Aufgaben zur Symmetrie von Graphen

Entscheide, ob der Graph der ganzrationalen Funktion $f$ punktsymmetrisch bzgl. des Ursprungs oder achsensymmetrisch bzgl. der $y$ -Achse ist oder ob keine der beiden Symmetrien vorliegt.

$f (x) = 3$
- Achsensymmetrisch zur y-Achse
- Punktsymmetrisch zum Ursprung
- keine Symmetrie
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Die Funktion ist eine Parallele zur $x$ -Achse, und somit sicher achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
In der Funktion $f (x) = 3$ ist $x$ nicht enthalten. Bekannterweise ist $x^{0} = 1$ . Wir können die Funktion also folgendermaßen ergänzen:
$f (x) = 3 \cdot 1 = 3 \cdot x^{0^{}}$
Der Exponent von $x$ ist $0$ , also gerade.
$\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse
Durch Berechnung
$f (x) = 3$
Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
$f (- x) = 3$
$f (- x) = f (x)$
$\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse
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$f (x) = 15 x$
- Achsensymmetrisch zur y-Achse
- Punktsymmetrisch zum Ursprung
- keine Symmetrie
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Der Exponent von $x$ sind ungerade.
$\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Durch Berechnung
$f (x) = 15 x$
Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
$f (- x) = 15 (- x) = - 15 x$
$- f (x) = - 15 x$
$f (- x) = - f (x)$
$\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs
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$f (x) = 4 x + 1$
- Achsensymmetrie zur y-Achse
- Punktsymmetrie zum Ursprung
- keine Symmetrie
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Bekannterweise ist $x^{0} = 1$ . Man kann also die Funktion folgendermaßen ergänzen:
$f (x) = 4 x + 1 \cdot x^{0}$
Ein Exponent zur Basis $x$ ist ungerade, ein Exponent ist gerade.
$\Rightarrow$ Es liegt keine Achsensymmetrie zur $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
Durch Berechnung
$f (x) = 4 x + 1$
Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
$f (- x) = 4 \cdot (- x) + 1 = - 4 x + 1$
$f (- x) \neq f (x)$
$\Rightarrow$ Keine Achsensymmetrie zu $y$ -Achse
$- f (x) = - (4 x + 1) = - 4 x - 1$
$f (- x) \neq - f (x)$
$\Rightarrow$ Keine Punktsymmetrie zum Ursprung
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$f (x) = - 6 x^{2}$
- Achsensymmetrisch zur y-Achse
- Punktsymmetrisch zum Ursprung
- keine Symmetrie
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Der Exponent von $x$ ist gerade.
$\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse.
Durch Berechnung
$f (x) = - 6 x^{2}$
Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
$f (- x) = - 6 (- x)^{2} = - 6 x^{2}$
$f (- x) = f (x)$
$\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur y-Achse
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$f (x) = 6 x^{3} - 3,5 x$
- Achsensymmetrie zur y-Achse
- Punktsymmetrie zum Ursprung
- keine Symmetrie
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Alle Exponenten von $x$ sind ungerade.
$\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Durch Berechnung
$f (x) = 6 x^{3} - 3,5 x$
Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
$f (- x) = 6 {(- x)}^{3} - 3,5 (- x)$
$= - 6 x^{3} + 3,5 x = (- 1) \cdot (6 x^{3} - 3,5 x) = - f (x)$
$\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
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$f (x) = - 4 x^{4} - 8$
- Achsensymmetrisch zur y-Achse
- Punktsymmetrisch zum Ursprung
- keine Symmetrie
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Alle Exponenten zur Basis $x$ sind gerade.
$\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse.
Durch Berechnung
$f (x) = - 4 x^{4} - 8$
Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
$f (- x) = - 4 \cdot (- x)^{4} - 8$
$= - 4 x^{4} - 8 = f (x)$
$\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse.
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$f (x) = 6 x^{2} + 10 - 7 x^{4}$
- Achsensymmetrisch zur y-Achse
- Punktsymmetrisch zum Ursprung
- keine Symmetrie
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Alle Exponenten zur Basis $x$ sind gerade.
$\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse.
Durch Berechnung
$f (x) = 6 x^{2} + 10 - 7 x^{4}$
Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
$f (- x) = 6 \cdot (- x)^{2} + 10 - 7 \cdot (- x)^{4}$
$= 6 x^{2} + 10 - 7 x^{4} = f (x)$
$\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse
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$f (x) = - x^{5} + 2 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2}$
- Achsensymmetrie zur y-Achse
- Punktsymmetrie zum Ursprung
- keine Symmetrie
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $f$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $f$ nicht achsensymmetrisch bezüglich zur $y$ -Achse.
Insgesamt besitzt $f$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Durch Berechnung
$f (x) = - x^{5} + 2 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2}$
Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
$f (- x) = - (- x)^{5} + 2 (- x)^{4} - 3 (- x)^{3} + (- x)^{2}$
$= x^{5} + 2 x^{4} + 3 x^{3} + x^{2}$
Das ist weder $f$ , noch $- f$ . Also liegt keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
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$f (x) = (2 x - 3)^{2}$
- Achsensymmetrie zur y-Achse
- Punktsymmetrie zum Ursprung
- keine Symmetrie
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
$f (x) = (2 x - 3)^{2}$

Benutze die 2. binomische Formel, um die Klammer aufzulösen.
$f (x) = 4 x^{2} - 12 x + 9$
Durch Betrachtung der Exponenten
Die Exponenten zur Basis $x$ sind sowohl gerade als auch ungerade.
$\Rightarrow$ Keine Achsensymmetrie zur $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung.
Durch Berechnung
$f (x) = 4 x^{2} - 12 x + 9$
Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
$f (- x) = 4 (- x)^{2} - 12 (- x) + 9$
Rechne aus
$f (- x) = 4 x^{2} + 12 x + 9$
$f (- x) \neq f (x)$
$\Rightarrow$ Keine Achsensymmetrie zur y-Achse
$- f (x) = - (4 x^{2} - 12 x + 9)$
$- f (x) = - 4 x^{2} + 12 x - 9$
$f (- x) \neq - f (x)$
$\Rightarrow$ Keine Punktsymmetrie zum Ursprung
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$f (x) = x^{5} (x + 3) (x + 2)$
- Achsensymmetrisch zur y-Achse
- Punktsymmetrisch zum Ursprung
- keine Symmetrie
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
$f (x) = x^{5} (x + 3) (x + 2)$
Multipliziere aus, um die Überprüfung einfacher zu machen.
$f (x) = x^{5} (x + 3) (x + 2) = (x^{6} + 3 x^{5}) \cdot (x + 2) = x^{7} + 2 x^{6} + 3 x^{6} + 6 x^{5} = x^{7} + 5 x^{6} + 6 x^{5}$
Durch Betrachtung der Exponenten
Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $f$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $f$ nicht achsensymmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.
Insgesamt besitzt $f$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Durch Berechnung
$f (x) = x^{7} + 5 x^{6} + 6 x^{5}$
Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
$f (- x) = {(- x)}^{7} + 5 {(- x)}^{6} + 6 {(- x)}^{5}$
$= - x^{7} + 5 x^{6} - 6 x^{5}$
Das ist weder $f$ , noch $- f$ . Also liegt keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
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$f (x) = x^{7} - 3 x^{5} + x$
- Achsensymmetrisch zur y-Achse
- Punktsymmetrisch zum Ursprung
- keine Symmetrie
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In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Alle Exponenten zur Basis $x$ sind ungerade.
$\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Durch Berechnung
$f (x) = x^{7} - 3 x^{5} + x$
Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
$f (- x) = {(- x)}^{7} - 3 {(- x)}^{5} + (- x)$
$= [(- 1) \cdot x]^{7} - 3 [(- 1) \cdot x]^{5} + (- 1) \cdot x$
$= (- 1)^{7} \cdot x^{7} - 3 \cdot (- 1)^{5} \cdot x^{5} + (- 1) \cdot x$
$= (- 1) \cdot x^{7} - 3 \cdot (- 1) \cdot x^{5} + (- 1) \cdot x$
$= (- 1) \cdot (x^{7} - 3 x^{5} + x) = - f (x)$
$\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
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$f (x) = - \frac{2}{3} x^{5} + \frac{3}{4} x$
- keine Symmetrie
- Punktsymmetrisch zum Ursprung
- Achsensymmetrisch zur y-Achse
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Alle Exponenten zur Basis $x$ sind ungerade.
$\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Durch Berechnung
$f (x) = - \frac{2}{3} x^{5} + \frac{3}{4} x$
Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
$f (- x) = - \frac{2}{3} (- x)^{5} + \frac{3}{4} (- x)$
$= \frac{2}{3} x^{5} - \frac{3}{4} x$
$= - (- \frac{2}{3} x^{5} + \frac{3}{4} x) = - f (x)$
$\Rightarrow$ Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
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$f (x) = \frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 3$
- Achsensymmetrisch zur y-Achse
- Punktsymmetrisch zum Ursprung
- keine Symmetrie
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $f$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $f$ nicht achsensymmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.
Insgesamt besitzt $f$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Durch Berechnung
$f (x) = \frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 3$
Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
$f (- x) = \frac{1}{2} {(- x)}^{3} - \frac{1}{2} (- x)^{2} - 3$
$= - \frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{2} x - 3$
Das ist weder $f$ , noch $- f$ . Also liegt keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
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