Gebrochen-rationale Funktionen

Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion, die sich als Bruch von Polynomen darstellen lässt. Gebrochen-rationale Funktionen sind also von der Form f(x)=p(x)q(x)f\left(x\right)=\dfrac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}, wobei sowohl p(x)p(x) als auch q(x)q(x) Polynome sind.

Echt gebrochen-rationale Funktion

Der Grad des Zählerpolynoms p(x)p(x) ist kleiner als der Grad des Nennerpolynoms q(x)q(x).

 

Beispiel

4x3+2x2x2x5\dfrac{4x^3+2x^2-x}{2x^5}\Rightarrow Grad von p(x)p\left(x\right) ist 33, Grad von q(x)q\left(x\right) ist 55.

 

Unecht gebrochen-rationale Funktion

Der Grad des Zählerpolynoms p(x)p(x) ist größer oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms q(x)q(x). Hier lässt sich die Funktion durch Polynomdivision in eine Funktion mit ganzrationalem und echt gebrochen-rationalem Anteil zerlegen.

 

Beispiel

6x4x2+2x5x3\dfrac{6x^4-x^2+2x}{5x^3}\Rightarrow Grad von p(x)p\left(x\right) ist 44, Grad von q(x)q\left(x\right) ist 33; zerlegte Funktion: 65x15x+25x2\dfrac65x-\dfrac1{5x}+\dfrac2{5x^2}

 

Verschiedene Beispiele für gebrochen-rationale Funktionen

Echt gebrochen-rationale Funktionen

Hyperbel: f(x)=1xf\left(x\right)=\dfrac1x

Unecht gebrochen-rationale Funktionen

Jedes Polynom , wie

zum Beispiel: f(x)=x2+x  (=x2+x1)f\left(x\right)=x^2+x\;\left(=\dfrac{x^2+x}1\right)

Beachte:

x2x=f(x)g(x)=x\dfrac{x^2}x=f\left(x\right)\neq g\left(x\right)=x , denn ff und gg haben unterschiedliche Definitionsbereiche :

Eigenschaften an Beispielen

Bei gebrochenrationalen Funktionen lassen sich einige Eigenschaften, wie die Art und Lage der Asymptoten , an der Funktionsgleichung ablesen, sowohl an der ausmultiplizierten als auch an der faktorisierten Form.

 

Allgemeines Beispiel

 

  • Asymptote durch die Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei 5-5 (wegen geradem Exponenten 22)

  • Asymptote durch die Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei 1-1 (wegen ungeradem Exponenten 11)

  • Asymptote Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei 44 (wegen ungeradem Exponenten 11)

  • P: hebbare Definitionslücke bei x=2x = -2

  • Q: hebbare Definitionslücke mit der xx-Achse bei x=3x = 3

  • N: Nullstelle bei x=0x = 0


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0.Was bedeutet das?