Die pq-Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen

Zur Lösung quadratischer Gleichungen kann man die pq-Formel benutzen. Dieser Artikel erklärt dir mit anschaulichen Beispielen, wie man die pq-Formel verwendet. In Teilen Deutschlands wird alternativ zur pq-Formel auch die Mitternachtsformel zur Lösung von quadratischen Gleichungen benutzt.

Was ist eine quadratische Gleichung?

Aber was ist überhaupt eine quadratische Gleichung? Quadratische Gleichungen haben die Form $a x^{2} + b x + c = 0$ . Die Variablen $a$ , $b$ und $c$ können durch beliebige Werte ersetzt werden.

Quadratische Gleichungen sind beispielsweise:

$x^{2} + 2 x + 3 = 0$

→ $a = 1$ , $b = 2$ , $c = 3$

$2 x^{2} + 6 x + 2 = 0$

→ $a = 2$ , $b = 6$ , $c = 2$

$3 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

→ $a = 3$ , $b = 4$ , $c = 1$

Um ganz korrekt zu sein, muss man noch hinzufügen, dass $a$ nicht $0$ sein darf.

pq-Formel anwenden

Eine quadratische Gleichung hat häufig zwei Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ . Hat die quadratische Gleichung die Form $x^2+px+q=0\;$ , so berechnet man die beiden Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ mit Hilfe der pq-Formel wie folgt:

\displaystyle x_{1{,}2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}

Achtung!

Um die pq-Formel verwenden zu können, muss der Vorfaktor des quadratischen Summanden $a = 1$ sein. Dazu sind eventuell Umformungen nötig:
$x^{2} + 2 x + 3 = 0$ hat als Vorfaktor des quadratischen Summanden $a$ eine $1$ ( $x^{2}$ entspricht $1 x^{2}$ ) und kann mit der pq-Formel gelöst werden.
$2 x^{2} + 6 x + 2 = 0$ hat als Vorfaktor des quadratischen Summanden $a$ eine $2$ ( $2 x^{2}$ ) und muss zuerst umgeformt werden.
Es gilt hier - wie bei der Mitternachtsformel - dass bei einem negativen Ausdruck unter der Wurzel keine Lösung existiert, sowie bei $\left(\frac p2\right)^2-q=0$ die Lösungen $x_1\;\mathrm{und}\;x_2$ zusammenfallen.

Den quadratischen Vorfaktor umformen

Wie bereits erwähnt muss der Vorfaktor des quadratischen Summanden $a = 1$ sein. Falls dies nicht der Fall sein sollte, kann man mit einer einfachen Umformung dies ganz einfach erreichen.So muss man den Vorfaktor vor dem quadratischen Term auf 1 bringen und teilt dann beide Seiten der Gleichung durch $a$ :

$ax^2+bx+c=\frac0a$
$x^2+\frac bax+\frac ca=0$

Wie das ganze in der Realität ausschaut, erfährst du in diesem Beispiel.

pq-Formel: Musterbeispiele

Die folgenden Beispiele erklären anschaulich, wie man die pq-Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen verwendet.

1. Musterbeispiel

Die Formel $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ ( $a = 1$ , $b = 4$ , $c = 3$ ) hat als Vorfaktor eine $1$ und kann somit direkt in die pq-Formel eingesetzt werden ( $p = 4$ , $q = 3$ ):

\displaystyle x_{1{,}2}=-\frac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-3}

Nun lösen wir die Formel:

$x_{1{,}2}=-2\pm\sqrt{\left(2\right)^2-3}$
$x_{1{,}2}=-2\pm\sqrt{4-3}$
$x_{1{,}2}=-2\pm\sqrt{1}$
Somit ist $x_{1}=-2+1$
Und $x_{2}=-2-1$

Die Lösung lautet also:

$x_{1}=-1$ und
$x_{2}=-3$

2. Musterbeispiel: Mit Umformung

Die Formel $2 x^{2} + 8 x + 2 = 0$ ( $a = 2$ , $b = 8$ , $c = 2$ ) hat als Vorfaktor eine $2$ . Die Umformung schaut wie folgt aus:

\displaystyle x^2+\frac 82x+\frac 22=0

Kürzt man diese, erhält man:

\displaystyle x^2+4x+1=0

Setzt man diese nun in die pq-Formel ein ( $p = 4$ , $q = 1$ ), erhält man folgende Gleichung:

\displaystyle x_{1{,}2}=-\frac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-1}

Zur Lösung müssen nun lediglich die Brüche aufgelöst werden:

$x_{1{,}2}=-2\pm\sqrt{\left(2\right)^2-1}$
$x_{1{,}2}=-2\pm\sqrt{4-1}$
$x_{1{,}2}=-2\pm\sqrt{3}$
Somit ist $x_{1}=-2+\sqrt{3}$
Und $x_{2}=-2-\sqrt{3}$

Die Lösung lautet also:

$x_{1}=-2+\sqrt{3}$ und
$x_{2}=-2-\sqrt{3}$

Video zur pq-Formel

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Wie kommt man auf die pq-Formel?

Man kommt auf die pq-Formel, indem man eine allgemeine quadratische Gleichung in der Normalform $x^{2} + p x + q = 0$ mit Hilfe der quadratischen Ergänzung löst.

$\displaystyle x^2+px+q$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Zunächst bringt man $q$ auf die rechte Seite
$\displaystyle x^2+px$	$=$	$\displaystyle -q$
	↓	Quadratische Ergänzung: Man addiert auf beiden Seiten der Gleichung $\left(\frac p2\right)^2$
$\displaystyle x^2 + 2 \cdot \frac p2 \, x + \left(\frac p2\right)^2$	$=$	$\displaystyle \left(\frac p2\right)^2 - q$
	↓	Erste binomische Formel rückwärts:
$\displaystyle \left(x + \frac p2 \right)^2$	$=$	$\displaystyle \left(\frac p2\right)^2 - q$
	↓	Auflösen nach $x$ . Dazu zuerst das Quadrieren rückgängig machen: $\pm \sqrt{\ \ }$
$\displaystyle x + \frac p2$	$=$	$\displaystyle \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2 - q}$	$\displaystyle -\frac{p}{2}$

$x = -\frac p2\pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2 - q}$

Beziehung zur Mitternachtsformel

In Teilen Deutschlands wird alternativ zur pq-Formel auch die sogenannte Mitternachtsformel zur Lösung von quadratischen Gleichungen benutzt. Dieser Abschnitt erklärt, wie diese beiden Formeln zusammenhängen.

Um den Vorfaktor vor dem quadratischen Term auf 1 zu bringen teilt man beide Seiten der Gleichung durch $a$ :

$a x^{2} + b x + c = 0$
$x^2+\frac bax+\frac ca=0$

Setzt man die Koeffizienten der unteren Gleichung in die Mitternachtsformel ein, dann erhält man:

$\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-{\frac ba}\pm\sqrt{\left({\frac ba}\right)^2-4\cdot1\cdot \frac ca}}{2\cdot1}=-\frac{\frac ba}2\pm\sqrt{\left(\frac{\ \frac ba}2\right)^2-\frac{4\frac ca}4}$

Wenn man für $\frac ba = p$ einsetzt und für $\frac ca = q$ ergibt sich die pq-Formel:

\displaystyle x_{1{,}2}=-\frac{\frac ba}2\pm\sqrt{\left(\frac{\ \frac ba\ }2\right)^2-\frac{4\frac ca}4}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-\frac44q}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}

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