Aufgaben zur Symmetrie von Graphen

Lerne hier wie du die Symmetrie von Graphen bestimmen kannst. Du findest heraus, ob Graphen achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch sind.

1
Entscheide, ob der Graph der ganzrationalen Funktion $f$ punktsymmetrisch bzgl. des Ursprungs oder achsensymmetrisch bzgl. der $y$ -Achse ist oder ob keine der beiden Symmetrien vorliegt.
1. $f (x) = 3$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Die Funktion ist eine Parallele zur $x$ -Achse, und somit sicher achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
  In der Funktion $f (x) = 3$ ist $x$ nicht enthalten. Bekannterweise ist $x^{0} = 1$ . Wir können die Funktion also folgendermaßen ergänzen:
  $\displaystyle f(x)=3\cdot1=3\cdot x^{0^{ }}$
  Der Exponent von $x$ ist $0$ , also gerade.
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse
  Durch Berechnung
  $f (x) = 3$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = 3$
  $f (- x) = f (x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. $f (x) = 15 x$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Der Exponent von $x$ sind ungerade.
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Durch Berechnung
  $f (x) = 15 x$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = 15 (- x) = - 15 x$
  $- f (x) = - 15 x$
  $f (- x) = - f (x)$
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. $f (x) = 4 x + 1$
  Achsensymmetrie zur y-Achse
  Punktsymmetrie zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Bekannterweise ist $x^{0} = 1$ . Man kann also die Funktion folgendermaßen ergänzen:
  $f(x)=4x+1\cdot x^0$
  Ein Exponent zur Basis $x$ ist ungerade, ein Exponent ist gerade.
  $\Rightarrow$ Es liegt keine Achsensymmetrie zur $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
  Durch Berechnung
  $f (x) = 4 x + 1$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f(-x)=4\cdot(-x)+1=-4x+1$
  $f(-x)\neq f(x)$
  $\Rightarrow$ Keine Achsensymmetrie zu $y$ -Achse
  $- f (x) = - (4 x + 1) = - 4 x - 1$
  $f(-x)\neq-f(x)$
  $\Rightarrow$ Keine Punktsymmetrie zum Ursprung
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. $f (x) = - 6 x^{2}$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Der Exponent von $x$ ist gerade.
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse.
  Durch Berechnung
  $f (x) = - 6 x^{2}$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = - 6 (- x)^{2} = - 6 x^{2}$
  $f (- x) = f (x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur y-Achse
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5. $f(x)=6x^3-3{,}5x$
  Achsensymmetrie zur y-Achse
  Punktsymmetrie zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Alle Exponenten von $x$ sind ungerade.
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Durch Berechnung
  $f(x)=6x^3-3{,}5x$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f(-x)=6\left(-x\right)^3-3{,}5\left(-x\right)$
  $\phantom{f(-x)}=-6x^3+3{,}5x=(-1)\cdot(6x^3-3{,}5x)=-f(x)$
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
6. $f (x) = - 4 x^{4} - 8$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Alle Exponenten zur Basis $x$ sind gerade.
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse.
  Durch Berechnung
  $f (x) = - 4 x^{4} - 8$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f(-x)=-4\cdot(-x)^4-8$
  $\phantom{f(-x)}=-4x^4-8=f(x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
7. $f (x) = 6 x^{2} + 10 - 7 x^{4}$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Alle Exponenten zur Basis $x$ sind gerade.
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse.
  Durch Berechnung
  $f (x) = 6 x^{2} + 10 - 7 x^{4}$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f(-x)=6\cdot(-x)^2+10-7\cdot(-x)^4$
  $\phantom{f(-x)}=6x^2+10-7x^4=f(x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
8. $f (x) = - x^{5} + 2 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2}$
  Achsensymmetrie zur y-Achse
  Punktsymmetrie zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $f$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $f$ nicht achsensymmetrisch bezüglich zur $y$ -Achse.
  Insgesamt besitzt $f$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Durch Berechnung
  $f (x) = - x^{5} + 2 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2}$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = - (- x)^{5} + 2 (- x)^{4} - 3 (- x)^{3} + (- x)^{2}$
  $\phantom{f(-x)}=x^5+2x^4+3x^3+x^2$
  Das ist weder $f$ , noch $- f$ . Also liegt keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
9. $f (x) = (2 x - 3)^{2}$
  Achsensymmetrie zur y-Achse
  Punktsymmetrie zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  $f (x) = (2 x - 3)^{2}$
  
  Benutze die 2. binomische Formel, um die Klammer aufzulösen.
  $f (x) = 4 x^{2} - 12 x + 9$
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Die Exponenten zur Basis $x$ sind sowohl gerade als auch ungerade.
  $\Rightarrow$ Keine Achsensymmetrie zur $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung.
  Durch Berechnung
  $f (x) = 4 x^{2} - 12 x + 9$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (- x) = 4 (- x)^{2} - 12 (- x) + 9$
  Rechne aus
  $f (- x) = 4 x^{2} + 12 x + 9$
  $f(-x)\neq f(x)$
  $\Rightarrow$ Keine Achsensymmetrie zur y-Achse
  $- f (x) = - (4 x^{2} - 12 x + 9)$
  $- f (x) = - 4 x^{2} + 12 x - 9$
  $f(-x)\neq -f(x)$
  $\Rightarrow$ Keine Punktsymmetrie zum Ursprung
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
10. $f (x) = x^{5} (x + 3) (x + 2)$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  $f(x)=x^5\left(x+3\right)\left(x+2\right)$
  Multipliziere aus, um die Überprüfung einfacher zu machen.
  $f(x)=x^5\left(x+3\right)\left(x+2\right)=(x^6+3x^5)\cdot(x+2)=x^7+2x^6+3x^6+6x^5=x^7+5x^6+6x^5$
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $f$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $f$ nicht achsensymmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.
  Insgesamt besitzt $f$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Durch Berechnung
  $f\left(x\right)=x^7+5x^6+6x^5$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f\left(-x\right)=\left(-x\right)^7+5\left(-x\right)^6+6\left(-x\right)^5$
  $\phantom{f(-x)}=-x^7+5x^6-6x^5$
  Das ist weder $f$ , noch $- f$ . Also liegt keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
11. $f (x) = x^{7} - 3 x^{5} + x$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Alle Exponenten zur Basis $x$ sind ungerade.
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Durch Berechnung
  $f (x) = x^{7} - 3 x^{5} + x$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f(-x)=\left(-x\right)^7-3\left(-x\right)^5+\left(-x\right)$
  $\phantom{f(-x)}=[(-1)\cdot x]^7-3[(-1)\cdot x]^5+(-1)\cdot x$
  $\phantom{f(-x)}=(-1)^7\cdot x^7-3\cdot(-1)^5\cdot x^5+(-1)\cdot x$
  $\phantom{f(-x)}=(-1)\cdot x^7-3\cdot(-1)\cdot x^5+(-1)\cdot x$
  $\phantom{f(-x)}=(-1)\cdot(x^7-3x^5+x)=-f(x)$
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
12. $f(x)=-\frac23x^5+\frac34x$
  keine Symmetrie
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Alle Exponenten zur Basis $x$ sind ungerade.
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Durch Berechnung
  $f(x)=-\frac23x^5+\frac34x$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f(-x)=-\frac23(-x)^5+\frac34(-x)$
  $\phantom{f(-x)}=\frac23x^5-\frac34x$
  $\phantom{f(-x)}=-\left(-\frac23x^5+\frac34x\right)=-f(x)$
  $\Rightarrow$ Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
13. $f(x)=\frac12x^3-\frac12x^2-3$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $f$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $f$ nicht achsensymmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.
  Insgesamt besitzt $f$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Durch Berechnung
  $f(x)=\frac12x^3-\frac12x^2-3$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f(-x)=\frac12\left(-x\right)^3-\frac12(-x)^2-3$
  $\phantom{f(-x)}=-\frac12x^3-\frac12x-3$
  Das ist weder $f$ , noch $- f$ . Also liegt keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Untersuche die Funktionen auf Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse bzw. Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs (Nullpunkt des Koordinatensystems):
1. $f(x)=x^{11}-x^5+2x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung
  Die Exponenten zur Basis $x$ sind hier: $11$ , $5$ und $1$ . Es sind also alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade.
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Durch Berechnung
  $f(x)=x^{11}-x^5+2x$
  Setzte $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f(-x)=(-x)^{11}-(-x)^5+2(-x)$
  $\phantom{f(-x)}=-x^{11}+x^5-2x$
  $\phantom{f(-x)}=-(x^{11}-x^5+2x)=-f(x)$
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  $-f(x)=-(x^{11}-x^5+2x)$
  $\phantom{f(-x)}=-x^{11}+x^5-2x$
  $-f(x)\neq f(x)$
  $\Rightarrow$ Keine Symmetrie bezüglich der y-Achse.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. $f (x) = x^{6} - 9 x^{4}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung
  Die Exponenten zur Basis $x$ sind hier: $6$ und $4$ .
  Sie sind also alle gerade.
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse.
  Durch Berechnung
  Setzte $- x$ in $f (x)$ ein.
  $f (x) = x^{6} - 9 x^{4}$
  $f (- x) = (- x)^{6} - 9 (- x)^{4}$
  $\phantom{f(-x)}=x^6-9x^4=f(x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse.
  $- f (x) = - (x^{6} - 9 x^{4}) =$
  $\phantom{f(-x)}=-x^6+9x^4$
  $-f(x)\neq f(-x)$
  $\Rightarrow$ Keine Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. $\displaystyle f(x)=\frac{x^4+1}{x\left(x^3-3x\right)}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Berechnung überprüft.
  Forme erst die Funktion um:
  $\displaystyle f(x)=\frac{x^4+1}{x(x^3-3x)}$
  $\displaystyle \phantom{f(x)}=\frac{x^4+1}{x^4-3x^2}$
  Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
  $\displaystyle f(-x)=\frac{(-x)^4+1}{(-x)^4-3(-x)^2}$
  $\displaystyle \phantom {f(-x)}=\frac{x^4+1}{x^4-3x^2}=f(x)$
  $f (- x) = f (x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x\left(x^2-3x\right)}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Berechnung überprüft.
  Forme zunächst die Funktion um:
  $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x(x^2-3x)}$
  $\displaystyle \phantom{f(x)}=\frac{x^2-1}{x^3-3x^2}$
  Setzte $- x$ in $f (x)$ ein.
  $\displaystyle f(-x)=\frac{(-x)^2-1}{(-x)^3-3(-x)^2}$
  $\displaystyle \phantom{f(-x)}=\frac{x^2-1}{-x^3-3x^2}$
  $f(-x) \neq f(x)$
  $\Rightarrow$ Nicht achsensymmetrisch zur $y$ -Achse
  $f(-x) \neq -f(x)$
  $\Rightarrow$ Nicht punktsymmetrisch zum Ursprung
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3
Überprüfe die folgenden, trigonometrischen Funktionen auf Punkt- und Achsensymmetrie im Ursprung.
1. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $\displaystyle f(x) = \sin(x)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  $f(x)=\sin x$
  Ersetze $x$ durch $- x$ .
  $f(-x)=\sin(-x)$
  $\phantom{f(-x)}=-\sin x$
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. $\displaystyle f(x)= \cos(x)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  $f(x)=\cos x$
  Ersetze $x$ durch $- x$ .
  $f(-x)=\cos(-x)$
  $\phantom{f(-x)}=\cos x$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $f\left(x\right)=\left(\sin x\cdot\cos x\right)^3$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  $f(x)=(\sin x\cdot\cos x)^3$
  Ersetze $x$ durch $- x$ .
  $f(-x)=(\sin(-x)\cdot\cos(-x))^3$
  $\phantom{f(-x)}=(-\sin(x)\cdot\cos(x))^3$
  $\phantom{f(-x)}=-(\sin x\cdot\cos x)^3=-f(x)$
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉

Zeige rechnerisch, dass der Graph der Funktion $f (x) = 5 x^{5} - 6 x^{3} + 2$ punktsymmetrisch zum Punkt $P (0 ∣ 2)$ ist.

Untersuche rechnerisch, ob der Graph der Funktion $k (x) = x^{2} + 6 x + 7$ achsensymmetrisch zu der Geraden $x = - 3$ ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie

Nachweis der Achsensymmetrie bezüglich der Geraden $x = - 3$

Ist der Graph der Funktion $k$ achsensymmetrisch zu einer Geraden $x = a$ , dann gilt:

\displaystyle k(a-x)=k(a+x)

Hier ist $a = - 3$ .

Es muss also nachgewiesen werden, dass $k (- 3 - x) = k (- 3 + x)$ ist.

Berechne den Funktionsterm $k (- 3 + x)$ :

$\displaystyle k(x)$	$=$	$\displaystyle x^2+6x+7$
	↓	Ersetze $x$ durch $- 3 + x$ .
$\displaystyle k(-3+x)$	$=$	$\displaystyle (-3+x)^2+6\cdot(-3+x)+7$
	↓	Löse die Klammern auf. Verwende bei der ersten Klammer eine binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle 9-6x+x^2-18+6x+7$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle x^2-2$

Somit ist $k (- 3 + x) = x^{2} - 2$ .

Berechne nun den Funktionsterm $k (- 3 - x)$

Ersetze $x$ durch $(- x)$ :

$\displaystyle k(-3+x)$	$=$	$\displaystyle (-3+x)^2+6\cdot(-3+x)+7$
	↓	Ersetze $x$ durch $(- x)$ .
$\displaystyle k(-3+(-x))$	$=$	$\displaystyle (-3+(-x))^2+6\cdot(-3+(-x))+7$
	↓	Klammere $(- 1)$ aus.
	$=$	$\displaystyle (-1)^2\cdot (3+x)^2-6\cdot(3+x)+7$
	↓	Löse die Klammern auf. Verwende für den Term $(3 + x)^{2}$ eine binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle 9+6x+x^2-18-6x+7$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle x^2-2$

Es ist $k (- 3 - x) = x^{2} - 2$ .

Somit folgt, dass $k (- 3 + x) = k (- 3 - x) = x^{2} - 2$ ist.

Die Bedingung für Achsensymmetrie bezüglich der Geraden $x = - 3$ ist also erfüllt.

Der Graph von $k$ ist achsensymmetrisch bezüglich der Geraden $x = - 3$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.

6
Entscheide anhand des Graphen, ob der gegebene Graph der Funktion
achsensymmetrisch zur y-Achse oder
punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung $O (0 ∣ 0)$
ist.
1. punktsymmetrisch zu $O (0 ∣ 0)$
  achsensymmetrisch zur y-Achse
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
  Zusätzliche Erläuterung:
  In der Abbildung ist die Symmetrieachse eingezeichnet.
  Der Graph auf der linken Seite der y-Achse ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
  Die Symmetrieachse ist die $y$ -Achse.
  Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. achsensymmetrisch zur y-Achse
  punktsymmetrisch zu $O (0 ∣ 0)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O (0 ∣ 0)$ .
  Zusätzliche Erläuterung:
  1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 ∣ 0)$
  Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt $A$ auf den Punkt $A^{'}$ abgebildet. Ebenso wird der Punkt $B$ auf $B^{'}$ abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
  Also ist der Graph punktsymmetrisch zu $O (0 ∣ 0)$ .
  2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 ∣ 0)$
  Dreht man den Graphen um $180^ \circ$
  um den Koordinatenursprung $O (0 ∣ 0)$ , dann wird der Graph auf sich selbst abgebildet.
  $\Rightarrow\;$ Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. achsensymmetrisch zur y-Achse
  punktsymmetrisch zu $O (0 ∣ 0)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
  Zusätzliche Erläuterung:
  In der Abbildung ist die Symmetrieachse eingezeichnet.
  Der Graph auf der linken Seite der y-Achse ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
  Die Symmetrieachse ist die $y$ -Achse.
  Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. punktsymmetrisch zu $O (0 ∣ 0)$
  achsensymmetrisch zur y-Achse
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O (0 ∣ 0)$ .
  Zusätzliche Erläuterung:
  1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 ∣ 0)$
  Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt $A$ auf den Punkt $A^{'}$ abgebildet. Ebenso wird der Punkt $B$ auf $B^{'}$ abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
  Also ist der Graph punktsymmetrisch zu $O (0 ∣ 0)$ .
  2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 ∣ 0)$
  Dreht man den Graphen um $180^ \circ$ um den Koordinaten-ursprung $O (0 ∣ 0)$ , dann wird der Graph auf sich selbst abgebildet.
  $\Rightarrow$ Der Graph ist punkt-symmetrisch zum Ursprung.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5. achsensymmetrisch zur y-Achse
  punktsymmetrisch zu $O (0 ∣ 0)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
  Zusätzliche Erläuterung:
  In der Abbildung ist die Symmetrieachse eingezeichnet.
  Der Graph auf der linken Seite der y-Achse ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
  Die Symmetrieachse ist die $y$ -Achse.
  Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
6. punktsymmetrisch zu $O (0 ∣ 0)$
  achsensymmetrisch zur y-Achse
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O (0 ∣ 0)$ .
  Zusätzliche Erläuterung:
  1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 ∣ 0)$
  Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt $A$ auf den Punkt $A^{'}$ abgebildet. Ebenso wird der Punkt $B$ auf $B^{'}$ abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
  Also ist der Graph punktsymmetrisch zu $O (0 ∣ 0)$ .
  2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 ∣ 0)$
  Dreht man den Graphen um $180^ \circ$ um den Koordinaten-ursprung $O (0 ∣ 0)$ , dann wird der Graph auf sich selbst abgebildet.
  $\Rightarrow\;$ Der Graph ist punkt-symmetrisch zum Ursprung.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
7
Entscheide, welche der jeweils angegebenen Aussagen auf den Graphen zutrifft.
1. Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
  Der Graph hat keine Symmetrie.
  Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O (0 ∣ 0) .$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt $O (0 ∣ 0)$ .
  Zusätzliche Erläuterung:
  1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 ∣ 0)$
  Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt $A$ auf den Punkt $A^{'}$ abgebildet. Ebenso wird der Punkt $B$ auf $B^{'}$ abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
  Also ist der Graph punktsymmetrisch zu $O (0 ∣ 0)$ .
  2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 ∣ 0)$
  Dreht man den Graphen um $180^ \circ$ um den Koordinaten-ursprung $O (0 ∣ 0)$ , dann wird der Graph auf sich selbst abgebildet.
  $\Rightarrow\;$ Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt $P (- 3 ∣ 4)$ .
  Der Graph hat keine Symmetrie.
  Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt $P (- 3 ∣ 4)$ .
  Zusätzliche Erläuterung:
  1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $P (- 3 ∣ 4)$
  Bei Punktsymmetrie zum Punkt $P (- 3 ∣ 4)$ wird der Punkt $A$ auf den Punkt $A^{'}$ abgebildet. Ebenso wird der Punkt $B$ auf $B^{'}$ abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
  Also ist der Graph punktsymmetrisch zu $P (- 3 ∣ 4)$ .
  2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $P (- 3 ∣ 4)$
  Dreht man den Graphen um $180^ \circ$ um den Punkt $P (- 3 ∣ 4)$ , dann wird der Graph auf sich selbst abgebildet.
  $\Rightarrow\;$ Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Der Graph ist achsensymmetrisch zur Geraden $x = 4$ .
  Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O (0 ∣ 0)$ .
  Der Graph hat keine Symmetrie.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph ist achsensymmetrisch zur Geraden $x = 4$ .
  Zusätzliche Erläuterung:
  In der Abbildung ist die Symmetrieachse $x = 4$ eingezeichnet.
  Der Graph auf der linken Seite der Symmetrieachse $x = 4$ ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
  Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur Geraden $x = 4$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. Der Graph hat keine Symmetrie.
  Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse
  Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O (0 ∣ 0)$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  Der Graph hat keine Symmetrie.
  Zusätzliche Erläuterung:
  Es gibt keine Symmetrieachse, zu der der Graph der Funktion achsensymmetrisch ist und es gibt keinen Punkt, zu dem der Graph der Funktion punktsymmetrisch ist.
  $\;\Rightarrow\;$ Es liegt keine Symmetrie vor.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
8
Ziehe mit der Maus die Graphen an die richtige Position.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O (0 ∣ 0)$ .
Zusätzliche Erläuterung:
Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt $A$ auf den Punkt $A^{'}$ abgebildet. Ebenso wird der Punkt $B$ auf $B^{'}$ abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
Also ist der Graph punktsymmetrisch zu $O (0 ∣ 0)$ .
Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Zusätzliche Erläuterung:
In der Abbildung ist die Symmetrieachse eingezeichnet.
Der Graph auf der linken Seite der y-Achse ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
Die Symmetrieachse ist die $y$ -Achse.
Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O (0 ∣ 0)$ .
Zusätzliche Erläuterung:
Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt $A$ auf den Punkt $A^{'}$ abgebildet. Ebenso wird der Punkt $B$ auf $B^{'}$ abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
Also ist der Graph punktsymmetrisch zu $O (0 ∣ 0)$ .
Der Graph ist punktsymmetrisch zu $O (0 ∣ 0)$ .
Zusätzliche Erläuterung:
Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt $A$ auf den Punkt $A^{'}$ abgebildet. Ebenso wird der Punkt $B$ auf $B^{'}$ abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
Also ist der Graph punktsymmetrisch zu $O (0 ∣ 0)$ .
Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Zusätzliche Erläuterung:
In der Abbildung ist die Symmetrieachse eingezeichnet.
Der Graph auf der linken Seite der y-Achse ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
Die Symmetrieachse ist die $y$ -Achse.
Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Zusätzliche Erläuterung:
In der Abbildung ist die Symmetrieachse eingezeichnet.
Der Graph auf der linken Seite der y-Achse ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
Die Symmetrieachse ist die $y$ -Achse.
Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle f\left(-x\right)+f\left(x\right)$
	↓	Setze $f (- x)$ und $f (x)$ ein.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 5(-x)^5-6(-x)^3+2+5x^5-6x^3+2$
	↓	Berechne die Klammern.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle -5x^5+6x^3+2+5x^5-6x^3+2$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 4\;\checkmark$

Aufgaben zur Symmetrie von Graphen

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Nachweis der Achsensymmetrie bezüglich der Geraden x=−3x=-3x=−3

Hast du eine Frage oder Feedback?

1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu O(0∣0)O(0|0)O(0∣0)

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu O(0∣0)O(0|0)O(0∣0)

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu O(0∣0)O(0|0)O(0∣0)

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu O(0∣0)O(0|0)O(0∣0)

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu O(0∣0)O(0|0)O(0∣0)

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu O(0∣0)O(0|0)O(0∣0)

Hast du eine Frage oder Feedback?

1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu O(0∣0)O(0|0)O(0∣0)

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu O(0∣0)O(0|0)O(0∣0)

Hast du eine Frage oder Feedback?

1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu P(−3∣4)P(-3|4)P(−3∣4)

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu P(−3∣4)P(-3|4)P(−3∣4)

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Nachweis der Achsensymmetrie bezüglich der Geraden $x = - 3$

1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 ∣ 0)$

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 ∣ 0)$

1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 ∣ 0)$

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 ∣ 0)$

1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 ∣ 0)$

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 ∣ 0)$

1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 ∣ 0)$

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $O (0 ∣ 0)$

1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $P (- 3 ∣ 4)$

2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu $P (- 3 ∣ 4)$