Aufgaben zur Symmetrie von Graphen

Lerne hier wie du die Symmetrie von Graphen bestimmen kannst. Du findest heraus, ob Graphen achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch sind.

1
Entscheide, ob der Graph der ganzrationalen Funktion $f$ punktsymmetrisch bzgl. des Ursprungs oder achsensymmetrisch bzgl. der $y$ -Achse ist oder ob keine der beiden Symmetrien vorliegt.
1. $f (x) = 3$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Die Funktion ist eine Parallele zur $x$ -Achse, und somit sicher achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
  In der Funktion $f (x) = 3$ ist $x$ nicht enthalten. Bekannterweise ist $x^{0} = 1$ . Wir können die Funktion also folgendermaßen ergänzen:
  $f (x) = 3 \cdot 1 = 3 \cdot x^{0^{}}$
  Der Exponent von $x$ ist $0$ , also gerade.
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse
  Durch Berechnung
  $f (x) = 3$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = 3$
  $f (- x) = f (x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse
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2. $f (x) = 15 x$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Der Exponent von $x$ sind ungerade.
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Durch Berechnung
  $f (x) = 15 x$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = 15 (- x) = - 15 x$
  $- f (x) = - 15 x$
  $f (- x) = - f (x)$
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs
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3. $f (x) = 4 x + 1$
  Achsensymmetrie zur y-Achse
  Punktsymmetrie zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Bekannterweise ist $x^{0} = 1$ . Man kann also die Funktion folgendermaßen ergänzen:
  $f (x) = 4 x + 1 \cdot x^{0}$
  Ein Exponent zur Basis $x$ ist ungerade, ein Exponent ist gerade.
  $\Rightarrow$ Es liegt keine Achsensymmetrie zur $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
  Durch Berechnung
  $f (x) = 4 x + 1$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = 4 \cdot (- x) + 1 = - 4 x + 1$
  $f (- x) \neq f (x)$
  $\Rightarrow$ Keine Achsensymmetrie zu $y$ -Achse
  $- f (x) = - (4 x + 1) = - 4 x - 1$
  $f (- x) \neq - f (x)$
  $\Rightarrow$ Keine Punktsymmetrie zum Ursprung
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4. $f (x) = - 6 x^{2}$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Der Exponent von $x$ ist gerade.
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse.
  Durch Berechnung
  $f (x) = - 6 x^{2}$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = - 6 (- x)^{2} = - 6 x^{2}$
  $f (- x) = f (x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur y-Achse
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5. $f (x) = 6 x^{3} - 3,5 x$
  Achsensymmetrie zur y-Achse
  Punktsymmetrie zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Alle Exponenten von $x$ sind ungerade.
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Durch Berechnung
  $f (x) = 6 x^{3} - 3,5 x$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = 6 {(- x)}^{3} - 3,5 (- x)$
  $= - 6 x^{3} + 3,5 x = (- 1) \cdot (6 x^{3} - 3,5 x) = - f (x)$
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
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6. $f (x) = - 4 x^{4} - 8$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Alle Exponenten zur Basis $x$ sind gerade.
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse.
  Durch Berechnung
  $f (x) = - 4 x^{4} - 8$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = - 4 \cdot (- x)^{4} - 8$
  $= - 4 x^{4} - 8 = f (x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse.
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7. $f (x) = 6 x^{2} + 10 - 7 x^{4}$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Alle Exponenten zur Basis $x$ sind gerade.
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse.
  Durch Berechnung
  $f (x) = 6 x^{2} + 10 - 7 x^{4}$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = 6 \cdot (- x)^{2} + 10 - 7 \cdot (- x)^{4}$
  $= 6 x^{2} + 10 - 7 x^{4} = f (x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse
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8. $f (x) = - x^{5} + 2 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2}$
  Achsensymmetrie zur y-Achse
  Punktsymmetrie zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $f$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $f$ nicht achsensymmetrisch bezüglich zur $y$ -Achse.
  Insgesamt besitzt $f$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Durch Berechnung
  $f (x) = - x^{5} + 2 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2}$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = - (- x)^{5} + 2 (- x)^{4} - 3 (- x)^{3} + (- x)^{2}$
  $= x^{5} + 2 x^{4} + 3 x^{3} + x^{2}$
  Das ist weder $f$ , noch $- f$ . Also liegt keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
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9. $f (x) = (2 x - 3)^{2}$
  Achsensymmetrie zur y-Achse
  Punktsymmetrie zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  $f (x) = (2 x - 3)^{2}$
  
  Benutze die 2. binomische Formel, um die Klammer aufzulösen.
  $f (x) = 4 x^{2} - 12 x + 9$
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Die Exponenten zur Basis $x$ sind sowohl gerade als auch ungerade.
  $\Rightarrow$ Keine Achsensymmetrie zur $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung.
  Durch Berechnung
  $f (x) = 4 x^{2} - 12 x + 9$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = 4 (- x)^{2} - 12 (- x) + 9$
  Rechne aus
  $f (- x) = 4 x^{2} + 12 x + 9$
  $f (- x) \neq f (x)$
  $\Rightarrow$ Keine Achsensymmetrie zur y-Achse
  $- f (x) = - (4 x^{2} - 12 x + 9)$
  $- f (x) = - 4 x^{2} + 12 x - 9$
  $f (- x) \neq - f (x)$
  $\Rightarrow$ Keine Punktsymmetrie zum Ursprung
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10. $f (x) = x^{5} (x + 3) (x + 2)$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  $f (x) = x^{5} (x + 3) (x + 2)$
  Multipliziere aus, um die Überprüfung einfacher zu machen.
  $f (x) = x^{5} (x + 3) (x + 2) = (x^{6} + 3 x^{5}) \cdot (x + 2) = x^{7} + 2 x^{6} + 3 x^{6} + 6 x^{5} = x^{7} + 5 x^{6} + 6 x^{5}$
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $f$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $f$ nicht achsensymmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.
  Insgesamt besitzt $f$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Durch Berechnung
  $f (x) = x^{7} + 5 x^{6} + 6 x^{5}$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = {(- x)}^{7} + 5 {(- x)}^{6} + 6 {(- x)}^{5}$
  $= - x^{7} + 5 x^{6} - 6 x^{5}$
  Das ist weder $f$ , noch $- f$ . Also liegt keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
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11. $f (x) = x^{7} - 3 x^{5} + x$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Alle Exponenten zur Basis $x$ sind ungerade.
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Durch Berechnung
  $f (x) = x^{7} - 3 x^{5} + x$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = {(- x)}^{7} - 3 {(- x)}^{5} + (- x)$
  $= [(- 1) \cdot x]^{7} - 3 [(- 1) \cdot x]^{5} + (- 1) \cdot x$
  $= (- 1)^{7} \cdot x^{7} - 3 \cdot (- 1)^{5} \cdot x^{5} + (- 1) \cdot x$
  $= (- 1) \cdot x^{7} - 3 \cdot (- 1) \cdot x^{5} + (- 1) \cdot x$
  $= (- 1) \cdot (x^{7} - 3 x^{5} + x) = - f (x)$
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
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12. $f (x) = - \frac{2}{3} x^{5} + \frac{3}{4} x$
  keine Symmetrie
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Alle Exponenten zur Basis $x$ sind ungerade.
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Durch Berechnung
  $f (x) = - \frac{2}{3} x^{5} + \frac{3}{4} x$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = - \frac{2}{3} (- x)^{5} + \frac{3}{4} (- x)$
  $= \frac{2}{3} x^{5} - \frac{3}{4} x$
  $= - (- \frac{2}{3} x^{5} + \frac{3}{4} x) = - f (x)$
  $\Rightarrow$ Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
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13. $f (x) = \frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 3$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $f$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $f$ nicht achsensymmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.
  Insgesamt besitzt $f$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Durch Berechnung
  $f (x) = \frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 3$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = \frac{1}{2} {(- x)}^{3} - \frac{1}{2} (- x)^{2} - 3$
  $= - \frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{2} x - 3$
  Das ist weder $f$ , noch $- f$ . Also liegt keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
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2
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Untersuche die Funktionen auf Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse bzw. Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs (Nullpunkt des Koordinatensystems):
1. $f (x) = x^{11} - x^{5} + 2 x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung
  Die Exponenten zur Basis $x$ sind hier: $11$ , $5$ und $1$ . Es sind also alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade.
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Durch Berechnung
  $f (x) = x^{11} - x^{5} + 2 x$
  Setzte $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = (- x)^{11} - (- x)^{5} + 2 (- x)$
  $= - x^{11} + x^{5} - 2 x$
  $= - (x^{11} - x^{5} + 2 x) = - f (x)$
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  $- f (x) = - (x^{11} - x^{5} + 2 x)$
  $= - x^{11} + x^{5} - 2 x$
  $- f (x) \neq f (x)$
  $\Rightarrow$ Keine Symmetrie bezüglich der y-Achse.
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2. $f (x) = x^{6} - 9 x^{4}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung
  Die Exponenten zur Basis $x$ sind hier: $6$ und $4$ .
  Sie sind also alle gerade.
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse.
  Durch Berechnung
  Setzte $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (x) = x^{6} - 9 x^{4}$
  $f (- x) = (- x)^{6} - 9 (- x)^{4}$
  $= x^{6} - 9 x^{4} = f (x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse.
  $- f (x) = - (x^{6} - 9 x^{4}) =$
  $= - x^{6} + 9 x^{4}$
  $- f (x) \neq f (- x)$
  $\Rightarrow$ Keine Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
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3. $f (x) = \frac{x^{4} + 1}{x (x^{3} - 3 x)}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Berechnung überprüft.
  Forme erst die Funktion um:
  $f (x) = \frac{x^{4} + 1}{x (x^{3} - 3 x)}$
  $= \frac{x^{4} + 1}{x^{4} - 3 x^{2}}$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = \frac{(- x)^{4} + 1}{(- x)^{4} - 3 (- x)^{2}}$
  $= \frac{x^{4} + 1}{x^{4} - 3 x^{2}} = f (x)$
  $f (- x) = f (x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.
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4. $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x (x^{2} - 3 x)}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Berechnung überprüft.
  Forme zunächst die Funktion um:
  $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x (x^{2} - 3 x)}$
  $= \frac{x^{2} - 1}{x^{3} - 3 x^{2}}$
  Setzte $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = \frac{(- x)^{2} - 1}{(- x)^{3} - 3 (- x)^{2}}$
  $= \frac{x^{2} - 1}{- x^{3} - 3 x^{2}}$
  $f (- x) \neq f (x)$
  $\Rightarrow$ Nicht achsensymmetrisch zur $y$ -Achse
  $f (- x) \neq - f (x)$
  $\Rightarrow$ Nicht punktsymmetrisch zum Ursprung
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3
Überprüfe die folgenden, trigonometrischen Funktionen auf Punkt- und Achsensymmetrie im Ursprung.
1. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $f (x) = \sin (x)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  $f (x) = \sin x$
  Ersetze $x$ durch $- x$ .
  $f (- x) = \sin (- x)$
  $= - \sin x$
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
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2. $f (x) = \cos (x)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  $f (x) = \cos x$
  Ersetze $x$ durch $- x$ .
  $f (- x) = \cos (- x)$
  $= \cos x$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse.
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3. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $f (x) = {(\sin x \cdot \cos x)}^{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  $f (x) = (\sin x \cdot \cos x)^{3}$
  Ersetze $x$ durch $- x$ .
  $f (- x) = (\sin (- x) \cdot \cos (- x))^{3}$
  $= (- \sin (x) \cdot \cos (x))^{3}$
  $= - (\sin x \cdot \cos x)^{3} = - f (x)$
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
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4
Zeige rechnerisch, dass der Graph der Funktion $f (x) = 5 x^{5} - 6 x^{3} + 2$ punktsymmetrisch zum Punkt $P (0 | 2)$ ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Liegt eine Punktsymmetrie zu einem Punkt $P (a | b)$ vor, dann gilt:
$f (a - x) - b = - f (a + x) + b \Rightarrow$ $f (a - x) + f (a + x) = 2 \cdot b$
Hier ist $a = 0$ und $b = 2$ .
Es muss also nachgewiesen werden, dass $f (0 - x) + f (0 + x) = 2 \cdot 2$ ist, d.h. es muss gelten: $f (- x) + f (x) = 4$
$4$ $=$ $f (- x) + f (x)$
↓
Setze $f (- x)$ und $f (x)$ ein.
$4$ $=$ $5 (- x)^{5} - 6 (- x)^{3} + 2 + 5 x^{5} - 6 x^{3} + 2$
↓
Berechne die Klammern.
$4$ $=$ $- 5 x^{5} + 6 x^{3} + 2 + 5 x^{5} - 6 x^{3} + 2$
↓
Fasse zusammen.
$4$ $=$ $4 ✓$
Damit ist nachgewiesen, dass der Graph von $f$ punktsymmetrisch bezüglich des Punktes $P (0 | 2)$ ist.

Untersuche rechnerisch, ob der Graph der Funktion $k (x) = x^{2} + 6 x + 7$ achsensymmetrisch zu der Geraden $x = - 3$ ist.

6
Entscheide anhand des Graphen, ob der gegebene Graph der Funktion
achsensymmetrisch zur y-Achse oder
punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung $O (0 | 0)$
ist.
1. punktsymmetrisch zu $O (0 | 0)$
  achsensymmetrisch zur y-Achse
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
  Zusätzliche Erläuterung:
  In der Abbildung ist die Symmetrieachse eingezeichnet.
  Der Graph auf der linken Seite der y-Achse ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
  Die Symmetrieachse ist die $y$ -Achse.
  Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
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2. achsensymmetrisch zur y-Achse
  punktsymmetrisch zu $O (0 | 0)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O (0 | 0)$ .
  Zusätzliche Erläuterung:
  1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 | 0)$
  Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt $A$ auf den Punkt $A^{'}$ abgebildet. Ebenso wird der Punkt $B$ auf $B^{'}$ abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
  Also ist der Graph punktsymmetrisch zu $O (0 | 0)$ .
  2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 | 0)$
  Dreht man den Graphen um $180^{\circ}$
  um den Koordinatenursprung $O (0 | 0)$ , dann wird der Graph auf sich selbst abgebildet.
  $\Rightarrow$ Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
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3. achsensymmetrisch zur y-Achse
  punktsymmetrisch zu $O (0 | 0)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
  Zusätzliche Erläuterung:
  In der Abbildung ist die Symmetrieachse eingezeichnet.
  Der Graph auf der linken Seite der y-Achse ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
  Die Symmetrieachse ist die $y$ -Achse.
  Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
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4. punktsymmetrisch zu $O (0 | 0)$
  achsensymmetrisch zur y-Achse
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O (0 | 0)$ .
  Zusätzliche Erläuterung:
  1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 | 0)$
  Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt $A$ auf den Punkt $A^{'}$ abgebildet. Ebenso wird der Punkt $B$ auf $B^{'}$ abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
  Also ist der Graph punktsymmetrisch zu $O (0 | 0)$ .
  2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 | 0)$
  Dreht man den Graphen um $180^{\circ}$ um den Koordinaten-ursprung $O (0 | 0)$ , dann wird der Graph auf sich selbst abgebildet.
  $\Rightarrow$ Der Graph ist punkt-symmetrisch zum Ursprung.
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5. achsensymmetrisch zur y-Achse
  punktsymmetrisch zu $O (0 | 0)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
  Zusätzliche Erläuterung:
  In der Abbildung ist die Symmetrieachse eingezeichnet.
  Der Graph auf der linken Seite der y-Achse ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
  Die Symmetrieachse ist die $y$ -Achse.
  Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
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6. punktsymmetrisch zu $O (0 | 0)$
  achsensymmetrisch zur y-Achse
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O (0 | 0)$ .
  Zusätzliche Erläuterung:
  1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 | 0)$
  Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt $A$ auf den Punkt $A^{'}$ abgebildet. Ebenso wird der Punkt $B$ auf $B^{'}$ abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
  Also ist der Graph punktsymmetrisch zu $O (0 | 0)$ .
  2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 | 0)$
  Dreht man den Graphen um $180^{\circ}$ um den Koordinaten-ursprung $O (0 | 0)$ , dann wird der Graph auf sich selbst abgebildet.
  $\Rightarrow$ Der Graph ist punkt-symmetrisch zum Ursprung.
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7
Entscheide, welche der jeweils angegebenen Aussagen auf den Graphen zutrifft.
1. Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
  Der Graph hat keine Symmetrie.
  Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O (0 | 0) .$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt $O (0 | 0)$ .
  Zusätzliche Erläuterung:
  1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 | 0)$
  Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt $A$ auf den Punkt $A^{'}$ abgebildet. Ebenso wird der Punkt $B$ auf $B^{'}$ abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
  Also ist der Graph punktsymmetrisch zu $O (0 | 0)$ .
  2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 | 0)$
  Dreht man den Graphen um $180^{\circ}$ um den Koordinaten-ursprung $O (0 | 0)$ , dann wird der Graph auf sich selbst abgebildet.
  $\Rightarrow$ Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
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2. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt $P (- 3 | 4)$ .
  Der Graph hat keine Symmetrie.
  Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt $P (- 3 | 4)$ .
  Zusätzliche Erläuterung:
  1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $P (- 3 | 4)$
  Bei Punktsymmetrie zum Punkt $P (- 3 | 4)$ wird der Punkt $A$ auf den Punkt $A^{'}$ abgebildet. Ebenso wird der Punkt $B$ auf $B^{'}$ abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
  Also ist der Graph punktsymmetrisch zu $P (- 3 | 4)$ .
  2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $P (- 3 | 4)$
  Dreht man den Graphen um $180^{\circ}$ um den Punkt $P (- 3 | 4)$ , dann wird der Graph auf sich selbst abgebildet.
  $\Rightarrow$ Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
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3. Der Graph ist achsensymmetrisch zur Geraden $x = 4$ .
  Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O (0 | 0)$ .
  Der Graph hat keine Symmetrie.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist achsensymmetrisch zur Geraden $x = 4$ .
  Zusätzliche Erläuterung:
  In der Abbildung ist die Symmetrieachse $x = 4$ eingezeichnet.
  Der Graph auf der linken Seite der Symmetrieachse $x = 4$ ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
  Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur Geraden $x = 4$ .
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4. Der Graph hat keine Symmetrie.
  Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse
  Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O (0 | 0)$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph hat keine Symmetrie.
  Zusätzliche Erläuterung:
  Es gibt keine Symmetrieachse, zu der der Graph der Funktion achsensymmetrisch ist und es gibt keinen Punkt, zu dem der Graph der Funktion punktsymmetrisch ist.
  $\Rightarrow$ Es liegt keine Symmetrie vor.
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8
Ziehe mit der Maus die Graphen an die richtige Position.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O (0 | 0)$ .
Zusätzliche Erläuterung:
Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt $A$ auf den Punkt $A^{'}$ abgebildet. Ebenso wird der Punkt $B$ auf $B^{'}$ abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
Also ist der Graph punktsymmetrisch zu $O (0 | 0)$ .
Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Zusätzliche Erläuterung:
In der Abbildung ist die Symmetrieachse eingezeichnet.
Der Graph auf der linken Seite der y-Achse ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
Die Symmetrieachse ist die $y$ -Achse.
Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O (0 | 0)$ .
Zusätzliche Erläuterung:
Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt $A$ auf den Punkt $A^{'}$ abgebildet. Ebenso wird der Punkt $B$ auf $B^{'}$ abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
Also ist der Graph punktsymmetrisch zu $O (0 | 0)$ .
Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O (0 | 0)$ .
Zusätzliche Erläuterung:
Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt $A$ auf den Punkt $A^{'}$ abgebildet. Ebenso wird der Punkt $B$ auf $B^{'}$ abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
Also ist der Graph punktsymmetrisch zu $O (0 | 0)$ .
Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Zusätzliche Erläuterung:
In der Abbildung ist die Symmetrieachse eingezeichnet.
Der Graph auf der linken Seite der y-Achse ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
Die Symmetrieachse ist die $y$ -Achse.
Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Zusätzliche Erläuterung:
In der Abbildung ist die Symmetrieachse eingezeichnet.
Der Graph auf der linken Seite der y-Achse ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
Die Symmetrieachse ist die $y$ -Achse.
Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$4$	$=$	$f (- x) + f (x)$
	↓	Setze $f (- x)$ und $f (x)$ ein.
$4$	$=$	$5 (- x)^{5} - 6 (- x)^{3} + 2 + 5 x^{5} - 6 x^{3} + 2$
	↓	Berechne die Klammern.
$4$	$=$	$- 5 x^{5} + 6 x^{3} + 2 + 5 x^{5} - 6 x^{3} + 2$
	↓	Fasse zusammen.
$4$	$=$	$4 ✓$

$k (x)$	$=$	$x^{2} + 6 x + 7$
	↓	Ersetze $x$ durch $- 3 + x$ .
$k (- 3 + x)$	$=$	$(- 3 + x)^{2} + 6 \cdot (- 3 + x) + 7$
	↓	Löse die Klammern auf. Verwende bei der ersten Klammer eine binomische Formel.
	$=$	$9 - 6 x + x^{2} - 18 + 6 x + 7$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$x^{2} - 2$

$k (- 3 + x)$	$=$	$(- 3 + x)^{2} + 6 \cdot (- 3 + x) + 7$
	↓	Ersetze $x$ durch $(- x)$ .
$k (- 3 + (- x))$	$=$	$(- 3 + (- x))^{2} + 6 \cdot (- 3 + (- x)) + 7$
	↓	Klammere $(- 1)$ aus.
	$=$	$(- 1)^{2} \cdot (3 + x)^{2} - 6 \cdot (3 + x) + 7$
	↓	Löse die Klammern auf. Verwende für den Term $(3 + x)^{2}$ eine binomische Formel.
	$=$	$9 + 6 x + x^{2} - 18 - 6 x + 7$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$x^{2} - 2$

Aufgaben zur Symmetrie von Graphen

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Nachweis der Achsensymmetrie bezüglich der Geraden x=−3

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1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu O(0|0)

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu O(0|0)

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1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu O(0|0)

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu O(0|0)

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1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu O(0|0)

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu O(0|0)

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1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu O(0|0)

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu O(0|0)

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1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu P(−3|4)

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu P(−3|4)

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Nachweis der Achsensymmetrie bezüglich der Geraden $x = - 3$

1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 | 0)$

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 | 0)$

1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 | 0)$

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 | 0)$

1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 | 0)$

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 | 0)$

1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 | 0)$

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 | 0)$

1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $P (- 3 | 4)$

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $P (- 3 | 4)$