Ausklammern

Ausklammern ist eine Möglichkeit des Faktorisierens. Es ist das Gegenteil vom Ausmultiplizieren und eine Anwendung des Distributivgesetzes.

Vorgehensweise

Man schreibt einen gemeinsamen Teiler der Summanden als ersten Faktor auf und multipliziert ihn mit der Summe, wobei nun jeder Summand durch den gemeinsamen, ausgeklammerten Faktor geteilt wird.

Beispiel mit natürlichenZahlen

77 ist ein gemeinsamer Teiler von 1414 und 4949. Man kann also schon notieren:

In die Klammer schreibt man dann die Summe von am Anfang, aber man teilt jeden Summanden vorher durch 77, also 14:7=214:7=2 und 49:7=749:7=7.

Beispiel mit Variablen

Alle Summanden sind durch die Zahl 33 teilbar und enthalten außerdem die Variable xx. Man kann also 3x3x ausklammern.

In die Klammer schreibt man nun die Summe von am Anfang, aber man teilt jeden Summanden vorher durch 3x3x, also:

Den größtmöglichen Faktor ausklammern

Oft lautet die Aufgabenstellung, den größtmöglichen Faktor auszuklammern. Diesen kann man folgendermaßen finden:

  1. Man bestimmt den größten gemeinsamen Teiler der Summanden.

  • Die Variablen, die in allen Summanden enthalten sind, mit der niedrigsten vorkommenden Potenz bilden mit dem ggT den größtmöglichen Faktor.

Beispiel

  1. ggT bestimmen: ggT(256;32;48)=16\mathrm{ggT}(256; 32; 48)=16

  • Variablen: Nur xx und yy kommen in allen Summanden vor.

    Die niedrigste Potenz von xx ist 11 (im zweiten Summanden 32xy2z2-32xy^2z^2).

    Die niedrigste Potenz von yy ist 22 (im ersten und zweiten Summanden).

Der größtmögliche Faktor ist also 16xy216xy^2.

Anwendung

Das Ausklammern kann nützlich sein, wenn man (quadratische) Gleichungen lösen, Nullstellen von Funktionen finden oder Brüche kürzen möchte.

Beispiel zum Kürzen von Brüchen

Im Zähler kann man 3x3x ausklammern.

Da im Zähler nun ein Produkt und keine Summe mehr steht, darf man mit 1+4x1+4x kürzen.


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