Binomische Formeln

Es gibt drei binomische Formeln,

  • die erste (Plus-Formel),

  • die zweite (Minus-Formel) und

  • die dritte (Plus-Minus-Formel)

Alle drei kommen oft vor und sind wichtige Hilfsmittel zum Rechnen.

1. binomische Formel

Beispiel:

2. binomische Formel

Beispiel:

3. binomische Formel

Beispiel:

Verwendung der binomischen Formeln

Die binomischen Formeln werden in zwei verschiedene Richtungen angewendet:

Binomische Formeln "vorwärts" (d.h. zum Auflösen der Klammern)

Hierbei wird ein Produktterm in eine Summe oder Differnz umgewandelt.

Allgemeine Vorgehensweise

  1. Terme vergleichen und entscheiden, welche Formel man anwenden muss

  2. Sich klar machen, was aa und bb ist

  3. Formel anwenden

Beispiele

  • 1.binomische Formel:(2x+1)2=(2x)2+22x1+12=4x2+4x+1(2x+1)^2=(2x)^2+2\cdot2x\cdot1+1^2=4x^2+4x+1

  • 2.binomische Formel: (x7)2=x22x7+72=x214x+49(x-7)^2=x^2-2\cdot x\cdot7+7^2=x^2-14x+49

  • 3.binomische Formel: (x+4)(x4)=x242=x216(x+4)(x-4)=x^2-4^2=x^2-16

Binomische Formeln "rückwärts" (d.h. zum Faktorisieren)

Man kann die binomische Formel auch umgekehrt anwenden. Hier macht man aus Summen Produkte. Das hat vor allem Vorteile beim Kürzen.

Allgemeine Vorgehensweise

Zuerst musst du überprüfen, wie viele Summanden der Term besitzt.

  • Sind es drei, so kommen die ersten beiden Formeln in Frage,

  • sind es zwei, so kann die dritte Formel hilfreich sein,

  • sind es mehr als drei Summanden, so muss man zuerst versuchen die Terme zusammenfassen.

Drei Summanden

Hat man drei Summanden, so überprüft man, ob zwei der Summanden Quadrate mit positiven Vorzeichen sind. Notfalls muss man zuerst einen geeigneten Faktor ausklammern. Die Wurzeln dieser Quadrate nennt man aa und bb.

Ist dies der Fall, so muss man noch den mittleren Term überprüfen, indem man 2ab2ab berechnet.

Falls dieses Ergebnis mit dem mittleren Summanden aus der Aufgabenstellung übereinstimmt, kann man die binomische Formel zum Faktorisieren benutzen, indem man nun noch das Vorzeichen betrachtet und je nachdem die erste oder die zweite binomische Formel benutzt.

Zwei Summanden

Hat man zwei Summanden, so überprüft man, ob nur vor einem der beiden Summanden ein Minuszeichen steht.

Ist dies der Fall, so überprüft man, ob die beiden Summanden Quadrate sind. Ist das auch der Fall, so kann man mit Hilfe der dritten binomischen Formel faktorisieren.

Falls keiner der Summanden ein Quadratterm ist, kann man noch versuchen, einen geeigneten Faktor auszuklammern.

Keiner der Wege funktioniert

Der Term lässt sich nicht mit Hilfe einer binomischen Formel faktorisieren. Hier kannst du nur vereinfachen, indem du die quadratische Ergänzung benutzt, das ist dann allerdings keine Faktorisierung mehr.

Der zugehörige Entscheidungsbaum sieht aus wie folgt:

Beispiel 1

  1. Man kann nichts ausklammern/zusammenfassen und wir haben drei Summanden.

  2. Es gibt 2 Quadratterme: 4r24r^2 und 11

  3. Sie haben beide ein positives Vorzeichen.

  4. Mischterm überprüfen:

    • 4r2=(2r)24r^2=(2r)^2, 1=121=1^2, also muss der Mischterm 22r=4r2\cdot2r=4r sein.

    • Das passt zur 1. binomischen Formel mit a=2ra=2r und b=1b=1.

    • Man bekommt das Ergebnis 4r2+4r+1=(2r+1)24r^2+4r+1=(2r+1)^2.

Beispiel 2

  1. Den Term 11x11x ausklammern: 11x(x24)11x(x^2-4)

  2. Es gibt 2 Quadratterme: x2x^2 und 44

  3. x2x^2 hat positives Vorzeichen, 44 hat negatives Vorzeichen.

    • Es lässt sich die 3. binomische Formel anwenden mit a=xa=x und b=2b=2.

    • Man bekommt als Ergebnis 11x344x=11x(x+2)(x2)11x^3-44x=11x(x+2)(x-2).

Beispiel 3

  1. Den Term 2-2 ausklammern: 2(p23p+9)-2(p^2-3p+9)

  2. Es gibt 2 Quadratterme: p2p^2 und 99

  3. Sie haben beide positives Vorzeichen.

  4. Mischterm überprüfen:

    • p2=(p)2p^2=(p)^2, 9=329=3^2, also muss der Mischterm 2p3=6p2\cdot p\cdot3=6p sein.

    • Die Mischterme stimmen nicht überein.

    • Es lässt sich keine binomische Formel anwenden.

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Aufgaben zu den binomischen Formeln

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