🎓 Ui, schon Prüfungszeit? Hier geht's zur Mathe-Prüfungsvorbereitung.
Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

Gebrochen-rationale Funktionen

Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion, die sich als Bruch von Polynomen darstellen lässt. Gebrochen-rationale Funktionen sind also von der Form f(x)=p(x)q(x), wobei sowohl p(x) als auch q(x) Polynome sind.

Anhand des Zähler- und Nennergrad der Polynome p(x) und q(x) unterscheidet man zwischen echt gebrochen-rationalen Funktionen und unecht gebrochen-rationalen Funktionen.

Bild

Echt gebrochen-rationale Funktion

Der Grad des Zählerpolynoms p(x) ist kleiner als der Grad des Nennerpolynoms q(x).

Beispiel

4x3+2x2x2x5 Grad von p(x) ist 3, Grad von q(x) ist 5.

 

Unecht gebrochen-rationale Funktion

Der Grad des Zählerpolynoms p(x) ist größer oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms q(x). Hier lässt sich die Funktion durch Polynomdivision in eine Funktion mit ganz-rationalem und echt gebrochen-rationalem Anteil zerlegen.

 

Beispiel

6x4x2+2x5x3 Grad von p(x) ist 4, Grad von q(x) ist 3.

Zerlegte Funktion: 65x15x+25x2

Verschiedene Beispiele für gebrochen-rationale Funktionen

Echt gebrochen-rationale Funktionen

f(x)=1x (Hyperbel)

Hyperbel Graph Definitionslücke

f(x)=1x2

Gebrochenrationale Funktion ohne Polstellen

Unecht gebrochen-rationale Funktionen

Jedes Polynom, wie zum Beispiel: f(x)=x2+x(=x2+x1)

Quadratische Funktion Parabel nach oben geöffnet

f(x)=x2x

lineare Funktion ohne Null Defintionslücke

Beachte:

x2x=f(x)g(x)=x , denn f und g haben unterschiedliche Definitionsbereiche:

  • Df={0}

  • Dg=

Eigenschaften an Beispielen

Bei gebrochen-rationalen Funktionen lassen sich einige Eigenschaften, wie die Art und Lage der Asymptoten, an der Funktionsgleichung ablesen, sowohl an der ausmultiplizierten als auch an der faktorisierten Form.

Allgemeines Beispiel

f(x)=(x+1)2(x3)3(x+2)x(x+1)3(x3)(x+2)(x4)(x+5)2

Kürze (x+1)2, (x3) und (x+2).

=(x3)2x(x+1)(x4)(x+5)2

Aus dem Funktionsterm lässt sich nun ablesen:

  • (x+5)2 im Nenner: Asymptote durch die Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei 5 (wegen geradem Exponenten 2)

  • (x+1) im Nenner: Asymptote durch die Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei 1 (wegen ungeradem Exponenten 1)

  • (x4) im Nenner: Asymptote durch die Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei 4 (wegen ungeradem Exponenten 1)

  • (x+2) wurde gekürzt und kürzt sich weg: hebbare Definitionslücke bei x=2

  • (x3) wurde gekürzt und bleibt im Zähler stehen: hebbare Definitionslücke mit der x-Achse bei x=3 (dadurch auch keine Nullstelle)

  • x steht im Zähler: Nullstelle bei x=0

gebrochenrationaler Funktionsgraph Definitionslücke Asymptote Polstelle

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0Was bedeutet das?