Aufgaben zur Symmetrie von Graphen
Lerne hier wie du die Symmetrie von Graphen bestimmen kannst. Du findest heraus, ob Graphen achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch sind.
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Entscheide, ob der Graph der ganzrationalen Funktion punktsymmetrisch bzgl. des Ursprungs oder achsensymmetrisch bzgl. der -Achse ist oder ob keine der beiden Symmetrien vorliegt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Die Funktion ist eine Parallele zur -Achse, und somit sicher achsensymmetrisch zur -Achse.
In der Funktion ist nicht enthalten. Bekannterweise ist . Wir können die Funktion also folgendermaßen ergänzen:
Der Exponent von ist , also gerade.
Achsensymmetrie bezüglich der -Achse
Durch Berechnung
Setze in ein.
Achsensymmetrie zur -Achse
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Der Exponent von sind ungerade.
Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Durch Berechnung
Setze in ein.
Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Bekannterweise ist . Man kann also die Funktion folgendermaßen ergänzen:
Ein Exponent zur Basis ist ungerade, ein Exponent ist gerade.
Es liegt keine Achsensymmetrie zur -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
Durch Berechnung
Setze in ein.
Keine Achsensymmetrie zu -Achse
Keine Punktsymmetrie zum Ursprung
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Der Exponent von ist gerade.
Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse.
Durch Berechnung
Setze in ein.
Achsensymmetrie zur y-Achse
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Alle Exponenten von sind ungerade.
Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Durch Berechnung
Setze in ein.
Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Alle Exponenten zur Basis sind gerade.
Achsensymmetrie zur -Achse.
Durch Berechnung
Setze in ein.
Achsensymmetrie bezüglich der -Achse.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Alle Exponenten zur Basis sind gerade.
Achsensymmetrie bezüglich der -Achse.
Durch Berechnung
Setze in ein.
Achsensymmetrie zur -Achse
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Da nicht alle Exponenten zur Basis ungerade sind, ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis gerade sind, ist nicht achsensymmetrisch bezüglich zur -Achse.
Insgesamt besitzt also keine Symmetrie bezüglich der -Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Durch Berechnung
Setze in ein.
Das ist weder , noch . Also liegt keine Symmetrie bezüglich der -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Die Exponenten zur Basis sind sowohl gerade als auch ungerade.
Keine Achsensymmetrie zur -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung.
Durch Berechnung
Setze in ein.
Rechne aus
Keine Achsensymmetrie zur y-Achse
Keine Punktsymmetrie zum Ursprung
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Multipliziere aus, um die Überprüfung einfacher zu machen.
Durch Betrachtung der Exponenten
Da nicht alle Exponenten zur Basis ungerade sind, ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis gerade sind, ist nicht achsensymmetrisch bezüglich der -Achse.
Insgesamt besitzt also keine Symmetrie bezüglich der -Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Durch Berechnung
Setze in ein.
Das ist weder , noch . Also liegt keine Symmetrie bezüglich der -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Alle Exponenten zur Basis sind ungerade.
Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Durch Berechnung
Setze in ein.
Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Alle Exponenten zur Basis sind ungerade.
Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Durch Berechnung
Setze in ein.
Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Da nicht alle Exponenten zur Basis ungerade sind, ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis gerade sind, ist nicht achsensymmetrisch bezüglich der -Achse.
Insgesamt besitzt also keine Symmetrie bezüglich der -Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Durch Berechnung
Setze in ein.
Das ist weder , noch . Also liegt keine Symmetrie bezüglich der -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
Hast du eine Frage oder Feedback?
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Untersuche die Funktionen auf Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse bzw. Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs (Nullpunkt des Koordinatensystems):
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung
Die Exponenten zur Basis sind hier: , und . Es sind also alle Exponenten zur Basis ungerade.
Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Durch Berechnung
Setzte in ein.
Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Keine Symmetrie bezüglich der y-Achse.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung
Durch Berechnung
Setzte in ein.
Achsensymmetrie bezüglich der -Achse.
Keine Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Forme zunächst die Funktion um:
Setzte in ein.
Nicht achsensymmetrisch zur -Achse
Nicht punktsymmetrisch zum Ursprung
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Überprüfe die folgenden, trigonometrischen Funktionen auf Punkt- und Achsensymmetrie im Ursprung.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Ersetze durch .
Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Ersetze durch .
Achsensymmetrie bezüglich der -Achse.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Ersetze durch .
Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
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Zeige rechnerisch, dass der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Punkt ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Liegt eine Punktsymmetrie zu einem Punkt vor, dann gilt:
Hier ist und .
Es muss also nachgewiesen werden, dass ist, d.h. es muss gelten:
↓ Setze und ein.
↓ Berechne die Klammern.
↓ Fasse zusammen.
Damit ist nachgewiesen, dass der Graph von punktsymmetrisch bezüglich des Punktes ist.
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Untersuche rechnerisch, ob der Graph der Funktion achsensymmetrisch zu der Geraden ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Nachweis der Achsensymmetrie bezüglich der Geraden
Ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zu einer Geraden , dann gilt:
Hier ist .
Es muss also nachgewiesen werden, dass ist.
Berechne den Funktionsterm :
↓ Ersetze durch .
↓ Löse die Klammern auf. Verwende bei der ersten Klammer eine binomische Formel.
↓ Fasse zusammen.
Somit ist .
Berechne nun den Funktionsterm
Ersetze durch :
↓ Ersetze durch .
↓ Klammere aus.
↓ Löse die Klammern auf. Verwende für den Term eine binomische Formel.
↓ Fasse zusammen.
Es ist .
Somit folgt, dass ist.
Die Bedingung für Achsensymmetrie bezüglich der Geraden ist also erfüllt.
Der Graph von ist achsensymmetrisch bezüglich der Geraden .
- 6
Entscheide anhand des Graphen, ob der gegebene Graph der Funktion
achsensymmetrisch zur y-Achse oder
punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Zusätzliche Erläuterung:
In der Abbildung ist die Symmetrieachse eingezeichnet.
Der Graph auf der linken Seite der y-Achse ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
Die Symmetrieachse ist die -Achse.
Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur -Achse.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Der Graph ist punktsymmetrisch zu .
Zusätzliche Erläuterung:
1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu
Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt auf den Punkt abgebildet. Ebenso wird der Punkt auf abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
Also ist der Graph punktsymmetrisch zu .
2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu
Dreht man den Graphen um
um den Koordinatenursprung , dann wird der Graph auf sich selbst abgebildet.
Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Zusätzliche Erläuterung:
In der Abbildung ist die Symmetrieachse eingezeichnet.
Der Graph auf der linken Seite der y-Achse ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
Die Symmetrieachse ist die -Achse.
Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur -Achse.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Der Graph ist punktsymmetrisch zu .
Zusätzliche Erläuterung:
1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu
Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt auf den Punkt abgebildet. Ebenso wird der Punkt auf abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
Also ist der Graph punktsymmetrisch zu .
2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu
Dreht man den Graphen um um den Koordinaten-ursprung , dann wird der Graph auf sich selbst abgebildet.
Der Graph ist punkt-symmetrisch zum Ursprung.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Zusätzliche Erläuterung:
In der Abbildung ist die Symmetrieachse eingezeichnet.
Der Graph auf der linken Seite der y-Achse ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
Die Symmetrieachse ist die -Achse.
Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur -Achse.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Der Graph ist punktsymmetrisch zu .
Zusätzliche Erläuterung:
1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu
Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt auf den Punkt abgebildet. Ebenso wird der Punkt auf abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
Also ist der Graph punktsymmetrisch zu .
2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu
Dreht man den Graphen um um den Koordinaten-ursprung , dann wird der Graph auf sich selbst abgebildet.
Der Graph ist punkt-symmetrisch zum Ursprung.
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Entscheide, welche der jeweils angegebenen Aussagen auf den Graphen zutrifft.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt .
Zusätzliche Erläuterung:
1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu
Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt auf den Punkt abgebildet. Ebenso wird der Punkt auf abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
Also ist der Graph punktsymmetrisch zu .
2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu
Dreht man den Graphen um um den Koordinaten-ursprung , dann wird der Graph auf sich selbst abgebildet.
Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt .
Zusätzliche Erläuterung:
1. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu
Bei Punktsymmetrie zum Punkt wird der Punkt auf den Punkt abgebildet. Ebenso wird der Punkt auf abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
Also ist der Graph punktsymmetrisch zu .
2. Möglichkeit für den Nachweis der Punktsymmetrie zu
Dreht man den Graphen um um den Punkt , dann wird der Graph auf sich selbst abgebildet.
Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Der Graph ist achsensymmetrisch zur Geraden .
Zusätzliche Erläuterung:
In der Abbildung ist die Symmetrieachse eingezeichnet.
Der Graph auf der linken Seite der Symmetrieachse ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur Geraden .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Der Graph hat keine Symmetrie.
Zusätzliche Erläuterung:
Es gibt keine Symmetrieachse, zu der der Graph der Funktion achsensymmetrisch ist und es gibt keinen Punkt, zu dem der Graph der Funktion punktsymmetrisch ist.
Es liegt keine Symmetrie vor.
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- 8
Ziehe mit der Maus die Graphen an die richtige Position.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Der Graph ist punktsymmetrisch zu .
Zusätzliche Erläuterung:
Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt auf den Punkt abgebildet. Ebenso wird der Punkt auf abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
Also ist der Graph punktsymmetrisch zu .
Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Zusätzliche Erläuterung:
In der Abbildung ist die Symmetrieachse eingezeichnet.
Der Graph auf der linken Seite der y-Achse ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
Die Symmetrieachse ist die -Achse.
Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur -Achse.
Der Graph ist punktsymmetrisch zu .
Zusätzliche Erläuterung:
Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt auf den Punkt abgebildet. Ebenso wird der Punkt auf abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
Also ist der Graph punktsymmetrisch zu .
Der Graph ist punktsymmetrisch zu .
Zusätzliche Erläuterung:
Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird der Punkt auf den Punkt abgebildet. Ebenso wird der Punkt auf abgebildet. Das gilt für alle Punkte des Graphen.
Also ist der Graph punktsymmetrisch zu .
Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Zusätzliche Erläuterung:
In der Abbildung ist die Symmetrieachse eingezeichnet.
Der Graph auf der linken Seite der y-Achse ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
Die Symmetrieachse ist die -Achse.
Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur -Achse.
Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Zusätzliche Erläuterung:
In der Abbildung ist die Symmetrieachse eingezeichnet.
Der Graph auf der linken Seite der y-Achse ist ein Spiegelbild der rechten Seite.
Die Symmetrieachse ist die -Achse.
Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur -Achse.
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