Aufgaben zur Symmetrie von Graphen

Untersuche rechnerisch, ob der Graph der Funktion $k (x) = x^{2} + 6 x + 7$ achsensymmetrisch zu der Geraden $x = - 3$ ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie

Ist der Graph der Funktion $k$ achsensymmetrisch zu einer Geraden $x = a$ , dann gilt:

\displaystyle k(a-x)=k(a+x)

Hier ist $a = - 3$ .

Es muss also nachgewiesen werden, dass $k (- 3 - x) = k (- 3 + x)$ ist.

Berechne den Funktionsterm $k (- 3 + x)$ :

$\displaystyle k(x)$	$=$	$\displaystyle x^2+6x+7$
	↓	Ersetze $x$ durch $- 3 + x$ .
$\displaystyle k(-3+x)$	$=$	$\displaystyle (-3+x)^2+6\cdot(-3+x)+7$
	↓	Löse die Klammern auf. Verwende bei der ersten Klammer eine binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle 9-6x+x^2-18+6x+7$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle x^2-2$

Somit ist $k (- 3 + x) = x^{2} - 2$ .

Berechne nun den Funktionsterm $k (- 3 - x)$

Ersetze $x$ durch $(- x)$ :

$\displaystyle k(-3+x)$	$=$	$\displaystyle (-3+x)^2+6\cdot(-3+x)+7$
	↓	Ersetze $x$ durch $(- x)$ .
$\displaystyle k(-3+(-x))$	$=$	$\displaystyle (-3+(-x))^2+6\cdot(-3+(-x))+7$
	↓	Klammere $(- 1)$ aus.
	$=$	$\displaystyle (-1)^2\cdot (3+x)^2-6\cdot(3+x)+7$
	↓	Löse die Klammern auf. Verwende für den Term $(3 + x)^{2}$ eine binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle 9+6x+x^2-18-6x+7$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle x^2-2$

Es ist $k (- 3 - x) = x^{2} - 2$ .

Somit folgt, dass $k (- 3 + x) = k (- 3 - x) = x^{2} - 2$ ist.

Die Bedingung für Achsensymmetrie bezüglich der Geraden $x = - 3$ ist also erfüllt.

Der Graph von $k$ ist achsensymmetrisch bezüglich der Geraden $x = - 3$ .

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