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Die pq-Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen

Zur Lösung quadratischer Gleichungen kann man die pq-Formel benutzen. Dieser Artikel erklärt dir mit anschaulichen Beispielen, wie man die pq-Formel verwendet. In Teilen Deutschlands wird alternativ zur pq-Formel auch die Mitternachtsformel zur Lösung von quadratischen Gleichungen benutzt.

Was ist eine quadratische Gleichung?

Aber was ist überhaupt eine quadratische Gleichung? Quadratische Gleichungen haben die Form ax2+bx+c=0. Die Variablen a, b und c können durch beliebige Werte ersetzt werden.

Quadratische Gleichungen sind beispielsweise:

  • x2+2x+3=0

a=1, b=2, c=3

  • 2x2+6x+2=0

a=2, b=6, c=2

  • 3x2+4x+1=0

a=3, b=4, c=1

Um ganz korrekt zu sein, muss man noch hinzufügen, dass a nicht 0 sein darf.

pq-Formel anwenden

Eine quadratische Gleichung hat häufig zwei Lösungen x1 und x2. Hat die quadratische Gleichung die Form x2+px+q=0, so berechnet man die beiden Lösungen x1 und x2 mit Hilfe der pq-Formel wie folgt:

x1,2=p2±(p2)2q

Achtung!

  • Um die pq-Formel verwenden zu können, muss der Vorfaktor des quadratischen Summanden a=1 sein. Dazu sind eventuell Umformungen nötig:

  • x2+2x+3=0 hat als Vorfaktor des quadratischen Summanden a eine 1 (x2 entspricht 1x2) und kann mit der pq-Formel gelöst werden.

  • 2x2+6x+2=0 hat als Vorfaktor des quadratischen Summanden a eine 2 (2x2) und muss zuerst umgeformt werden.

  • Es gilt hier - wie bei der Mitternachtsformel - dass bei einem negativen Ausdruck unter der Wurzel keine Lösung existiert, sowie bei (p2)2q=0 die Lösungen x1undx2 zusammenfallen.

Den quadratischen Vorfaktor umformen

Wie bereits erwähnt muss der Vorfaktor des quadratischen Summanden a=1 sein. Falls dies nicht der Fall sein sollte, kann man mit einer einfachen Umformung dies ganz einfach erreichen.So muss man den Vorfaktor vor dem quadratischen Term auf 1 bringen und teilt dann beide Seiten der Gleichung durch a:

  1. ax2+bx+c=0a

  2. x2+bax+ca=0

Wie das ganze in der Realität ausschaut, erfährst du in diesem Beispiel.

pq-Formel: Musterbeispiele

Die folgenden Beispiele erklären anschaulich, wie man die pq-Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen verwendet.

1. Musterbeispiel

Die Formel x2+4x+3=0 (a=1, b=4, c=3) hat als Vorfaktor eine 1 und kann somit direkt in die pq-Formel eingesetzt werden (p=4, q=3):

x1,2=42±(42)23

Nun lösen wir die Formel:

  1. x1,2=2±(2)23

  2. x1,2=2±43

  3. x1,2=2±1

  4. Somit ist x1=2+1

  5. Und x2=21

Die Lösung lautet also:

  • x1=1 und

  • x2=3

2. Musterbeispiel: Mit Umformung

Die Formel 2x2+8x+2=0 (a=2, b=8, c=2) hat als Vorfaktor eine 2. Die Umformung schaut wie folgt aus:

x2+82x+22=0

Kürzt man diese, erhält man:

x2+4x+1=0

Setzt man diese nun in die pq-Formel ein (p=4, q=1), erhält man folgende Gleichung:

x1,2=42±(42)21

Zur Lösung müssen nun lediglich die Brüche aufgelöst werden:

  1. x1,2=2±(2)21

  2. x1,2=2±41

  3. x1,2=2±3

  4. Somit ist x1=2+3

  5. Und x2=23

Die Lösung lautet also:

  • x1=2+3 und

  • x2=23

Video zur pq-Formel

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Wie kommt man auf die pq-Formel?

Man kommt auf die pq-Formel, indem man eine allgemeine quadratische Gleichung in der Normalform x2+px+q=0 mit Hilfe der quadratischen Ergänzung löst.

x2+px+q=0

Zunächst bringt man q auf die rechte Seite

x2+px=q

Quadratische Ergänzung: Man addiert auf beiden Seiten der Gleichung (p2)2

x2+2p2x+(p2)2=(p2)2q

Erste binomische Formel rückwärts:

(x+p2)2=(p2)2q

Auflösen nach x. Dazu zuerst das Quadrieren rückgängig machen: ±  

x+p2=±(p2)2qp2

x=p2±(p2)2q

Beziehung zur Mitternachtsformel

In Teilen Deutschlands wird alternativ zur pq-Formel auch die sogenannte Mitternachtsformel zur Lösung von quadratischen Gleichungen benutzt. Dieser Abschnitt erklärt, wie diese beiden Formeln zusammenhängen.

Um den Vorfaktor vor dem quadratischen Term auf 1 zu bringen teilt man beide Seiten der Gleichung durch a:

  1. ax2+bx+c=0

  2. x2+bax+ca=0

Setzt man die Koeffizienten der unteren Gleichung in die Mitternachtsformel ein, dann erhält man:

x1,2=ba±(ba)241ca21=ba2±( ba2)24ca4

Wenn man für ba=p einsetzt und für ca=q ergibt sich die pq-Formel:

x1,2=ba2±( ba 2)24ca4=p2±(p2)244q=p2±(p2)2q

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