Aufgaben zur Symmetrie von Graphen

Untersuche die Funktionen auf Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse bzw. Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs (Nullpunkt des Koordinatensystems):

$f(x)=x^{11}-x^5+2x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung
Die Exponenten zur Basis $x$ sind hier: $11$ , $5$ und $1$ . Es sind also alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade.
$\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Durch Berechnung
$f(x)=x^{11}-x^5+2x$
Setzte $- x$ in $f (x)$ ein.
$f(-x)=(-x)^{11}-(-x)^5+2(-x)$
$\phantom{f(-x)}=-x^{11}+x^5-2x$
$\phantom{f(-x)}=-(x^{11}-x^5+2x)=-f(x)$
$\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
$-f(x)=-(x^{11}-x^5+2x)$
$\phantom{f(-x)}=-x^{11}+x^5-2x$
$-f(x)\neq f(x)$
$\Rightarrow$ Keine Symmetrie bezüglich der y-Achse.
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$f (x) = x^{6} - 9 x^{4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung
Die Exponenten zur Basis $x$ sind hier: $6$ und $4$ .
Sie sind also alle gerade.
$\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse.
Durch Berechnung
Setzte $- x$ in $f (x)$ ein.
$f (x) = x^{6} - 9 x^{4}$
$f (- x) = (- x)^{6} - 9 (- x)^{4}$
$\phantom{f(-x)}=x^6-9x^4=f(x)$
$\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse.
$- f (x) = - (x^{6} - 9 x^{4}) =$
$\phantom{f(-x)}=-x^6+9x^4$
$-f(x)\neq f(-x)$
$\Rightarrow$ Keine Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
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$\displaystyle f(x)=\frac{x^4+1}{x\left(x^3-3x\right)}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Berechnung überprüft.
Forme erst die Funktion um:
$\displaystyle f(x)=\frac{x^4+1}{x(x^3-3x)}$
$\displaystyle \phantom{f(x)}=\frac{x^4+1}{x^4-3x^2}$
Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
$\displaystyle f(-x)=\frac{(-x)^4+1}{(-x)^4-3(-x)^2}$
$\displaystyle \phantom {f(-x)}=\frac{x^4+1}{x^4-3x^2}=f(x)$
$f (- x) = f (x)$
$\Rightarrow$ Achsensymmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.
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$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x\left(x^2-3x\right)}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Berechnung überprüft.
Forme zunächst die Funktion um:
$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x(x^2-3x)}$
$\displaystyle \phantom{f(x)}=\frac{x^2-1}{x^3-3x^2}$
Setzte $- x$ in $f (x)$ ein.
$\displaystyle f(-x)=\frac{(-x)^2-1}{(-x)^3-3(-x)^2}$
$\displaystyle \phantom{f(-x)}=\frac{x^2-1}{-x^3-3x^2}$
$f(-x) \neq f(x)$
$\Rightarrow$ Nicht achsensymmetrisch zur $y$ -Achse
$f(-x) \neq -f(x)$
$\Rightarrow$ Nicht punktsymmetrisch zum Ursprung
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Durch Betrachtung

Durch Berechnung

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Durch Betrachtung

Durch Berechnung

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