Aufgaben zur Symmetrie von Graphen

Untersuche die Funktionen auf Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse bzw. Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs (Nullpunkt des Koordinatensystems):

$f(x)=x^{11}-x^5+2x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung
Die Exponenten zur Basis $x$ sind hier: $11$ , $5$ und $1$ . Es sind also alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade.
$\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Durch Berechnung
$f(x)=x^{11}-x^5+2x$
Setzte $-x$ in $f(x)$ ein.
$f(-x)=(-x)^{11}-(-x)^5+2(-x)$
$\phantom{f(-x)}=-x^{11}+x^5-2x$
$\phantom{f(-x)}=-(x^{11}-x^5+2x)=-f(x)$
$\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
$-f(x)=-(x^{11}-x^5+2x)$
$\phantom{f(-x)}=-x^{11}+x^5-2x$
$-f(x)\neq f(x)$
$\Rightarrow$ Keine Symmetrie bezüglich der y-Achse.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
$f(x)=x^6-9x^4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung
Die Exponenten zur Basis $x$ sind hier: $6$ und $4$ .
Sie sind also alle gerade.
$\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse.
Durch Berechnung
Setzte $-x$ in $f(x)$ ein.
$f(x)=x^6-9x^4$
$f(-x)=(-x)^6-9(-x)^4$
$\phantom{f(-x)}=x^6-9x^4=f(x)$
$\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse.
$-f(x)=-(x^6-9x^4)=$
$\phantom{f(-x)}=-x^6+9x^4$
$-f(x)\neq f(-x)$
$\Rightarrow$ Keine Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Berechnung überprüft.
Forme erst die Funktion um:
$\displaystyle f(x)=\frac{x^4+1}{x(x^3-3x)}$
$\displaystyle \phantom{f(x)}=\frac{x^4+1}{x^4-3x^2}$
Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
$\displaystyle f(-x)=\frac{(-x)^4+1}{(-x)^4-3(-x)^2}$
$\displaystyle \phantom {f(-x)}=\frac{x^4+1}{x^4-3x^2}=f(x)$
$f(-x)=f(x)$
$\Rightarrow$ Achsensymmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Berechnung überprüft.
Forme zunächst die Funktion um:
$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x(x^2-3x)}$
$\displaystyle \phantom{f(x)}=\frac{x^2-1}{x^3-3x^2}$
Setzte $-x$ in $f(x)$ ein.
$\displaystyle f(-x)=\frac{(-x)^2-1}{(-x)^3-3(-x)^2}$
$\displaystyle \phantom{f(-x)}=\frac{x^2-1}{-x^3-3x^2}$
$f(-x) \neq f(x)$
$\Rightarrow$ Nicht achsensymmetrisch zur $y$ -Achse
$f(-x) \neq -f(x)$
$\Rightarrow$ Nicht punktsymmetrisch zum Ursprung
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇

Durch Betrachtung

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Durch Betrachtung

Durch Berechnung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?