Aufgaben zur Symmetrie von Graphen

Entscheide, ob der Graph der ganzrationalen Funktion $f$ punktsymmetrisch bzgl. des Ursprungs oder achsensymmetrisch bzgl. der $y$ -Achse ist oder ob keine der beiden Symmetrien vorliegt.

$f(x)=3$
- Achsensymmetrisch zur y-Achse
- Punktsymmetrisch zum Ursprung
- keine Symmetrie
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Die Funktion ist eine Parallele zur $x$ -Achse, und somit sicher achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
In der Funktion $f(x)=3$ ist $x$ nicht enthalten. Bekannterweise ist $x^0=1$ . Wir können die Funktion also folgendermaßen ergänzen:
Der Exponent von $x$ ist $0$ , also gerade.
$\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse
Durch Berechnung
$f(x)=3$
Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
$f(-x)=3$
$f(-x)=f(x)$
$\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
$f(x)=15x$
- Achsensymmetrisch zur y-Achse
- Punktsymmetrisch zum Ursprung
- keine Symmetrie
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Der Exponent von $x$ sind ungerade.
$\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Durch Berechnung
$f(x)=15x$
Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
$f(-x)=15(-x)=-15x$
$-f(x)=-15x$
$f(-x)=-f(x)$
$\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
$f(x)=4x+1$
- Achsensymmetrie zur y-Achse
- Punktsymmetrie zum Ursprung
- keine Symmetrie
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Bekannterweise ist $x^0=1$ . Man kann also die Funktion folgendermaßen ergänzen:
$f(x)=4x+1\cdot x^0$
Ein Exponent zur Basis $x$ ist ungerade, ein Exponent ist gerade.
$\Rightarrow$ Es liegt keine Achsensymmetrie zur $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
Durch Berechnung
$f(x)=4x+1$
Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
$f(-x)=4\cdot(-x)+1=-4x+1$
$f(-x)\neq f(x)$
$\Rightarrow$ Keine Achsensymmetrie zu $y$ -Achse
$-f(x)=-(4x+1)=-4x-1$
$f(-x)\neq-f(x)$
$\Rightarrow$ Keine Punktsymmetrie zum Ursprung
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
$f(x)=-6x^2$
- Achsensymmetrisch zur y-Achse
- Punktsymmetrisch zum Ursprung
- keine Symmetrie
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Der Exponent von $x$ ist gerade.
$\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse.
Durch Berechnung
$f(x)=-6x^2$
Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
$f(-x)=-6(-x)^2=-6x^2$
$f(-x)=f(x)$
$\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur y-Achse
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
$f(x)=6x^3-3{,}5x$
- Achsensymmetrie zur y-Achse
- Punktsymmetrie zum Ursprung
- keine Symmetrie
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Alle Exponenten von $x$ sind ungerade.
$\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Durch Berechnung
$f(x)=6x^3-3{,}5x$
Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
$f(-x)=6\left(-x\right)^3-3{,}5\left(-x\right)$
$\phantom{f(-x)}=-6x^3+3{,}5x=(-1)\cdot(6x^3-3{,}5x)=-f(x)$
$\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
$f(x)=-4x^4-8$
- Achsensymmetrisch zur y-Achse
- Punktsymmetrisch zum Ursprung
- keine Symmetrie
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Alle Exponenten zur Basis $x$ sind gerade.
$\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse.
Durch Berechnung
$f(x)=-4x^4-8$
Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
$f(-x)=-4\cdot(-x)^4-8$
$\phantom{f(-x)}=-4x^4-8=f(x)$
$\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
$f(x)=6x^2+10-7x^4$
- Achsensymmetrisch zur y-Achse
- Punktsymmetrisch zum Ursprung
- keine Symmetrie
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Alle Exponenten zur Basis $x$ sind gerade.
$\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse.
Durch Berechnung
$f(x)=6x^2+10-7x^4$
Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
$f(-x)=6\cdot(-x)^2+10-7\cdot(-x)^4$
$\phantom{f(-x)}=6x^2+10-7x^4=f(x)$
$\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
$f(x)=-x^5+2x^4-3x^3+x^2$
- Achsensymmetrie zur y-Achse
- Punktsymmetrie zum Ursprung
- keine Symmetrie
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $f$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $f$ nicht achsensymmetrisch bezüglich zur $y$ -Achse.
Insgesamt besitzt $f$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Durch Berechnung
$f(x)=-x^5+2x^4-3x^3+x^2$
Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
$f(-x)=-(-x)^5+2(-x)^4-3(-x)^3+(-x)^2$
$\phantom{f(-x)}=x^5+2x^4+3x^3+x^2$
Das ist weder $f$ , noch $-f$ . Also liegt keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
$f(x)=(2x-3)^2$
- Achsensymmetrie zur y-Achse
- Punktsymmetrie zum Ursprung
- keine Symmetrie
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
$f(x)=(2x-3)^2$

Benutze die 2. binomische Formel, um die Klammer aufzulösen.
$f(x)=4x^2-12x+9$
Durch Betrachtung der Exponenten
Die Exponenten zur Basis $x$ sind sowohl gerade als auch ungerade.
$\Rightarrow$ Keine Achsensymmetrie zur $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung.
Durch Berechnung
$f(x)=4x^2-12x+9$
Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
$f(-x)=4(-x)^2-12(-x)+9$
Rechne aus
$f(-x)=4x^2+12x+9$
$f(-x)\neq f(x)$
$\Rightarrow$ Keine Achsensymmetrie zur y-Achse
$-f(x)=-(4x^2-12x+9)$
$-f(x)=-4x^2+12x-9$
$f(-x)\neq -f(x)$
$\Rightarrow$ Keine Punktsymmetrie zum Ursprung
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
$f(x)=x^5(x+3)(x+2)$
- Achsensymmetrisch zur y-Achse
- Punktsymmetrisch zum Ursprung
- keine Symmetrie
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
$f(x)=x^5\left(x+3\right)\left(x+2\right)$
Multipliziere aus, um die Überprüfung einfacher zu machen.
$f(x)=x^5\left(x+3\right)\left(x+2\right)=(x^6+3x^5)\cdot(x+2)=x^7+2x^6+3x^6+6x^5=x^7+5x^6+6x^5$
Durch Betrachtung der Exponenten
Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $f$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $f$ nicht achsensymmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.
Insgesamt besitzt $f$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Durch Berechnung
$f\left(x\right)=x^7+5x^6+6x^5$
Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
$f\left(-x\right)=\left(-x\right)^7+5\left(-x\right)^6+6\left(-x\right)^5$
$\phantom{f(-x)}=-x^7+5x^6-6x^5$
Das ist weder $f$ , noch $-f$ . Also liegt keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
$f(x)=x^7-3x^5+x$
- Achsensymmetrisch zur y-Achse
- Punktsymmetrisch zum Ursprung
- keine Symmetrie
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Alle Exponenten zur Basis $x$ sind ungerade.
$\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Durch Berechnung
$f(x)=x^7-3x^5+x$
Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
$f(-x)=\left(-x\right)^7-3\left(-x\right)^5+\left(-x\right)$
$\phantom{f(-x)}=[(-1)\cdot x]^7-3[(-1)\cdot x]^5+(-1)\cdot x$
$\phantom{f(-x)}=(-1)^7\cdot x^7-3\cdot(-1)^5\cdot x^5+(-1)\cdot x$
$\phantom{f(-x)}=(-1)\cdot x^7-3\cdot(-1)\cdot x^5+(-1)\cdot x$
$\phantom{f(-x)}=(-1)\cdot(x^7-3x^5+x)=-f(x)$
$\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
$f(x)=-\frac23x^5+\frac34x$
- keine Symmetrie
- Punktsymmetrisch zum Ursprung
- Achsensymmetrisch zur y-Achse
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Alle Exponenten zur Basis $x$ sind ungerade.
$\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Durch Berechnung
$f(x)=-\frac23x^5+\frac34x$
Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
$f(-x)=-\frac23(-x)^5+\frac34(-x)$
$\phantom{f(-x)}=\frac23x^5-\frac34x$
$\phantom{f(-x)}=-\left(-\frac23x^5+\frac34x\right)=-f(x)$
$\Rightarrow$ Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
$f(x)=\frac12x^3-\frac12x^2-3$
- Achsensymmetrisch zur y-Achse
- Punktsymmetrisch zum Ursprung
- keine Symmetrie
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung der Exponenten
Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $f$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $f$ nicht achsensymmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.
Insgesamt besitzt $f$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Durch Berechnung
$f(x)=\frac12x^3-\frac12x^2-3$
Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
$f(-x)=\frac12\left(-x\right)^3-\frac12(-x)^2-3$
$\phantom{f(-x)}=-\frac12x^3-\frac12x-3$
Das ist weder $f$ , noch $-f$ . Also liegt keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung der Exponenten

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?