Untersuche rechnerisch, ob der Graph der Funktion k(x)=x2+6x+7 achsensymmetrisch zu der Geraden x=−3 ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Nachweis der Achsensymmetrie bezüglich der Geraden x=−3
Ist der Graph der Funktion k achsensymmetrisch zu einer Geraden x=a, dann gilt:
Hier ist a=−3.
Es muss also nachgewiesen werden, dass k(−3−x)=k(−3+x) ist.
Berechne den Funktionsterm k(−3+x):
| k(x) | = | x2+6x+7 | |
| ↓ | Ersetze x durch −3+x. | ||
| k(−3+x) | = | (−3+x)2+6⋅(−3+x)+7 | |
| ↓ | Löse die Klammern auf. Verwende bei der ersten Klammer eine binomische Formel. | ||
| = | 9−6x+x2−18+6x+7 | ||
| ↓ | Fasse zusammen. | ||
| = | x2−2 | ||
Somit ist k(−3+x)=x2−2.
Berechne nun den Funktionsterm k(−3−x)
Ersetze x durch (−x):
| k(−3+x) | = | (−3+x)2+6⋅(−3+x)+7 | |
| ↓ | Ersetze x durch (−x). | ||
| k(−3+(−x)) | = | (−3+(−x))2+6⋅(−3+(−x))+7 | |
| ↓ | Klammere (−1) aus. | ||
| = | (−1)2⋅(3+x)2−6⋅(3+x)+7 | ||
| ↓ | Löse die Klammern auf. Verwende für den Term (3+x)2 eine binomische Formel. | ||
| = | 9+6x+x2−18−6x+7 | ||
| ↓ | Fasse zusammen. | ||
| = | x2−2 | ||
Es ist k(−3−x)=x2−2.
Somit folgt, dass k(−3+x)=k(−3−x)=x2−2 ist.
Die Bedingung für Achsensymmetrie bezüglich der Geraden x=−3 ist also erfüllt.
Der Graph von k ist achsensymmetrisch bezüglich der Geraden x=−3.
