Die pq-Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen

Was ist eine quadratische Gleichung?

Aber was ist überhaupt eine quadratische Gleichung? Quadratische Gleichungen haben die Form $ax^2+bx+c=0$. Die Variablen $a$, $b$ und $c$ können durch beliebige Werte ersetzt werden.

Quadratische Gleichungen sind beispielsweise:

Um ganz korrekt zu sein, muss man noch hinzufügen, dass $a$ nicht $0$ sein darf.

pq-Formel anwenden

Eine quadratische Gleichung hat häufig zwei Lösungen $x_1$ und $x_2$. Hat die quadratische Gleichung die Form $x^2+px+q=0\;$, so berechnet man die beiden Lösungen $x_1$ und $x_2$ mit Hilfe der pq-Formel wie folgt:

Achtung!

• Um die pq-Formel verwenden zu können, muss der Vorfaktor des quadratischen Summanden $a=1$ sein. Dazu sind eventuell Umformungen nötig:

• $x^2+2x+3=0$ hat als Vorfaktor des quadratischen Summanden $a$ eine $1$ ($x^2$ entspricht $1x^2$) und kann mit der pq-Formel gelöst werden.

• $2x^2+6x+2=0$ hat als Vorfaktor des quadratischen Summanden $a$ eine $2$ ($2x^2$) und muss zuerst umgeformt werden.

• Es gilt hier - wie bei der Mitternachtsformel - dass bei einem negativen Ausdruck unter der Wurzel keine Lösung existiert, sowie bei $\left(\frac p2\right)^2-q=0$ die Lösungen $x_1\;\mathrm{und}\;x_2$ zusammenfallen.

Den quadratischen Vorfaktor umformen

Wie bereits erwähnt muss der Vorfaktor des quadratischen Summanden $a=1$ sein. Falls dies nicht der Fall sein sollte, kann man mit einer einfachen Umformung dies ganz einfach erreichen.So muss man den Vorfaktor vor dem quadratischen Term auf 1 bringen und teilt dann beide Seiten der Gleichung durch $a$:

1. $ax^2+bx+c=\frac0a$

2. $x^2+\frac bax+\frac ca=0$

Wie das ganze in der Realität ausschaut, erfährst du in diesem Beispiel.

pq-Formel: Musterbeispiele

Die folgenden Beispiele erklären anschaulich, wie man die pq-Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen verwendet.

1. Musterbeispiel

Die Formel $x^2+4x+3=0$ ($a=1$, $b=4$, $c=3$) hat als Vorfaktor eine $1$ und kann somit direkt in die pq-Formel eingesetzt werden ($p = 4$, $q = 3$):

Nun lösen wir die Formel:

1. $x_{1{,}2}=-2\pm\sqrt{\left(2\right)^2-3}$

2. $x_{1{,}2}=-2\pm\sqrt{4-3}$

3. $x_{1{,}2}=-2\pm\sqrt{1}$

4. Somit ist $x_{1}=-2+1$

5. Und $x_{2}=-2-1$

Die Lösung lautet also:

• $x_{1}=-1$ und

• $x_{2}=-3$

2. Musterbeispiel: Mit Umformung

Die Formel $2x^2+8x+2=0$ ($a=2$, $b=8$, $c=2$) hat als Vorfaktor eine $2$. Die Umformung schaut wie folgt aus:

Kürzt man diese, erhält man:

Setzt man diese nun in die pq-Formel ein ($p=4$, $q=1$), erhält man folgende Gleichung:

Zur Lösung müssen nun lediglich die Brüche aufgelöst werden:

1. $x_{1{,}2}=-2\pm\sqrt{\left(2\right)^2-1}$

2. $x_{1{,}2}=-2\pm\sqrt{4-1}$

3. $x_{1{,}2}=-2\pm\sqrt{3}$

4. Somit ist $x_{1}=-2+\sqrt{3}$

5. Und $x_{2}=-2-\sqrt{3}$

Die Lösung lautet also:

• $x_{1}=-2+\sqrt{3}$ und

• $x_{2}=-2-\sqrt{3}$

Video zur pq-Formel

Wie kommt man auf die pq-Formel?

Man kommt auf die pq-Formel, indem man eine allgemeine quadratische Gleichung in der Normalform $x^2+px+q=0$ mit Hilfe der quadratischen Ergänzung löst.

Beziehung zur Mitternachtsformel

In Teilen Deutschlands wird alternativ zur pq-Formel auch die sogenannte Mitternachtsformel zur Lösung von quadratischen Gleichungen benutzt. Dieser Abschnitt erklärt, wie diese beiden Formeln zusammenhängen.

Um den Vorfaktor vor dem quadratischen Term auf 1 zu bringen teilt man beide Seiten der Gleichung durch $a$:

1. $ax^2+bx+c=0$

2. $x^2+\frac bax+\frac ca=0$

Setzt man die Koeffizienten der unteren Gleichung in die Mitternachtsformel ein, dann erhält man:

$\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-{\frac ba}\pm\sqrt{\left({\frac ba}\right)^2-4\cdot1\cdot \frac ca}}{2\cdot1}=-\frac{\frac ba}2\pm\sqrt{\left(\frac{\ \frac ba}2\right)^2-\frac{4\frac ca}4}$

Wenn man für $\frac ba = p$ einsetzt und für $\frac ca = q$ ergibt sich die pq-Formel: