Untersuche rechnerisch, ob der Graph der Funktion k(x)=x2+6x+7 achsensymmetrisch zu der Geraden x=â3 ist.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Nachweis der Achsensymmetrie bezĂŒglich der Geraden x=â3
Ist der Graph der Funktion k achsensymmetrisch zu einer Geraden x=a, dann gilt:
Hier ist a=â3.
Es muss also nachgewiesen werden, dass k(â3âx)=k(â3+x) ist.
Berechne den Funktionsterm k(â3+x):
k(x) | = | x2+6x+7 | |
â | Ersetze x durch â3+x. | ||
k(â3+x) | = | (â3+x)2+6â (â3+x)+7 | |
â | Löse die Klammern auf. Verwende bei der ersten Klammer eine binomische Formel. | ||
= | 9â6x+x2â18+6x+7 | ||
â | Fasse zusammen. | ||
= | x2â2 |
Somit ist k(â3+x)=x2â2.
Berechne nun den Funktionsterm k(â3âx)
Ersetze x durch (âx):
k(â3+x) | = | (â3+x)2+6â (â3+x)+7 | |
â | Ersetze x durch (âx). | ||
k(â3+(âx)) | = | (â3+(âx))2+6â (â3+(âx))+7 | |
â | Klammere (â1) aus. | ||
= | (â1)2â (3+x)2â6â (3+x)+7 | ||
â | Löse die Klammern auf. Verwende fĂŒr den Term (3+x)2 eine binomische Formel. | ||
= | 9+6x+x2â18â6x+7 | ||
â | Fasse zusammen. | ||
= | x2â2 |
Es ist k(â3âx)=x2â2.
Somit folgt, dass k(â3+x)=k(â3âx)=x2â2 ist.
Die Bedingung fĂŒr Achsensymmetrie bezĂŒglich der Geraden x=â3 ist also erfĂŒllt.
Der Graph von k ist achsensymmetrisch bezĂŒglich der Geraden x=â3.