Gebrochen-rationale Funktionen

Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion, die sich als Bruch von Polynomen darstellen lässt. Gebrochen-rationale Funktionen sind also von der Form $f\left(x\right)=\dfrac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$ , wobei sowohl $p (x)$ als auch $q (x)$ Polynome sind.

Anhand des Zähler- und Nennergrad der Polynome $p (x)$ und $q (x)$ unterscheidet man zwischen echt gebrochen-rationalen Funktionen und unecht gebrochen-rationalen Funktionen.

Echt gebrochen-rationale Funktion

Der Grad des Zählerpolynoms $p (x)$ ist kleiner als der Grad des Nennerpolynoms $q (x)$ .

Beispiel

$\dfrac{4x^3+2x^2-x}{2x^5}\Rightarrow$ Grad von $p\left(x\right)$ ist $3$ , Grad von $q\left(x\right)$ ist $5$ .

Unecht gebrochen-rationale Funktion

Der Grad des Zählerpolynoms $p (x)$ ist größer oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms $q (x)$ . Hier lässt sich die Funktion durch Polynomdivision in eine Funktion mit ganz-rationalem und echt gebrochen-rationalem Anteil zerlegen.

Beispiel

$\dfrac{6x^4-x^2+2x}{5x^3}\Rightarrow$ Grad von $p\left(x\right)$ ist $4$ , Grad von $q\left(x\right)$ ist $3$ .

Zerlegte Funktion: $\dfrac65x-\dfrac1{5x}+\dfrac2{5x^2}$

Verschiedene Beispiele für gebrochen-rationale Funktionen

Echt gebrochen-rationale Funktionen

$f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ (Hyperbel)

$f\left(x\right)=\dfrac1{x^2}$

Gebrochenrationale Funktion ohne Polstellen

Unecht gebrochen-rationale Funktionen

Jedes Polynom, wie zum Beispiel: $f\left(x\right)=x^2+x\;\left(=\dfrac{x^2+x}1\right)$

Quadratische Funktion Parabel nach oben geöffnet

$f\left(x\right)=\dfrac{x^2}x$

lineare Funktion ohne Null Defintionslücke

Beachte:

$\dfrac{x^2}x=f\left(x\right)\neq g\left(x\right)=x$ , denn $f$ und $g$ haben unterschiedliche Definitionsbereiche:

$D_f=ℝ\setminus\left\{0\right\}$
$D_{g} = R D_g=ℝ$

Eigenschaften an Beispielen

Bei gebrochen-rationalen Funktionen lassen sich einige Eigenschaften, wie die Art und Lage der Asymptoten, an der Funktionsgleichung ablesen, sowohl an der ausmultiplizierten als auch an der faktorisierten Form.

Allgemeines Beispiel

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(x+1\right)^2\cdot\left(x-3\right)^3\cdot\left(x+2\right)\cdot x}{\left(x+1\right)^3\cdot\left(x-3\right)\cdot\left(x+2\right)\cdot\left(x-4\right)\cdot\left(x+5\right)^2}$
	↓	Kürze $\textcolor{green}{(x+1)^2}$ , $\textcolor{blue}{(x-3)}$ und $\textcolor{magenta}{(x+2)}$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{\textcolor{blue}{\left(x-3\right)^2}\cdot \textcolor{purple}{x}}{\textcolor{green}{\left(x+1\right)}\cdot\textcolor{orange}{\left(x-4\right)}\cdot\textcolor{red}{\left(x+5\right)^2}}$

Aus dem Funktionsterm lässt sich nun ablesen:

$\textcolor{red}{(x+5)^2}$ im Nenner: Asymptote durch die Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei $- 5$ (wegen geradem Exponenten $2$ )
$\textcolor{green}{(x+1)}$ im Nenner: Asymptote durch die Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei $- 1$ (wegen ungeradem Exponenten $1$ )
$\textcolor{orange}{(x-4)}$ im Nenner: Asymptote durch die Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei $4$ (wegen ungeradem Exponenten $1$ )
$\textcolor{magenta}{(x+2)}$ wurde gekürzt und kürzt sich weg: hebbare Definitionslücke bei $x = - 2$
$\textcolor{blue}{(x-3)}$ wurde gekürzt und bleibt im Zähler stehen: hebbare Definitionslücke mit der $x$ -Achse bei $x = 3$ (dadurch auch keine Nullstelle)
$\textcolor{purple}{x}$ steht im Zähler: Nullstelle bei $x = 0$

gebrochenrationaler Funktionsgraph Definitionslücke Asymptote Polstelle

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