Quadratische Gleichung

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, welche du durch Umformungen in die Form

bringen kannst. Hierbei ist aR{0}a \in \mathbb R \setminus \{0\} und b,cRb,c\in \mathbb R.

Beispiele für quadratische Gleichungen:

  • 3x2=03x^2=0

aber auch:

  • 4x2+3=x4x^2+3=x, da die Gleichung in 4x2x+3=04x^2-x+3=0 umgeformt werden kann.

  • 8x2=278x^2=27, da die Gleichung in 8x227=08x^2-27=0 umgeformt werden kann.

Meist ist die Lösung einer quadratischen Gleichung gefragt. Stelle dafür die Gleichung am Besten so um, dass 00 allein auf einer Seite der Gleichung steht.

Anzahl der Lösungen

Die Anzahl der Lösungen kannst du grafisch oder rechnerisch herausfinden.

Grafisch kannst du die Funktion f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^2+bx+c zeichnen und dann die Anzahl an Nullstellen ablesen. Für die Nullstellen einer Parabel gilt nämlich

  • Liegt die Parabel komplett oberhalb der x-Achse oder komplett unterhalb, dann gibt es keine Lösung.

  • Liegt der Scheitel der Parabel auf der x-Achse, dann gibt es genau eine Lösung.

  • Geht die Parabel (zweimal) durch die x-Achse, dann gibt es genau zwei Lösungen.

Rechnerisch kannst du die Anzahl der Lösungen bestimmen in dem du die Diskriminante   D=b24ac{D=b^2-4ac} berechnest.

D<0:D<0: keine Lösung

D=0:D=0: genau eine Lösung

D>0:D>0: genau zwei Lösungen

Lösungsformeln

Um nun auch herauszufinden, was die Lösung der quadratischen Gleichung ist, kannst du immer die Mitternachtsformel und die pq-Formel verwenden.

Das ist nicht immer die einfachste Methode, aber dazu mehr im Abschnitt "Geschicktes Lösen von quadratischen Gleichungen".

Mitternachtsformel

Eine häufig genutzte Technik zum Lösen quadratischer Gleichungen ist die Mitternachtsformel.

Die Lösung einer Gleichung der Form ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 bestimmst du über die Formel:

Beispiel:

Löse die Gleichung 3x26x9=03x^2-6x-9=0.

Lösung:

Lies die Werte für aa, bb und cc ab und setze in die Mitternachtsformel ein.

x1,2\displaystyle x_{1{,}2}==(6)±(6)243(9)23\displaystyle \frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot3\cdot(-9)}}{2\cdot3}
==6±36+1086\displaystyle \frac{6\pm\sqrt{36+108}}{6}
==6±126=1±2\displaystyle \frac{6\pm12}{6}=1\pm2

x1=1\Rightarrow x_1=-1 und x2=3x_2=3

pq-Formel

Die pq-Formel kannst du auf quadratische Gleichungen der Form x2+px+q=0x^2+px+q=0 mit p,qRp,q\in \mathbb R anwenden.

Die Lösung der Gleichung ist dann

Hast du noch einen Vorfaktor vor x2x^2, kannst du die pq-Formel auch anwenden. Teile dafür jedoch die ganze Gleichung zuerst durch den Vorfaktor!

Beispiel:

Löse die Gleichung 3x26x9=03x^2-6x-9=0.

Lösung:

Da vor x2x^2 noch ein Faktor 33 steht, teile zuerst die gesamte Gleichung durch 33.

3x26x9\displaystyle 3x^2-6x-9==0\displaystyle 0:3\displaystyle :3
x22x3\displaystyle x^2-2x-3==0\displaystyle 0

Wende nun die pq-Formel auf den Term x22x3x^2-2x-3 an.

Lies hierfür die Werte pp und qq ab:

x1=1\Rightarrow x_1=-1 und x2=3x_2=3

Satz von Vieta

Der Satz von Vieta ist eine Lösungsmethode, mit der du durch Probieren Nullstellen erraten kannst. Die Methode eignet sich also nur, wenn die Lösungen der Gleichung einfach sind. Du kannst mit der Methode aber auch schnell deine berechneten Nullstellen überprüfen.

Die Lösungen x1x_1 und x2x_2 einer Gleichung der Form x2+px+q=0x^2+px+q=0 erfüllt nach dem Satz von Vieta nämlich die folgenden Bedingungen:

Beispiel:

Löse die Gleichung x22x3=0x^2-2x-3=0.

Lösung:

Lies die Werte für pp und qq ab. Hier ist p=2p=-2 und q=3q=-3.

Suche nun Zahlen x1x_1 und x2x_2, die folgende Gleichungen erfüllen:

  1. x1+x2=(2)=2x_1+x_2=-(-2)=2 und

Wenn du nur ganze Zahlen betrachtest, ist x1x2=3x_1 \cdot x_2 =-3 nur für

  • x1=3x_1=3 und x2=1x_2=-1 oder

  • x1=3x_1=-3 und x2=1x_2=1.

Probiere, ob eins der Paare (x1,x2)(x_1,x_2) auch die erste Bedingung erfüllt:

  • x1=3,x2=1x_1=3,x_2=-1:

    x1+x2=31=2x_1+x_2=3-1=2 \checkmark

  • x1=3,x2=1x_1=-3,x_2=1:

    x1+x2=3+1=22x_1+x_2=-3+1=-2 \neq 2

Für x1=3x_1=3 und x2=1x_2=-1 werden beide Bedingungen erfüllt. Also sind die Lösungen der Gleichung x1=3x_1=3 und x2=1x_2=-1.

Hinweis: Lösungen wie x1=1,2x_1=1{,}2 und x2=15x_2=15 lassen sich mit diesem Verfahren kaum erraten. Hierfür benötigt man andere Lösungsmethoden.

Geschicktes Lösen von quadratischen Gleichungen

Quadratische Gleichungen können je nach Form auch viel leichter gelöst werden als mit Mitternachtsformel oder pq-Formel. Hier kommt es darauf an, in welcher Form sie vorliegen.

Folgende Formen können unterschieden werden bzw. hier betrachtet:

  • ax2+bx+c=0{\boldsymbol a\boldsymbol x^\mathbf2\boldsymbol+\boldsymbol b\boldsymbol x\boldsymbol+\boldsymbol c\boldsymbol=\mathbf0} (gemischt-quadratische Gleichung)

  • ax2+c=0{\boldsymbol a\boldsymbol x^\mathbf2\boldsymbol+\boldsymbol c\boldsymbol=\mathbf0} (Rein-quadratische Gleichung)

  • a(xu)(xv)=0\boldsymbol{a\left(x-u\right)\left(x-v\right)=0} (Nullprodukt)

  • a(xd)2+e=0{\boldsymbol a \cdot (\boldsymbol x - \boldsymbol d)^\mathbf2\boldsymbol+\boldsymbol e=\mathbf0} (Scheitelform)

Rein-quadratische Gleichung

Rein-quadratische Gleichungen erkennst du schnell daran, dass der Summand "mit x" fehlt. Man löst sie, indem man nach x2x^2 auflöst und die Wurzel zieht.

Beachte, dass es keine Lösung gibt, wenn du von einer negativen Zahl die Wurzel ziehst. Bei einer positiven Zahl gibt es immer genau zwei Lösungen - eine davon ist negativ, die andere positiv.

Beispiel:

Löse 2x218=0.2x^2-18=0.

Lösung:

2x218\displaystyle 2x^2-18==0\displaystyle 0+18\displaystyle +18

Löse nach x2x^2 auf.

2x2\displaystyle 2x^2==18\displaystyle 18:2\displaystyle :2
x2\displaystyle x^2==9\displaystyle 9\displaystyle \sqrt{}

Ziehe die Wurzel.

x1,2\displaystyle x_{1{,}2}==±3\displaystyle \pm3

Nullprodukt

Ein Nullprodukt ist ein Produkt, dessen Ergebnis 00 ist. Nullprodukte sind zum Beispiel folgende Gleichungen:

Liegt deine Gleichung in dieser Form vor oder lässt sich leicht darin überführen, kannst du die Lösungen der Gleichung ablesen.

Ein Produkt ist immer dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.

Beispiel:

Löse die Gleichungen

a) (x2)(x7)=0(x-2)(x-7)=0

b) x2=4xx^2=4x

Lösung:

zu a)

Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Also muss x2=0x-2=0 oder x+7=0x+7=0 sein.

Die Gleichung ist also erfüllt für x1=2x_1=2 und x2=7x_2 =-7.

zu b)

Die Gleichung kannst du zu einem Nullprodukt umformen :

Somit muss x=0x=0 oder x4=0x-4=0 sein.

Die Lösungen der Gleichung sind also x1=0x_1=0 und x2=4x_2=4.

Gleichungen in Scheitelform

Quadratische Gleichungen in der Scheitelform kann man auch mit Hilfe der binomischen Formeln in eine gemischt-quadratische Gleichung umformen und dann wie oben beschrieben lösen. Deutlich einfacher ist hier jedoch die Technik des Rückwärts rechnens:

Beispiel:

Löse die Gleichung 3(x1)212=03(x-1)^2-12=0.

Lösung:

3(x1)212\displaystyle 3\cdot(x-1)^2-12==0\displaystyle 0+12\displaystyle +12

12 auf die rechte Seite bringen.

3(x1)2\displaystyle 3\cdot\left(x-1\right)^2==12\displaystyle 12:3\displaystyle :3

Durch 3 teilen.

(x1)2\displaystyle \left(x-1\right)^2==4\displaystyle 4\displaystyle \sqrt{ }

Wurzel ziehen.

x1\displaystyle x-1==±4\displaystyle \pm\sqrt{4}+1\displaystyle +1

1 addieren.

x\displaystyle x==±2+1\displaystyle \pm2+1

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