
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse.
  Durch Berechnung
  $f(x)=-4x^4-8$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(-x)=-4\cdot(-x)^4-8$
  $\phantom{f(-x)}=-4x^4-8=f(x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse.
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7. $f(x)=6x^2+10-7x^4$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Alle Exponenten zur Basis $x$ sind gerade.
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse.
  Durch Berechnung
  $f(x)=6x^2+10-7x^4$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(-x)=6\cdot(-x)^2+10-7\cdot(-x)^4$
  $\phantom{f(-x)}=6x^2+10-7x^4=f(x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse
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8. $f(x)=-x^5+2x^4-3x^3+x^2$
  Achsensymmetrie zur y-Achse
  Punktsymmetrie zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $f$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $f$ nicht achsensymmetrisch bezüglich zur $y$ -Achse.
  Insgesamt besitzt $f$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Durch Berechnung
  $f(x)=-x^5+2x^4-3x^3+x^2$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(-x)=-(-x)^5+2(-x)^4-3(-x)^3+(-x)^2$
  $\phantom{f(-x)}=x^5+2x^4+3x^3+x^2$
  Das ist weder $f$ , noch $-f$ . Also liegt keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
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9. $f(x)=(2x-3)^2$
  Achsensymmetrie zur y-Achse
  Punktsymmetrie zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  $f(x)=(2x-3)^2$
  
  Benutze die 2. binomische Formel, um die Klammer aufzulösen.
  $f(x)=4x^2-12x+9$
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Die Exponenten zur Basis $x$ sind sowohl gerade als auch ungerade.
  $\Rightarrow$ Keine Achsensymmetrie zur $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung.
  Durch Berechnung
  $f(x)=4x^2-12x+9$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(-x)=4(-x)^2-12(-x)+9$
  Rechne aus
  $f(-x)=4x^2+12x+9$
  $f(-x)\neq f(x)$
  $\Rightarrow$ Keine Achsensymmetrie zur y-Achse
  $-f(x)=-(4x^2-12x+9)$
  $-f(x)=-4x^2+12x-9$
  $f(-x)\neq -f(x)$
  $\Rightarrow$ Keine Punktsymmetrie zum Ursprung
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10. $f(x)=x^5(x+3)(x+2)$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  $f(x)=x^5\left(x+3\right)\left(x+2\right)$
  Multipliziere aus, um die Überprüfung einfacher zu machen.
  $f(x)=x^5\left(x+3\right)\left(x+2\right)=(x^6+3x^5)\cdot(x+2)=x^7+2x^6+3x^6+6x^5=x^7+5x^6+6x^5$
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $f$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $f$ nicht achsensymmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.
  Insgesamt besitzt $f$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Durch Berechnung
  $f\left(x\right)=x^7+5x^6+6x^5$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f\left(-x\right)=\left(-x\right)^7+5\left(-x\right)^6+6\left(-x\right)^5$
  $\phantom{f(-x)}=-x^7+5x^6-6x^5$
  Das ist weder $f$ , noch $-f$ . Also liegt keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
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11. $f(x)=x^7-3x^5+x$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Alle Exponenten zur Basis $x$ sind ungerade.
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Durch Berechnung
  $f(x)=x^7-3x^5+x$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(-x)=\left(-x\right)^7-3\left(-x\right)^5+\left(-x\right)$
  $\phantom{f(-x)}=[(-1)\cdot x]^7-3[(-1)\cdot x]^5+(-1)\cdot x$
  $\phantom{f(-x)}=(-1)^7\cdot x^7-3\cdot(-1)^5\cdot x^5+(-1)\cdot x$
  $\phantom{f(-x)}=(-1)\cdot x^7-3\cdot(-1)\cdot x^5+(-1)\cdot x$
  $\phantom{f(-x)}=(-1)\cdot(x^7-3x^5+x)=-f(x)$
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
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12. $f(x)=-\frac23x^5+\frac34x$
  keine Symmetrie
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Alle Exponenten zur Basis $x$ sind ungerade.
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Durch Berechnung
  $f(x)=-\frac23x^5+\frac34x$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(-x)=-\frac23(-x)^5+\frac34(-x)$
  $\phantom{f(-x)}=\frac23x^5-\frac34x$
  $\phantom{f(-x)}=-\left(-\frac23x^5+\frac34x\right)=-f(x)$
  $\Rightarrow$ Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
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13. $f(x)=\frac12x^3-\frac12x^2-3$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $f$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $f$ nicht achsensymmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.
  Insgesamt besitzt $f$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Durch Berechnung
  $f(x)=\frac12x^3-\frac12x^2-3$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(-x)=\frac12\left(-x\right)^3-\frac12(-x)^2-3$
  $\phantom{f(-x)}=-\frac12x^3-\frac12x-3$
  Das ist weder $f$ , noch $-f$ . Also liegt keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
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2
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Untersuche die Funktionen auf Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse bzw. Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs (Nullpunkt des Koordinatensystems):
1. $f(x)=x^{11}-x^5+2x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung
  Die Exponenten zur Basis $x$ sind hier: $11$ , $5$ und $1$ . Es sind also alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade.
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Durch Berechnung
  $f(x)=x^{11}-x^5+2x$
  Setzte $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(-x)=(-x)^{11}-(-x)^5+2(-x)$
  $\phantom{f(-x)}=-x^{11}+x^5-2x$
  $\phantom{f(-x)}=-(x^{11}-x^5+2x)=-f(x)$
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  $-f(x)=-(x^{11}-x^5+2x)$
  $\phantom{f(-x)}=-x^{11}+x^5-2x$
  $-f(x)\neq f(x)$
  $\Rightarrow$ Keine Symmetrie bezüglich der y-Achse.
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2. $f(x)=x^6-9x^4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung
  Die Exponenten zur Basis $x$ sind hier: $6$ und $4$ .
  Sie sind also alle gerade.
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse.
  Durch Berechnung
  Setzte $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(x)=x^6-9x^4$
  $f(-x)=(-x)^6-9(-x)^4$
  $\phantom{f(-x)}=x^6-9x^4=f(x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse.
  $-f(x)=-(x^6-9x^4)=$
  $\phantom{f(-x)}=-x^6+9x^4$
  $-f(x)\neq f(-x)$
  $\Rightarrow$ Keine Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
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3. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Berechnung überprüft.
  Forme erst die Funktion um:
  $\displaystyle f(x)=\frac{x^4+1}{x(x^3-3x)}$
  $\displaystyle \phantom{f(x)}=\frac{x^4+1}{x^4-3x^2}$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $\displaystyle f(-x)=\frac{(-x)^4+1}{(-x)^4-3(-x)^2}$
  $\displaystyle \phantom {f(-x)}=\frac{x^4+1}{x^4-3x^2}=f(x)$
  $f(-x)=f(x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.
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4. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Berechnung überprüft.
  Forme zunächst die Funktion um:
  $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x(x^2-3x)}$
  $\displaystyle \phantom{f(x)}=\frac{x^2-1}{x^3-3x^2}$
  Setzte $-x$ in $f(x)$ ein.
  $\displaystyle f(-x)=\frac{(-x)^2-1}{(-x)^3-3(-x)^2}$
  $\displaystyle \phantom{f(-x)}=\frac{x^2-1}{-x^3-3x^2}$
  $f(-x) \neq f(x)$
  $\Rightarrow$ Nicht achsensymmetrisch zur $y$ -Achse
  $f(-x) \neq -f(x)$
  $\Rightarrow$ Nicht punktsymmetrisch zum Ursprung
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3
Überprüfe die folgenden, trigonometrischen Funktionen auf Punkt- und Achsensymmetrie im Ursprung.
1. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  $f(x)=\sin x$
  Ersetze $x$ durch $-x$ .
  $f(-x)=\sin(-x)$
  $\phantom{f(-x)}=-\sin x$
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
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2. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  $f(x)=\cos x$
  Ersetze $x$ durch $-x$ .
  $f(-x)=\cos(-x)$
  $\phantom{f(-x)}=\cos x$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse.
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3. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $f\left(x\right)=\left(\sin x\cdot\cos x\right)^3$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  $f(x)=(\sin x\cdot\cos x)^3$
  Ersetze $x$ durch $-x$ .
  $f(-x)=(\sin(-x)\cdot\cos(-x))^3$
  $\phantom{f(-x)}=(-\sin(x)\cdot\cos(x))^3$
  $\phantom{f(-x)}=-(\sin x\cdot\cos x)^3=-f(x)$
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
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Zeige rechnerisch, dass der Graph der Funktion $f(x)=5x^5-6x^3+2$ punktsymmetrisch zum Punkt $P(0|2)$ ist.

Untersuche rechnerisch, ob der Graph der Funktion $k(x)=x^2+6x+7$ achsensymmetrisch zu der Geraden $x=-3$ ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie

Nachweis der Achsensymmetrie bezüglich der Geraden $x=-3$

Ist der Graph der Funktion $k$ achsensymmetrisch zu einer Geraden $x=a$ , dann gilt:

\displaystyle k(a-x)=k(a+x)

Hier ist $a=-3$ .

Es muss also nachgewiesen werden, dass $k(-3-x)=k(-3+x)$ ist.

Berechne den Funktionsterm $k(-3+x)$ :

$\displaystyle k(x)$	$=$	$\displaystyle x^2+6x+7$
	↓	Ersetze $x$ durch $-3+x$ .
$\displaystyle k(-3+x)$	$=$	$\displaystyle (-3+x)^2+6\cdot(-3+x)+7$
	↓	Löse die Klammern auf. Verwende bei der ersten Klammer eine binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle 9-6x+x^2-18+6x+7$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle x^2-2$

Somit ist $k(-3+x)=x^2-2$ .

Berechne nun den Funktionsterm $k(-3-x)$

Ersetze $x$ durch $(-x)$ :

$\displaystyle k(-3+x)$	$=$	$\displaystyle (-3+x)^2+6\cdot(-3+x)+7$
	↓	Ersetze $x$ durch $(-x)$ .
$\displaystyle k(-3+(-x))$	$=$	$\displaystyle (-3+(-x))^2+6\cdot(-3+(-x))+7$
	↓	Klammere $(-1)$ aus.
	$=$	$\displaystyle (-1)^2\cdot (3+x)^2-6\cdot(3+x)+7$
	↓	Löse die Klammern auf. Verwende für den Term $(3+x)^2$ eine binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle 9+6x+x^2-18-6x+7$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle x^2-2$

Es ist $k(-3-x)=x^2-2$ .

Somit folgt, dass $k(-3+x)=k(-3-x)=x^2-2$ ist.

Die Bedingung für Achsensymmetrie bezüglich der Geraden $x=-3$ ist also erfüllt.

Der Graph von $k$ ist achsensymmetrisch bezüglich der Geraden $x=-3$ .

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6
Entscheide anhand des Graphen, ob der gegebene Graph der Funktion
achsensymmetrisch zur y-Achse oder
punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung $O(0|0)$
ist.
1. punktsymmetrisch zu $O(0|0)$
  achsensymmetrisch zur y-Achse
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
  Zusätzliche Erläuterung:
  In der Abbildung ist die Symmetrieachse eingezeichnet.
  Der Graph auf der linken Seite der y-Achse ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
  Die Symmetrieachse ist die $y$ -Achse.
  Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
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2. achsensymmetrisch zur y-Achse
  punktsymmetrisch zu $O(0|0)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O(0|0)$ .
  Zusätzliche Erläuterung:
  1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O(0|0)$
  Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt $A$ auf den Punkt $A'$ abgebildet. Ebenso wird der Punkt $B$ auf $B'$ abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
  Also ist der Graph punktsymmetrisch zu $O(0|0)$ .
  2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O(0|0)$
  Dreht man den Graphen um $180^ \circ$
  um den Koordinatenursprung $O(0|0)$ , dann wird der Graph auf sich selbst abgebildet.
  $\Rightarrow\;$ Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
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3. achsensymmetrisch zur y-Achse
  punktsymmetrisch zu $O(0|0)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
  Zusätzliche Erläuterung:
  In der Abbildung ist die Symmetrieachse eingezeichnet.
  Der Graph auf der linken Seite der y-Achse ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
  Die Symmetrieachse ist die $y$ -Achse.
  Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
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4. punktsymmetrisch zu $O(0|0)$
  achsensymmetrisch zur y-Achse
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O(0|0)$ .
  Zusätzliche Erläuterung:
  1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O(0|0)$
  Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt $A$ auf den Punkt $A'$ abgebildet. Ebenso wird der Punkt $B$ auf $B'$ abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
  Also ist der Graph punktsymmetrisch zu $O(0|0)$ .
  2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O(0|0)$
  Dreht man den Graphen um $180^ \circ$ um den Koordinaten-ursprung $O(0|0)$ , dann wird der Graph auf sich selbst abgebildet.
  $\Rightarrow$ Der Graph ist punkt-symmetrisch zum Ursprung.
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5. achsensymmetrisch zur y-Achse
  punktsymmetrisch zu $O(0|0)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
  Zusätzliche Erläuterung:
  In der Abbildung ist die Symmetrieachse eingezeichnet.
  Der Graph auf der linken Seite der y-Achse ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
  Die Symmetrieachse ist die $y$ -Achse.
  Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
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6. punktsymmetrisch zu $O(0|0)$
  achsensymmetrisch zur y-Achse
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O(0|0)$ .
  Zusätzliche Erläuterung:
  1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O(0|0)$
  Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt $A$ auf den Punkt $A'$ abgebildet. Ebenso wird der Punkt $B$ auf $B'$ abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
  Also ist der Graph punktsymmetrisch zu $O(0|0)$ .
  2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O(0|0)$
  Dreht man den Graphen um $180^ \circ$ um den Koordinaten-ursprung $O(0|0)$ , dann wird der Graph auf sich selbst abgebildet.
  $\Rightarrow\;$ Der Graph ist punkt-symmetrisch zum Ursprung.
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7
Entscheide, welche der jeweils angegebenen Aussagen auf den Graphen zutrifft.
1. Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
  Der Graph hat keine Symmetrie.
  Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O(0|0).$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt $O(0|0)$ .
  Zusätzliche Erläuterung:
  1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O(0|0)$
  Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt $A$ auf den Punkt $A'$ abgebildet. Ebenso wird der Punkt $B$ auf $B'$ abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
  Also ist der Graph punktsymmetrisch zu $O(0|0)$ .
  2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O(0|0)$
  Dreht man den Graphen um $180^ \circ$ um den Koordinaten-ursprung $O(0|0)$ , dann wird der Graph auf sich selbst abgebildet.
  $\Rightarrow\;$ Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
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2. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt $P(-3|4)$ .
  Der Graph hat keine Symmetrie.
  Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt $P(-3|4)$ .
  Zusätzliche Erläuterung:
  1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $P(-3|4)$
  Bei Punktsymmetrie zum Punkt $P(-3|4)$ wird der Punkt $A$ auf den Punkt $A'$ abgebildet. Ebenso wird der Punkt $B$ auf $B'$ abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
  Also ist der Graph punktsymmetrisch zu $P(-3|4)$ .
  2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $P(-3|4)$
  Dreht man den Graphen um $180^ \circ$ um den Punkt $P(-3|4)$ , dann wird der Graph auf sich selbst abgebildet.
  $\Rightarrow\;$ Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
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3. Der Graph ist achsensymmetrisch zur Geraden $x=4$ .
  Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O(0|0)$ .
  Der Graph hat keine Symmetrie.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist achsensymmetrisch zur Geraden $x=4$ .
  Zusätzliche Erläuterung:
  In der Abbildung ist die Symmetrieachse $x=4$ eingezeichnet.
  Der Graph auf der linken Seite der Symmetrieachse $x=4$ ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
  Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur Geraden $x=4$ .
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4. Der Graph hat keine Symmetrie.
  Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse
  Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O(0|0)$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph hat keine Symmetrie.
  Zusätzliche Erläuterung:
  Es gibt keine Symmetrieachse, zu der der Graph der Funktion achsensymmetrisch ist und es gibt keinen Punkt, zu dem der Graph der Funktion punktsymmetrisch ist.
  $\;\Rightarrow\;$ Es liegt keine Symmetrie vor.
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8
Ziehe mit der Maus die Graphen an die richtige Position.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O(0|0)$ .
Zusätzliche Erläuterung:
Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt $A$ auf den Punkt $A'$ abgebildet. Ebenso wird der Punkt $B$ auf $B'$ abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
Also ist der Graph punktsymmetrisch zu $O(0|0)$ .
Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Zusätzliche Erläuterung:
In der Abbildung ist die Symmetrieachse eingezeichnet.
Der Graph auf der linken Seite der y-Achse ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
Die Symmetrieachse ist die $y$ -Achse.
Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O(0|0)$ .
Zusätzliche Erläuterung:
Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt $A$ auf den Punkt $A'$ abgebildet. Ebenso wird der Punkt $B$ auf $B'$ abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
Also ist der Graph punktsymmetrisch zu $O(0|0)$ .
Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O(0|0)$ .
Zusätzliche Erläuterung:
Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt $A$ auf den Punkt $A'$ abgebildet. Ebenso wird der Punkt $B$ auf $B'$ abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
Also ist der Graph punktsymmetrisch zu $O(0|0)$ .
Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Zusätzliche Erläuterung:
In der Abbildung ist die Symmetrieachse eingezeichnet.
Der Graph auf der linken Seite der y-Achse ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
Die Symmetrieachse ist die $y$ -Achse.
Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Zusätzliche Erläuterung:
In der Abbildung ist die Symmetrieachse eingezeichnet.
Der Graph auf der linken Seite der y-Achse ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
Die Symmetrieachse ist die $y$ -Achse.
Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle f\left(-x\right)+f\left(x\right)$
	↓	Setze $f(-x)$ und $f(x)$ ein.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 5(-x)^5-6(-x)^3+2+5x^5-6x^3+2$
	↓	Berechne die Klammern.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle -5x^5+6x^3+2+5x^5-6x^3+2$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 4\;\checkmark$

Aufgaben zur Symmetrie von Graphen

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Nachweis der Achsensymmetrie bezüglich der Geraden x=−3x=-3x=−3

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1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu O(0∣0)O(0|0)O(0∣0)

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu O(0∣0)O(0|0)O(0∣0)

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1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu O(0∣0)O(0|0)O(0∣0)

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu O(0∣0)O(0|0)O(0∣0)

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1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu O(0∣0)O(0|0)O(0∣0)

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu O(0∣0)O(0|0)O(0∣0)

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1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu O(0∣0)O(0|0)O(0∣0)

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu O(0∣0)O(0|0)O(0∣0)

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1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu P(−3∣4)P(-3|4)P(−3∣4)

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu P(−3∣4)P(-3|4)P(−3∣4)

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Nachweis der Achsensymmetrie bezüglich der Geraden $x=-3$

1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O(0|0)$

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O(0|0)$

1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O(0|0)$

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O(0|0)$

1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O(0|0)$

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O(0|0)$

1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O(0|0)$

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O(0|0)$

1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $P(-3|4)$

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $P(-3|4)$